離心率

離心率（eccentricity，${\displaystyle e}$）又稱偏心率，是指「圓錐曲線上任一點 ${\displaystyle M}$ 到平面內一特定點 ${\displaystyle F}$ 的距離」與「${\displaystyle M}$ 到平面內一不通過 ${\displaystyle F}$ 的特定直線 ${\displaystyle L}$ 的距離」之比。該特定點 ${\displaystyle F}$ 稱為焦點（focus），特定直線 ${\displaystyle L}$ 稱為準線（directrix）。

此條目頁的主題是幾何學。關於天文學中的偏心率，請見「軌道離心率」。

設一圓錐曲線 ${\displaystyle C}$ 由 ${\displaystyle C:d(F,M)=e\cdot d(L,M)}$ 定義，其中 ${\displaystyle F}$ 為焦點而 ${\displaystyle L}$ 為準線（詳見主條目圓錐曲線），則此時 ${\displaystyle e}$ 稱為${\displaystyle C}$ 的離心率。

與焦距和軸長的關係

有同一焦點 ${\displaystyle F}$ 和同一準線 ${\displaystyle L}$ 的：橢圓（${\displaystyle e}$=1/2）、拋物線（${\displaystyle e}$=1）、雙曲線（${\displaystyle e}$=2）。

圓錐曲線之離心率與軸長有下述關係：

${\displaystyle e={\dfrac {c}{a}}}$

其中

• c = 半焦距
• a = 半長軸（橢圓）或半實軸（雙曲線）

或採用較融貫的表法：

${\displaystyle e={\sqrt {1-k\cdot {\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$

其中對橢圓取${\displaystyle k=1}$，對拋物線取${\displaystyle k=0}$，對雙曲線取${\displaystyle k=-1}$。

圓錐曲線依離心率之分類如下

• 圓：${\displaystyle e=0}$
• 橢圓：${\displaystyle 0<e<1}$
• 拋物線：${\displaystyle e=1}$
• 雙曲線：${\displaystyle 1<e<\infty }$

相關資料

• 標準橢圓方程：

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

此時半長軸=a，半短軸=b，焦距=2c，而且

${\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}}$

• 標準雙曲線方程：

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

此時半實軸=a，半虛軸=b，焦距=2c，而且

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$