表達式

表達式（expression）此處是數學表達式（mathematical expression）的簡稱，在數學領域中是一些符號依據上下文的規則，有限而定義良好的組合。數學符號可用於標定常量、變量、操作、函數、括號、標點符號和分組，幫助確定操作順序以及有其它考量的邏輯語法。^[1]

此條目介紹的是不含等號的數學表達式。關於含有等號以及兩個(含)以上表達式的情形，請見「方程式」。

在方程式7x − 5 = 2中，等號兩側既均是表達式。

表達式隨語境或不同領域學科也稱：表示式、數學式、運算式（operation expression）、表式、陳式、算式；數學術語若是複合詞，表達式也常簡作「式」；例如：代數式（algebraic expression）、漸近式（asymptotic expression）。

範例

表達式有簡單的，例如：

${\displaystyle 0+0}$

${\displaystyle 8x-5}$   （線性多項式）

${\displaystyle 7{{x}^{2}}+4x-10}$   （二次多項式）

${\displaystyle {\frac {x-1}{{{x}^{2}}+12}}}$   （有理分式）

也有複雜的：

${\displaystyle f(a)+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {1}{k!}}{\frac {\operatorname {d} \!^{k}}{\operatorname {d} \!t^{k}}}\right|_{t=0}f(u(t))+\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{n}}{n!}}{\frac {\operatorname {d} \!^{n+1}}{\operatorname {d} \!t^{n+1}}}f(u(t))\,\operatorname {d} \!t.}$

各種表達式的分類列表

數學表達式的各種形式包括了算術、多項式、代數、閉合形式和解析的表達式。下表列出了這些種類中所可能包含的元素。

閱 論 編	算式	多項式	代數式	閉合形式	解析式	數學表達式
常量	是	是	是	是	是	是
變數	是	是	是	是	是	是
四則運算	是	是	是	是	是	是
階乘	是	是	是	是	是	是
整數指數冪	否	是	是	是	是	是
N次方根	否	否	是	是	是	是
有理數冪	否	否	是	是	是	是
實數指數冪	否	否	否	是	是	是
對數	否	否	否	是	是	是
三角函數	否	否	否	是	是	是
反三角函數	否	否	否	是	是	是
雙曲函數	否	否	否	是	是	是
反雙曲函數	否	否	否	是	是	是
Γ函數	否	否	否	否	是	是
Bessel函數	否	否	否	否	是	是
特殊函數	否	否	否	否	是	是
連分數	否	否	否	否	是	是
級數	否	否	否	否	是	是
形式冪級數	否	否	否	否	否	是
微分	否	否	否	否	否	是
極限	否	否	否	否	否	是
積分	否	否	否	否	否	是

語法與語義

語法

表達式是一個句法結構，它必須具有良好定義的形式。表達式中的運算符必須在正確位置有正確的輸入數，組成這些輸入的字符必須是有效的，具有明確的運算次序等。違反語法規則的字符，不會構成有效的數學表達式。例如，在一般算術符號中，表達式 1 + 2 × 3 是形式良好的，而下面的表達式則不是：

${\displaystyle \times 4)x+,/y}$.

語義

表達式的語義是對語句意義的研究，邏輯語義學是關於所傳達的意義。在代數中，可用表達式指定一個值；而這個結果值取決於對式中變量所賦予的值，經由附加語義的運算符操作後以確定該值。語義的選擇則根據表達式的上下文。同一個表達式 1 + 2 × 3 可能會有不同結果（依算數慣例的結果為7，也可能是9），這取決於上下文中隱含的運算次序。

語義規則可以聲明某些表達式並無指定值（例如，當它們除以0時）；對這表達式稱為未定義，但它們仍然以良好的形式表現出來。廣義來說，表達式的意義並不侷限於指定值；例如，表達式可用於指定條件，表示要被求解的方程，或將其視為可根據某些規則而操作的對象。有指定值的表達式同時也代表了有假設前提，例如與運算符${\displaystyle \oplus }$有關的假設前提，會指定一個內部的直接和（direct sum）。

形式語言和lambda演算

表達式和其賦值曾在1930年代由阿隆佐·邱奇和Stephen Kleene在其${\displaystyle \lambda }$演算中被公式化。${\displaystyle \lambda }$演算對現代數學和電腦程式語言的發展都曾有過重大的影響。

${\displaystyle \lambda }$演算有著一個更有趣的推論，在某些情況之下，兩個表達式的等值與否是無法決定的。而且這個推論在任一和${\displaystyle \lambda }$演算有同樣功用的系統內也都是成立的。

變量

許多數學表達式中包括變量，變量又區分為自由變量或約束變量兩種。對於自由變量賦值的一給定組合，進行對表達式的評估，然而這些賦值的某些組合在評估整句表達式後的結果，可能沒有定義。因此一個表達式表示一個函數，其輸入是賦予自由變量的值，其輸出是表達式的結果值。

舉例來說，表達式 ${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$，分別使自由變數 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 定值為 ${\displaystyle 10}$ 和 ${\displaystyle 5}$，其輸出為數字 ${\displaystyle 2}$；
但注意在 ${\displaystyle y}$ 值為 ${\displaystyle 0}$ 時，則這表達式沒有定義。

數學表達式的評估取決於上下文背景對式中運算符的定義，賦值的定義域和評估結果的域。如果兩個表達式之中的變量，對於它們賦值的每一種組合都產生相同的輸出，則這兩個表達式被認定為相等，即它們實為相同的函數。

例如，表達式 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{3}2nx}$ 有自由變數 ${\displaystyle x}$、約束變數 ${\displaystyle n}$、常數 ${\displaystyle 1,2,3}$、兩個內含的乘法算符和一個總和算符。
此一表達式和另一較簡單的表達式 ${\displaystyle 12x}$ 相等。${\displaystyle x=3}$ 時的值為 ${\displaystyle 36}$。

參見

• 表達式 (程式)
• 代數閉包
• 組合子邏輯
• 函數式編程
• 數學公式
• 方程式
• 不等
• 恆等式

參考資料

1. Oxford English Dictionary, s.v. 「Expression (n.), sense II.7,」 "A group of symbols which together represent a numeric, algebraic, or other mathematical quantity or function."

外部連結

• Axiomatic Theory of Formulas - theory of expressions on high abstraction level.
• Plot mathematical expressions （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） this system plots math equations, graphs, diagrams, and even animated cartoons of transformation of math expressions and arithmetic operations. Knowledge of TeX not required.