帕塞瓦爾恆等式

在數學分析中，以馬克-安托萬·帕塞瓦爾命名的帕塞瓦爾恆等式是一個有關函數的傅里葉級數的可加性的基礎結論。從幾何觀點來看，這就是內積空間上的畢達哥拉斯定理。

通俗地說，此恆等式表明「函數的傅里葉係數的平方和」與「函數平方後的積分值」可以直接換算

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx,}$

在這裡ƒ的傅里葉係數c_n可通過下式計算得到

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\mathrm {e} ^{-inx}\,dx.}$

正式一點地說，結論成立的前提是上面提到的ƒ必須是平方可積函數，或者更一般地說，要是在L²[−π,π]中。一個與之相似的結果就是普朗歇爾定理,它指出函數的傅里葉轉換的平方和的積分等於函數本身平方的積分。就一維情形而言，對於ƒ ∈ L²(R)，我們有

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi =\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.}$

畢達哥拉斯定理的推廣

首先我們回顧一下畢達哥拉斯定理的內容。在一般的歐氏平面幾何中，畢達哥拉斯定理說明直角三角形的兩個直角邊之長度的平方加起來等於斜邊的平方。從另一種角度來看，若在平面上定義了一個直角坐標系xOy（單位向量分別是${\displaystyle (e_{x},e_{y})}$），那麼一個向量和它在這兩個坐標軸方向上的投影構成一個直角三角形，因此，向量的長度的平方等於它在兩個坐標軸方向上的投影的長度的平方之和。

對於一個有限維的歐幾里得空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 以及其中的標準規範正交基${\displaystyle (e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n})}$，空間中的一個向量${\displaystyle v=(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n})}$ 的長度的平方等於它在各個基向量上的投影的長度的平方之和：

${\displaystyle \left\|v\right\|^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}.}$

在一般的希爾伯特空間之中，也有類似的等式。設${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 是一個具有內積：${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }$ 的希爾伯特空間。考慮${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 中的一組規範正交基：${\displaystyle (e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n},\cdots )}$，那麼${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 中的每一個向量的範數的平方都等於它在各個基向量上的投影的平方之和:

${\displaystyle \sum _{k}\left|\left\langle x,e_{k}\right\rangle \right|^{2}=\left\|x\right\|^{2}.}$

更準確地說，帕塞瓦爾恆等式與畢達哥拉斯定理在如下更具一般性的情形下存在聯繫，下面說的是一種拓撲可分離的希爾伯特空間。假設H是一個具有內積〈·,·〉的希爾伯特空間。令(e_n)是H的一組正交基；也就是說，e_n的線性張成是H中的稠密集，且e_n彼此正交:

${\displaystyle \langle e_{m},e_{n}\rangle ={\begin{cases}1&{\mbox{if}}\ m=n\\0&{\mbox{if}}\ m\not =n.\end{cases}}}$

利用帕塞瓦爾恆等式隨即可以斷言對於任何 x ∈ H,

${\displaystyle \sum _{n}|\langle x,e_{n}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}.}$

這個式子與畢達哥拉斯定理有着顯而易見的相似性，後者指出「向量的正交分量的平方和」等於「向量長度（模）的平方」。由此也不難得到傅里葉級數版本的帕塞瓦爾恆等式，只需讓L²[−π,π]取代H，並對於所有n ∈ Z.令e_n = e^−inx。

更一般地說，帕塞瓦爾恆等式在任何內積空間中都成立，而不只局限於希爾伯特空間。因此假定H是一個內積空間。令B表示H的一組正交基;換句話說，B是一個其線性張成在H中稠密的正交集合。然後可得

${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle =\sum _{v\in B}\left|\langle x,v\rangle \right|^{2}.}$

「B是全體v的總和」這一假定對於恆等式的有效性是不可或缺的。如果B不是v的總和，那麼帕塞瓦爾恆等式中的等號必須用「≥」符號替換，恆等式此時退化為貝塞爾不等式。帕塞瓦爾恆等式的這種推廣形式可以用里斯-費歇爾定理加以證明。

參見

• 帕塞瓦爾定理

參考文獻

• Hazewinkel, Michiel (編), Parseval equality, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• Johnson, Lee W.; Riess, R. Dean, Numerical Analysis 2nd, Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1982, ISBN 0-201-10392-3.
• Titchmarsh, E, The Theory of Functions 2nd, Oxford University Press, 1939.
• Zygmund, Antoni, Trigonometric series 2nd, Cambridge University Press, 19681988, ISBN 978-0-521-35885-9.