初等函數

初等函數（基本函數）是由常函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數等經過有限次的有理運算（加、減、乘、除、乘方、開方）及有限次函數複合所產生、並且在定義域上能用一個方程式表示的函數。 ^[1]

一般來說，分段函數不是初等函數，因為在這些分段函數的定義域上不能用一個解析式表示。

初等函數的全體對算術運算、複合和微分（求導）是封閉的，但對求極限、無窮級數以及積分不封閉。只有劉維爾函數（英語：Liouvillian function）（初等函數及其積分）的全體對積分才是封閉的。

此外，部分初等函數不是整函數，或者在複數域上是多值函數。

名稱來源

之所以稱這些函數為「初等函數」或「基本函數」（法語：fonction élémentaire），需要從微分代數的角度考慮。儘管「初等函數」這個概念最初是由約瑟夫·劉維爾引入的，但目前的通行定義是由約瑟夫·里特給出的：

一個微分域${\displaystyle F}$，定義為某一個域${\displaystyle F_{0}}$再加上一個函數對函數的映射${\displaystyle u\rightarrow f(u)}$。其中，${\displaystyle f(u)}$滿足以下條件：

$${\displaystyle f(u+v)=f(u)+f(v)}$$$${\displaystyle f(uv)=uf(v)+vf(u)}$$且該域內的任意常數${\displaystyle C}$都滿足${\displaystyle f(C)=0}$。

在以上定義滿足時，一個函數${\displaystyle u}$被稱為${\displaystyle F}$上的初等函數，當且僅當該函數至少滿足以下三者之一：

• 是${\displaystyle F}$上的代數函數；
• 是${\displaystyle F}$上的指數性函數，意即${\displaystyle f(u)=uf(a),a\in F}$；
• 是${\displaystyle F}$上的對數性函數，意即${\displaystyle f(u)={\frac {f(a)}{a}},a\in F}$。

常函數

主條目：常函數

稱${\displaystyle f(x)=C}$為常數函數，其中C為常數，它的定義域為${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$。

冪函數

主條目：冪函數

稱形如${\displaystyle f(x)=Cx^{r}}$的函數為冪函數，其中C, r為常數。冪函數的定義域與r的值有關，但是不管r取何值，該函數在${\displaystyle (0,+\infty )}$上總有意義。

指數函數

主條目：指數函數

稱形如${\displaystyle f(x)=a^{x}}$的函數為指數函數，其中a是常數，${\displaystyle a>0}$且${\displaystyle a\neq 1}$。該函數的定義域為${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$，值域為${\displaystyle (0,+\infty )}$

對數函數

主條目：對數函數

稱形如${\displaystyle y=\log _{a}x\!}$的函數為對數函數，其中${\displaystyle a>0}$且${\displaystyle a\neq 1}$，是指數函數${\displaystyle y=a^{x}}$的反函數。該函數定義域為${\displaystyle (0,+\infty )}$，值域為${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

三角函數

主條目：三角函數

正弦函數

主條目：正弦函數

稱形如${\displaystyle f(x)=\sin x}$的函數為正弦函數，它的定義域為${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$，值域為${\displaystyle [-1,1]}$，最小正周期為${\displaystyle 2\pi }$。

餘弦函數

主條目：餘弦函數

稱形如${\displaystyle f(x)=\cos x}$的函數為餘弦函數，它的定義域為${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$，值域為${\displaystyle [-1,1]}$，最小正周期為${\displaystyle 2\pi }$。

正切函數

主條目：正切函數

稱形如${\displaystyle f(x)=\tan x}$的函數為正切函數，它的定義域為${\displaystyle \{x|x\neq k\pi +{\frac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \}}$，值域為${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$，最小正周期為${\displaystyle \pi }$。

餘切函數

主條目：餘切函數

稱形如${\displaystyle f(x)=\cot x}$的函數為餘切函數，它的定義域為${\displaystyle \{x|x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}}$，值域為${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$，最小正周期為${\displaystyle \pi }$。

正割函數

主條目：正割函數

稱形如${\displaystyle f(x)=\sec x}$的函數為正割函數，它的定義域為${\displaystyle \{x|x\neq k\pi +{\frac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \}}$，值域為${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )}$，最小正周期為${\displaystyle 2\pi }$。

餘割函數

主條目：餘割函數

稱形如${\displaystyle f(x)=\csc x}$的函數為餘割函數，它的定義域為${\displaystyle \{x|x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}}$，值域為${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )}$，最小正周期為${\displaystyle 2\pi }$。

反三角函數

主條目：反三角函數

其它常見初等函數

主條目：雙曲函數

雙曲函數

雙曲正弦函數：${\displaystyle y=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$
雙曲餘弦函數：${\displaystyle y=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$
雙曲正切函數：${\displaystyle y=\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}$

反雙曲函數

反雙曲正弦函數：${\displaystyle y=\operatorname {arsinh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})}$
反雙曲餘弦函數：${\displaystyle y=\operatorname {arcosh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}$

擴展閱讀

• Davenport, J. H.: What Might "Understand a Function" Mean. In: Kauers, M.; Kerber, M., Miner, R.; Windsteiger, W.: Towards Mechanized Mathematical Assistants. Springer, Berlin/Heidelberg 2007, p. 55-65. [1]（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

外部連結

• Elementary functions at Encyclopaedia of Mathematics（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 埃里克·韋斯坦因. 初等函数. MathWorld.

1. 伍勝健. 数学分析 第一册. 北京大學出版社. 2009: 24. ISBN 9787301156858.