香港高級程度會考純粹數學科

香港高級程度會考純粹數學科(英語：HKALE Pure Mathematics)是昔日一個在香港教育制度內的大學預科高等數學課程，公開考試在1980年至2013年間由香港考試及評核局(HKEAA)舉辦。

歷史及概述

課程前身為香港大學入學資格考試純粹數學(University of Hong Kong Matriculation Examination Pure Mathematics)課程。

1980年，第一屆由香港考試局（今香港考試及評核局）舉辦的香港高級程度會考純粹數學科考試舉行。

1992年本科首次有教學用的課程綱要，香港課程發展議會編制及發佈純粹數學科學習領域指引《中學課程綱要－純粹數學科 (高級程度) (1992)》 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），此前只有考試綱要。

2001年4月，發生試題印錯事件，卷二第8題所提供的函數，把「${\displaystyle 6-x}$」誤印成「${\displaystyle x-6}$」，令題目無法算出^[1]。考試局在同月27日檢討補救方法後^[2]，決定以不重考但調整考生分數的方式處理^[3][a][4][5]。

2004年，香港課程發展議會編制及發佈《數學教育學習領域－純粹數學科課程及評估指引 (高級程度) (2004)》（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。

2009年9月，香港教育界實施三三四高中教育改革新學制課程^[6]，當中並沒有純粹數學科^[7]，不過教育局總課程發展主任李柏良在新聞報導上指出，純粹數學科及香港高級補充程度會考數學與統計學的內容跟新學制的香港中學文憑考試數學科延伸部分接近^[8]。

2012年，最後一屆開放予應屆學校考生參加。

2013年，為自修生舉行的最後一屆香港高級程度會考舉行^[9] 。

課程綱要

1992年前

考試綱要

根據香港數學教育學會(Hong Kong Association for Mathematics Education)的網誌，由於不成文規定，香港大學入學資格考試的純粹數學科預科課程歸香港大學管理，只有考試綱要並未有教學課程及評估指引綱要發佈^[10]，任教老師只能參考歷屆試題來自製教材，部分學校出現教學課程內容過多過深的「超教（英語：Overlearning）」情況^[11]。

數學領域	試題內容
數理邏輯	命題、逆命題及逆否命題、充分必要條件 或（${\displaystyle \lor }$）、非（${\displaystyle \neg }$）、與（${\displaystyle \land }$）、真值表 蘊涵（${\displaystyle \rightarrow }$）、反蘊涵（${\displaystyle \leftarrow }$）、當且僅當(⇔)、邏輯等價 量化、全稱量化(∀)、存在量化(∃)、唯一量化(∃!)
數學證明	直接證明（粵語：直接證明）、反證法——無理數的證明 對稱關係命題、不失一般性(w.l.o.g.) 數學敘述
初等集合論	元素、屬於關係 (∈) 集合及集合代數——併集、交集、補集、差集、笛卡兒積、德摩根定律、對稱差、冪集、空集 數系——自然數集(${\displaystyle \mathbb {N} }$)、整數集(${\displaystyle \mathbb {Z} }$)、有理數集(${\displaystyle \mathbb {Q} }$)、實數集(ℝ)和複數集(ℂ)之間的子集關係(${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$)
級數及序列	等差數列、等比數列；及其通項公式 裂項和、求和符號(Σ) ；裂項積、求積符號 (Π) 序列的有限差分 遞迴關係式、封閉形式、特徵方程式、生成函數
數學歸納法	第一數學歸納法、第二數學歸納法 強數學歸納法 反向歸納法——算術-幾何平均值不等式的證明
組合數學	階乘 (n!) 二項式定理、二項式系數及其性質(遞迴性質、對稱性、遞增性、極值)； 組合恆等式、帕斯卡三角形 排列與組合的概率問題
函數及映射	定義域及值域、陪域、區間 單射、雙射與滿射 奇函數與偶函數、週期函數 復合函數、反函數 分段函數、對稱函數 取整函數、符號函數
不等式	絕對值、絕對值不等式 三角不等式 分式不等式 對稱多項式不等式 代數不等式——算術-幾何平均值不等式、柯西-施瓦茨不等式
線性代數	線性方程組、行向量與列向量、初等變換、階梯形矩陣、高斯消去法、克萊姆法則 矩陣代數運算(矩陣加法、矩陣乘法及其不可交換性、n次冪)及其代數性質、零矩陣、轉置矩陣 方陣及行列式、薩呂法則、奇異方陣及非奇異方陣、逆矩陣、單位矩陣 線性映射及${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$上的仿射變換及其變換矩陣——平移、旋轉(旋轉矩陣)、反射、縮放、錯切
多項式及方程理論	乘法公式(交換律、結合律、分配律) 多項式、多項式次數（粵語：多項式次數） 因式分解、因式定理、餘式定理、不可約多項式、艾森斯坦判別法 多項式除法、綜合除法、多項式輾轉相除法及最大公因數 代數方程、代數基本定理、共軛複根、有理數根定理、解析解、根、重根、根與係數、判別式、笛卡兒符號法則 多項式變換、配方法 一元多項式方程求解——二次方程、三次方程、四次方程 介值定理、費馬引理 次方和對稱多項式、牛頓恆等式 有理函數及垂直漸近線、部分分式分解
複數代數	複數四則運算及其代數性質(封閉性、結合性、交換性、存在單位元、存在逆元和分配性)、虛數單位、實部、虛部、共軛複數、輻角、複數模 複數平面上的幾何表達及移動點的軌跡集合 複數模不等式——三角不等式、柯西-施瓦茨不等式 cis函數、棣莫弗公式及其應用——解一元n次方程、n次單位根、三角恆等式
初等微積分學	極限的直觀概念（不包括極限嚴謹定義ε-δ語言[12]）、自然對數函數的底數${\displaystyle e}$ 數列極限、無窮級數、無窮序列、無窮乘積、單調遞增、單調遞減、單調收斂定理、斂散性(收斂、發散，不包括審斂法） 夾擠定理、不定式及洛必達法則 初等函數——代數函數、冪函數、有理函數、三角函數及反三角函數(三角恆等式)、指數函數及自然對數(${\displaystyle ln}$) 函數極限、連續函數、左導數、右導數及可微函數 求導法則——導數列表、四則運算(微分的線性、乘積法則、除法定則、倒數定則)、反函數的微分、複合函數的微分(鏈式法則)、隱函數的微分、參數方程和極坐標系方程的微分、對數微分、高階導數(萊布尼茨法則（英語：General Leibniz rule）) 羅爾定理、拉格朗日中值定理 微分應用——函數圖形描繪(截距、漸近線、拐點、駐點、極值)、曲線上某點的切線斜率及法線 微積分基本定理、黎曼積分及可積函數、不定積分（原函數）及積分常數、反常積分、積分第一中值定理 積分表、三角函數積分表、三角換元法、正切半角公式換元法（英語：Tangent half-angle substitution）、降次積分法、換元積分法、分部積分法、部分分式積分法 定積分應用——曲線弧長、平面面積、旋轉體的體積(圓盤法和外殼法)及旋轉曲面面積
平面解析幾何	笛卡爾坐標系、極坐標系 弦、切線及法線 圓錐曲線——圓、橢圓、拋物線、雙曲線、退化圓錐曲線及各參數方程，幾何特徵——離心率、焦點、準線、對稱軸 圓錐曲線在齊次坐標的矩陣表示及其行列式的判別式
向量代數及立體解析幾何	${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$歐幾里得空間的向量運算(向量加法定律——三角形定律、平行四邊形定律及多邊形定律、純量乘法)及其代數性質(結合性、存在單位元、存在逆元)、單位向量、零向量、範數、方向餘弦、向量截點公式（英語：Section formula） 點積(純量投影)、叉積及其反交換律(其範數為平行四邊形的面積)、純量三重積${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$(平行六面體的體積)、向量三重積${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$、向量恆等式、平行四邊形恆等式 向量範數不等式——三角不等式、柯西-施瓦茨不等式 線性組合、線性相關性 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$歐幾里得空間的直線方程表示——一般式、斜截式、二點式(行列式)、參數式、向量式，一點與直線的距離，兩條相交直線的相交點、兩條相交直線的夾角、兩條直線的距離 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$歐幾里得空間的平面方程表示——一般式、點坐標及法向量、行列式，一點與平面的距離、兩個平面的夾角 向量空間及其代數性質、維度、零空間
抽象代數	等價關係（${\displaystyle \sim }$） 群(群論)、環、體 矩陣群

1992年

《中學課程綱要–純粹數學科(高級程度)1992》發佈^[13]。

《中學課程綱要–純粹數學科(高級程度)1992》
範疇A : 代數	單元A1 數學語言 單元A2 函數 單元A3 數學歸納法 單元A4 不等式 單元A5 正整指數的二項式定理 單元A6 多項式及方程 單元A7 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$及${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$的向量 單元A8 矩陣 單元A9 二元及三元線性方程組 單元A10 複數
範疇B : 微積分與解析幾何	單元B1 序列、級數及其極限 單元B2 極限、連續性及可微性 單元B3 微分法 單元B4 微分法的應用 單元B5 積分法 單元B6 積分法的應用 單元B7 解析幾何

2004年

《數學教育學習領域－純粹數學科課程及評估指引 (高級程度) (2004) 》發佈。

擬題方式

根據香港數學教育學會(Hong Kong Association for Mathematics Education)的期刊《數學教育》(EduMath)，1970年代開始，純粹數學科公開考試以結構式問題(Structured Question)形式^[14]考核考生對數學基礎的理解、應用及解難能力^[15]，題目取材自一些數學概念，要求考生推導該數學命題、定理或引理等，^[16][17]並著重融會各數學領域之間的關連和數學之美。

早年只有英文版本試題，以下列表以英文為主:

數學領域	擬題的數學概念或公式	試題題號	備註
正交多項式	埃爾米特多項式 勒讓德多項式 切比雪夫多項式
多項式序列	Fibonacci polynomials（英語：Fibonacci polynomials）
Sequences and series（英語：Series (mathematics)）	斐波那契數列 Harmonic series（英語：Harmonic series (mathematics)） Euler–Mascheroni constant（英語：Euler–Mascheroni constant） P-series（英語：Harmonic series (mathematics)#P-series）
數學分析	證明π是無理數 Proof that e is irrational（英語：Proof that e is irrational） 巴塞爾問題 Π的萊布尼茨公式 沃利斯乘積 Viète's formula（英語：Viète's formula） 梅欽類公式 史特靈公式 Frullani integral（英語：Frullani integral） 利普希茨連續 Integral of inverse functions（英語：Integral of inverse functions） 積分判別法 Cauchy's Mean Value Theorem（英語：Cauchy's Mean Value Theorem） 富比尼定理
特殊函數	高斯積分 Β函數 符號函數
Inequality（英語：Inequality (mathematics)）	赫爾德不等式 楊氏不等式 簡森不等式 伯努利不等式 切比雪夫總和不等式 Weierstrass product inequality（英語：Weierstrass product inequality）
李代數	李群
算術	Nearest integer function（英語：Nearest integer function）
Functional Equation（英語：Functional Equation）	柯西函數方程
傅里葉分析	帕塞瓦爾恆等式
複分析	Linear fractional transformation（英語：Linear fractional transformation）
超越數論	E的π次方
組合數學	母函數 朱世傑恆等式 范德蒙恆等式 多項式定理
分數微積分	Cauchy formula for repeated integration（英語：Cauchy formula for repeated integration）
Calculus	泰勒公式 Steiner's calculus problem（英語：Steiner's calculus problem） Mean value theorems for definite integrals（英語：Mean value theorems for definite integrals）
泛函分析	Lp範數 (Lp-Norm（英語：Norm (mathematics)#p-norm）)
Operational calculus（英語：Operational calculus）	單位階躍函數
線性代數	Vector projection（英語：Vector projection） 格拉姆-施密特正交化
Matrix Algebra（英語：Matrix (mathematics)）	Commuting matrices（英語：Commuting matrices） 凱萊–哈密頓定理 Trace（英語：Trace (linear_algebra)） 克羅內克積 可對角化矩陣 特徵分解 特徵值和特徵向量 特徵多項式 矩陣多項式 冪零矩陣 反對稱矩陣
方程理論	Cubic equation#Cardano's formula（英語：Cubic equation#Cardano's formula） 四次方程 牛頓恆等式 Eisenstein's_criterion（英語：Eisenstein's_criterion）
Analytic Geometry（英語：Analytic Geometry）	心臟線 帕斯卡蝸線 星形線 三尖瓣線
統計學	nth moment of f(x)（英語：Moment (mathematics)）

另見

• 香港中學會考附加數學科
• 香港高級補充程度會考數學與統計學
• 香港高級程度會考應用數學科
• 香港中學文憑考試數學科延伸部分
• 香港高等程度會考高級數學：香港中文大學入學試中的高等數學科^[18]
• 梁鑑添：香港高級程度會考純粹數學科參考書作者
• 郭宇權：香港高級程度會考純粹數學科參考書作者