不等式

不等式是數學名詞，是指表示二個量之間不等的敘述^[1]。一般用兩個表示式表示要探討的量，中間再加上不等關係的符號，表示兩者的關係。以下是一些不等式的例子：

${\displaystyle a<b,\,}$

${\displaystyle x+y+z\leq 1,\,}$

${\displaystyle n>1,\,}$

${\displaystyle x\neq 0.\,}$

有些作者認為不等式只能用來表示中間有出現不等號≠的關係式^[2]。

連鎖的不等式

若幾個不等式中間有共用的變數，而且幾個不等式有邏輯與的關係，有時會直接將不等式寫在一起來簡化。例如不等式

${\displaystyle 0\leq a<b\leq 1\,}$

是以下不等式的縮寫

${\displaystyle 0\leq a~\mathrm {and} ~a<b~\mathrm {and} ~b\leq 1.\,}$

不等式的求解

一個不等聯立方程式的解集合（圖中標示feasible region的部份

含有未知數的不等式也可以求解。不等式求解和方程求解類似，是要找到使特定不等式（或是聯立不等式）成立的變數值。這些不等式中會包括稱為未知數的變數，求解不等式就是要找到使不等式滿足的未知數。更準確的說，要找的不一定是實際的值，而是較一般性的表示式。不等式的解是一組可以滿足不等式的表示式，也就是說，若將這些表示式代入未知數中，即可滿足不等式。 不等式求解時，常會加入一個額外的目標變數，要設法找到目標變數的最大值或最小值，此一問題就變成最佳化問題，要找到使目標變數最大或最小的最佳解，而不等式則是其約束條件^[3]。

例如

${\displaystyle 0\leq x_{1}\leq 690-1.5\cdot x_{2}\;\land \;0\leq x_{2}\leq 530-x_{1}\;\land \;x_{1}\leq 640-0.75\cdot x_{2}}$

是一組不等式的組合，寫成連鎖不等式（其中${\displaystyle \land }$可以當成and），其解的集合在附圖中的藍色區域（紅線、綠線和橘線分別對應第一個條件、第二個條件及第三個條件。）。上述問題的約束條件都是線性的，若目標函數也是線性，即屬於線性規劃的範圍。

線性規劃的最佳解可以用單純形法求解^[4]。Prolog III 程式語言也有提供解特定不等式的演算法，是其語言的特徵之一，細節可以參考約束邏輯程式設計（英語：Constraint logic programming）。

不等式中的其他意義

因為一些函數（例如根號）的特性，有些不等式會等於一個聯立不等式。例如不等式${\displaystyle \textstyle {\sqrt {f(x)}}<g(x)}$和以下的聯立不等式相同：

1. ${\displaystyle f(x)\geq 0}$
2. ${\displaystyle g(x)>0}$
3. ${\displaystyle f(x)<\left(g(x)\right)^{2}}$

參考資料

1. Thomas H. Sidebotham. The A to Z of Mathematics: A Basic Guide. John Wiley and Sons. 2002: 252. ISBN 0-471-15045-2.
2. Weisstein, Eric W. (編). Inequation. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
3. Stapel, Elizabeth. Linear Programming: Introduction. Purplemath. [2019-12-03]. （原始內容存檔於2023-10-27）.
4. Optimization - The simplex method. Encyclopedia Britannica. [2019-12-03]. （原始內容存檔於2024-03-08） （英語）.

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