代換積分法

換元積分法，又稱變數變換法（英語：Integration by substitution），是求積分的一種方法，由鏈式法則和微積分基本定理推導而來。

第一類換元法

設${\displaystyle f(x)\ }$為可積函數，${\displaystyle g=g(x)\ }$為連續可導函數，則有：

${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f(g)g'\mathrm {d} x=\int _{g(\alpha )}^{g(\beta )}f(g)\mathrm {d} g}$

第一類換元法的基本思想是配湊的思想。

第二類換元法

設${\displaystyle f(x)\ }$為可積函數，${\displaystyle x=x(g)\ }$為連續可導函數，則有：

${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f(x)\mathrm {d} x=\int _{x^{-1}(\alpha )}^{x^{-1}(\beta )}f(x(g))x'\mathrm {d} g}$

在遇到類似${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$、${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}$和${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$的式子時，通常採取分別令${\displaystyle x=\pm a\sec t}$、${\displaystyle x=\pm a\tan t}$或${\displaystyle x=\pm a\sin t}$進行換元^[1]，得到關於${\displaystyle t}$的一個原函數。如果要計算不定積分，則再由${\displaystyle x}$與${\displaystyle t}$的關係還原即可；如果要計算定積分，只需在變換後的積分限${\displaystyle \alpha }$和${\displaystyle \beta }$下計算相應的定積分即可。

例子

計算積分${\displaystyle \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx}$。

引入另外一個變數

設 ${\displaystyle u=x^{2}+1}$, 則 ${\displaystyle du=2xdx}$
當 ${\displaystyle x=0}$, ${\displaystyle u=1}$
當 ${\displaystyle x=2}$, ${\displaystyle u=5}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\therefore \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)dx&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2}{\underbrace {\cos({{x}^{2}}+1)} _{\cos u}\cdot \underbrace {2xdx} _{du}}\\&={\frac {1}{2}}\int _{1}^{5}\cos u\,du\\&={\frac {1}{2}}\left[\sin u\right]_{1}^{5}\\&={\frac {1}{2}}(\sin 5-\sin 1)\end{aligned}}}$

其中 ${\displaystyle dx}$ 換元為 ${\displaystyle du}$ 後，${\displaystyle \int _{0}^{2}}$ 亦變為 ${\displaystyle \int _{1}^{5}}$，是因為其形式為黎曼－斯蒂爾傑斯積分，但在黎曼－斯蒂爾傑斯積分中變數的取值範圍應該還是 x 的取值範圍，而不是 g(x) 的取值範圍。

不引入另外一個變數

${\displaystyle {\begin{matrix}\because &\displaystyle {{\frac {d}{dx}}({{x}^{2}}+1)=2x}\\\therefore &d({{x}^{2}}+1)=2xdx\\\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\therefore \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)dx&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2}{\cos({{x}^{2}}+1)\cdot 2xdx}\\&={\frac {1}{2}}\int _{1}^{5}\cos(x^{2}+1)\,d(x^{2}+1)\\&={\frac {1}{2}}\left[\sin(x^{2}+1)\right]_{1}^{5}\\&={\frac {1}{2}}(\sin 5-\sin 1)\end{aligned}}}$

注釋

1. 換元的過程需要注意指明新變量的取值範圍。

參見

• 分部積分法