複合函數

複合函數（英語：Function composition），又稱作合成函數，在數學中是指逐點地把一個函數作用於另一個函數的結果，所得到的第三個函數。例如，函數 f : X → Y 和 g : Y → Z 可以複合，得到從 X 中的 x 映射到 Z 中 g(f(x)) 的函數。直觀來說，如果 z 是 y 的函數，y 是 x 的函數，那麼 z 是 x 的函數。得到的複合函數記作 g ∘ f : X → Z，定義為對 X 中的所有 x，(g ∘ f )(x) = g(f(x))。^{[note 1]} 直觀地說，複合兩個函數是把兩個函數鏈接在一起的過程，內函數的輸出就是外函數的輸入。

函數的複合是關係複合的一個特例，因此複合關係的所有性質也適用於函數的複合。^[1] 複合函數還有一些其他性質。

定義

考慮到函數的值域跟定義域，要簡單的以「計算式」，如把所有 ${\displaystyle (x,\,x+1)}$ 和 ${\displaystyle (y,\,{\sqrt {y}})}$ 的有序對頭接尾的這樣直觀定義「合成」是會遇到問題的，像是把 ${\displaystyle x}$ 取為實數，這樣把 ${\displaystyle x+1}$ 很自然的對接到 ${\displaystyle y}$ 然後開根號成 ${\displaystyle {\sqrt {y}}}$ ，是會遇到對負數開根號，出現非單一值的問題（請參見棣莫弗公式），就算不考慮單一值的問題，我們期望的「合成函數」的值域到底該不該包含複數呢？所以 (1) 我們一開始就要把準備「合成」的兩個函數的值域跟定義域劃分清楚 (2) 要考慮到對接的時候，前面的值域跟後面的值域不一定相等的問題。

如果我們有兩個函數 ${\displaystyle f}$ 和 ${\displaystyle g}$ ，而兩者的定義域分別是 ${\displaystyle D_{f}}$ 和 ${\displaystyle D_{g}}$ ；值域分別是 ${\displaystyle I_{f}}$ 和 ${\displaystyle I_{g}}$ 。如果 ${\displaystyle I_{f}\cap D_{g}\neq \varnothing }$ ，那我們定義合成函數為

${\displaystyle g\circ f:=\{(x,\,z)\,|\,(\exists y\in I_{f}\cap D_{g})[y=f(x)\wedge z=g(y)]\}}$

直觀上來說，如果 ${\displaystyle f}$ 的「輸出範圍」是有一部分在 ${\displaystyle g}$ 的「輸入範圍」，那我們就可以定義「先作用 ${\displaystyle f}$ 再作用 ${\displaystyle g}$ 」的函數，但這個「新合成」的函數的定義域可能會因此被限縮（輸出值處在兩者交集的那些 ${\displaystyle x}$ 而已）。注意到每個 ${\displaystyle x}$ 只會有一個輸出值 ${\displaystyle y}$ ，而每個 ${\displaystyle y}$ 只會有一個輸出值 ${\displaystyle z}$ ，所以這樣「先作用 ${\displaystyle f}$ 再作用 ${\displaystyle g}$ 」的話，每個 ${\displaystyle x}$ 只會有一個輸出值 ${\displaystyle z}$ 而已，這確保了 ${\displaystyle g\circ f}$ 符合我們對函數的要求。

絕對值函數與三次函數，兩個實函數以不同的次序複合。這表明了函數複合不遵守交換律

當 ${\displaystyle g\circ f=f\circ g}$ 時（注意這是集合的相等！），我們會說 ${\displaystyle g}$ 和 ${\displaystyle f}$ 是可交換的。

兩個一對一函數的合成函數也是一對一的。

涉及到可導函數的複合函數的導數，可以用鏈式法則求得。Faà di Bruno公式給出了複合函數的高階導數的表達式。

例子

g ∘ f ，f 與 g 的複合。例如，(g ∘ f )(c) = #.

兩個函數複合的具體例子

• 有限集上的函數複合：若 f = {(1, 3), (2, 1), (3, 4), (4, 6)}，g = {(1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 1), (5, 3), (6, 2)}，則 g ∘ f = {(1, 4), (2, 5), (3, 1), (4, 2)}.
• 無限集上的函數複合：若 f: ℝ → ℝ （其中 ℝ 是所有實數的集合）表達式為 f(x) = 2x + 4，而 g: ℝ → ℝ 表達式為 g(x) = x³，則：

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x³) = 2x³ + 4，且

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 4) = (2x + 4)³.

• 如果一架飛機在 t 時刻的海拔為 h(t)，而海拔 x 處的氧氣濃度為 c(x)，那麼 (c ∘ h)(t) 描述了 t 時刻飛機周圍的氧氣濃度。

複合幺半群

假設我們有兩個（或多個）函數 f: X → X, g: X → X，定義域與到達域相同；這些函數一般稱作變換。於是，我們可以構造多個變換複合而成的鏈，比如 f ∘ f ∘ g ∘ f。這種鏈具有幺半群的代數結構，稱作變換幺半群或者複合幺半群。通常，變換幺半群可以具有非常複雜的結構。一個很有名的例子是德拉姆曲線。所有函數 f: X → X 的集合稱作 X 上的全變換半群^[2]或對稱半群^[3]。（我們其實可以定義兩個半群，這取決於定義半群運算為函數左複合和右複合的方式。^[4]）

把△EFA變換為△ATB的相似性是位似 H 和以 S 為中心的旋轉 R 的複合。例如，A 在旋轉R下的像是 U，可以寫作R (A) = U。而 H(U) = B 表示映射 H 把 U 變換到了 B。因此，H(R (A)) = (H ∘ R )(A) = B。

如果變換是雙射（也就可逆），則這些函數所有可能的組合就構成了一個變換群；可以說這個群是由這些函數生成的。這就引出了群論裡面的凱萊定理從本質上表明，（在同構意義下）任何群都是某一置換群的子群。^[5]

所有雙射函數 f: X → X（稱作置換）的集合構成了一個關於複合算子的群。這就是對稱群，有時稱作複合群。

在（所有變換的）對稱半群中，我們還可以發現一個較弱的、非唯一的逆變換（稱作偽逆），因為對稱子群是一個正則半群。^[6]

函數冪

如果 Y ⊆ X，則 f: X→Y 有可能可以與自身複合；這有時候記作 f ²。即：

(f ∘ f)(x) = f(f(x)) = f ²(x)

(f ∘ f ∘ f)(x) = f(f(f(x))) = f ³(x)

(f ∘ f ∘ f ∘ f)(x) = f(f(f(f(x)))) = f ⁴(x)

更一般地，對於 n ≥ 2 的自然數，n 次函數冪可以歸納定義為 f ⁿ = f ∘ f ⁿ⁻¹ = f ⁿ⁻¹ ∘ f. 這種函數與自身的反覆複合稱作迭代函數。

• 習慣上，f ⁰ 定義為 f 定義域上的恆同映射，id_X.
• 如果 Y = X，而 f: X → X 存在反函數 f ⁻¹，那麼對於 n > 0，負函數冪 f ⁻ⁿ 定義為反函數的冪：f ⁻ⁿ = (f ⁻¹)ⁿ.

注意：若 f 在一個環內取值（特別是對於實值或復值f），存在混淆的風險，因為 f ⁿ 也可以表示 f 的 n 次乘積，比如 f ²(x) = f(x) · f(x). 對於三角函數，通常會使用後者的含義，至少對於正指數是這樣。例如，在三角學中，使用三角函數 sin²(x) = sin(x) · sin(x) 的時候，這個上標記號表示標準的指數運算。不過，對於負指數（特別是 −1），則通常指的是反函數，例如，tan⁻¹ = arctan ≠ 1/tan.

在一些情況下，對於給定函數 f，方程 g ∘ g = f 只有一個解 g 的時候，該函數可以定義為 f 的函數平方根，記作 g = f ^1/2.

更一般地，當 gⁿ = f 只有唯一解時（自然數 n > 0），f ^m/n可以定義為 g^m.

在額外的限制下，這個想法還可以推廣，使得迭代函數可以是一個連續的參數；在此情形下，這樣的系統稱作流，由施羅德方程定義。迭代函數和流很自然地出現在分形和動力系統的研究中。

為避免混淆，有些數學家把 f 的 n 次迭代寫作 f °ⁿ.

其他記法

許多數學家，特別是群論方面的數學家，省去複合符號，把 g ∘ f 寫作 gf.^[7]

在20世紀中葉，一些數學家認為用「g ∘ f 」來表示「首先施加 f，然後施加 g」太令人困惑，於是決定改變記法。他們用「xf」來代表「f(x)」，用「(xf)g」來代表「g(f(x))」。^[8] 這在某些領域會比函數寫在左面更加自然和簡便—比如在線性代數中，當 x 為行向量，f 和 g 表示矩陣，而複合是通過矩陣乘法完成的時候。這種替代記法稱作後綴表示法。順序很重要，因為函數複合不一定是可交換的（比如矩陣乘法）。向右進行施加函數和複合的寫法複合從左到右的閱讀順序。

使用後綴表示法的數學家可能會寫「fg」，表示先施加 f 再施加 g，這樣就能與後綴表示法中的符號的順序保持一致，不過這就會讓「fg」這個記號有歧義了。計算機科學家可能用 f ; g 來表示 [1] ，這樣就能區分出複合的順序了。要把左複合算子和文本分好區分開來，在Z表示法（Z notation）中 ⨾ 字符用於左關係複合。^[9] 由於所有函數都是二元關係，在函數複合中也應該用[粗]分號（參見 關係複合條目了解此記法的詳細內容）。

複合算子

給定函數 g，複合算子 C_g 定義為使得

${\displaystyle C_{g}f=f\circ g.}$

的從函數映射到函數的算子。在算子理論領域會研究複合算子。

多元函數

對於多元函數來說，部分複合是有可能的。當函數 f 的部分參數 x_i 由 g 換掉後得到的結果在一些計算機工程文獻中，記作 f |_{xi = g}

${\displaystyle f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}$

當 g 是一個常數 b 時，複合退化為一個（部分）求值，其結果就會是限制或者輔因子。^[10]

${\displaystyle f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}$

通常，多元函數的複合可能涉及若干其他函數作為參數，如原始遞歸函數的定義。給定 f，一個 n 元函數，n 個 m 元函數 g₁, ..., g_n，f 與 g₁, ..., g_n 的複合是 m 元函數

${\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m}))}$.

這有時稱作 f 與 g₁, ..., g_n 的廣義複合。^[11] 在這個一般化的情形中，可以通過把所有這些用作參數的函數合適地選為射影函數，只保留一個參數函數，就能得到前面提到的只有一個參數部分複合的函數。還要注意，在這個一般化情形中，g₁, ..., g_n 可以看作是單個向量或元組值函數，這樣理解的話，這就是複合函數的標準定義。^[12]

某些基本集 X 上的一些有限性運算稱作克隆，它們需要包含所有射影，並且在廣義複合下封閉。請注意，克隆通常包含各種元數（arity）的運算。^[11] 交換的概念在多元情形中葉有一個有意思的推廣：如果元數 n的函數 f 是保持 g 的同態函數（g 的元數為 m），則可以說 f與 g 是可交換的，反之亦然。例如：^[13]

${\displaystyle f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm}))}$.

一元運算總是與自己可交換，但二元（或者更多元）運算不一定如此。與自身可交換的二元（或更多元）運算稱為medial或entropic。^[13]

推廣

複合可以推廣到任意二元關係。若 R ⊆ X × Y 與 S ⊆ Y × Z 是兩個二元關係，則它們的複合 S∘R 是定義為 {(x, z) ∈ X × Z : ∃y ∈ Y. (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S}. 考慮二元關係的一個特殊情形（函數關係），複合函數滿足關係複合的定義。

偏函數的複合可是用相同方式定義的定義，有一個類似凱萊定理（Cayley's theorem）的定理叫做Wagner-Preston定理。^[14]

具有態射函數的集合範疇叫做原型範疇（prototypical category）。範疇的公理實際上受到了複合函數的性質（和定義）啟發。^[15] 由複合形成的結構在範疇論中被公理化和推廣，函數的概念換成了範疇論中的態射。公式 (f ∘ g)⁻¹ = (g⁻¹ ∘ f ⁻¹) 中的反序複合，同樣適用於使用逆關係的關係複合，因此在群論中也適用。這些結構形成了dagger範疇。

排版

複合算子 ∘  編碼為U+2218 ∘ RING OPERATOR ，HTML：∘。參見Degree symbol條目中外觀類似的Unicode字符。在TeX中，寫作\circ。

參見

• 組合子邏輯
• 函數分解（英語：Functional decomposition）
• 迭代函數
• 解析函數的無限複合（英語：Infinite compositions of analytic functions）
• 流
• 高階函數
• 蛛網圖（英語：Cobweb plot），函數複合的圖形方法
• Λ演算
• 函數平方根（英語：Functional square root）
• 複合環（英語：Composition ring），複合運算的形式公理化
• 隨機變量函數

注釋

1. 有些作者使用 f ∘ g : X → Z，定義為 (f ∘ g )(x) = g(f(x))。

參考文獻

1. Daniel J. Velleman. How to Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press. 2006: 232. ISBN 978-1-139-45097-3.
2. Christopher Hollings. Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. 2014: 334. ISBN 978-1-4704-1493-1.
3. Pierre A. Grillet. Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. CRC Press. 1995: 2. ISBN 978-0-8247-9662-4.
4. Pál Dömösi; Chrystopher L. Nehaniv. Algebraic Theory of Automata Networks: A Introduction. SIAM. 2005: 8. ISBN 978-0-89871-569-9.
5. Nathan Carter. Visual Group Theory. MAA. 9 April 2009: 95. ISBN 978-0-88385-757-1.
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8. Jean Gallier. Discrete Mathematics. Springer. 2011: 118 [2018-08-05]. ISBN 978-1-4419-8047-2. （原始內容存檔於2019-06-06）.
9. ISO/IEC 13568:2002(E), p. 23
10. Bryant, R.E. Logic Minimization Algorithms for VLSI Synthesis (PDF). IEEE Transactions on Computers. August 1986, C–35 (8): 677–691 [2018-08-05]. doi:10.1109/tc.1986.1676819. （原始內容存檔 (PDF)於2020-11-29）.
11. Clifford Bergman. Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. CRC Press. 2011: 79–80. ISBN 978-1-4398-5129-6.
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14. S. Lipscomb, "Symmetric Inverse Semigroups", AMS Mathematical Surveys and Monographs (1997), ISBN 0-8218-0627-0, p. xv
15. Peter Hilton; Yel-Chiang Wu. A Course in Modern Algebra. John Wiley & Sons. 1989: 65. ISBN 978-0-471-50405-4.

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Composite function, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• "Composition of Functions （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.