范数

範數（英語：Norm），是具有「長度」概念的函數。在線性代數、泛函分析及相關的數學領域，是一個函數，其為向量空間內的所有向量賦予非零的正長度或大小。另一方面，半範數（英語：seminorm）可以為非零的向量賦予零長度。

提示：此條目的主題不是範數 (域論)。

擁有不同範數的單位圓

舉一個簡單的例子，一個二維度的歐幾里得空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 就有歐氏範數。在這個向量空間的元素（譬如：${\displaystyle (3,7)}$）常常在笛卡爾坐標系統被畫成一個從原點出發的箭號。每一個向量的歐氏範數就是箭號的長度。

擁有範數的向量空間就是賦范向量空間。同樣，擁有半範數的向量空間就是賦半范向量空間。

定義

假設 ${\displaystyle V}$ 是域 ${\displaystyle \mathbb {F} }$ 上的向量空間；${\displaystyle V}$ 的半範數是一個函數 ${\displaystyle p:V\to \mathbb {R} ;x\mapsto {}p(x)}$，滿足：

${\displaystyle \forall a\in \mathbb {F} ,\forall u,v\in V}$,

1. ${\displaystyle p(v)\geq 0}$（具有半正定性）
2. ${\displaystyle p(av)=|a|p(v)}$（具有絕對一次齊次性）
3. ${\displaystyle p(u+v)\leq p(u)+p(v)}$（滿足三角不等式，或稱次可加性）

範數是一個半範數加上額外性質：

4. ${\displaystyle p(v)=0}$，當且僅當 ${\displaystyle v}$ 是零向量（正定性）

如果拓撲向量空間的拓撲可以被範數導出，這個拓撲向量空間被稱為賦范向量空間。

例子

• 所有範數都是半範數。
• 平凡半範數，即 ${\displaystyle p(x)=0,\forall x\in V}$。
• 絕對值是實數集上的一個範數。
• 對向量空間上的次線性型 ${\displaystyle f}$ 可定義一個半範數：${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\to |f({\boldsymbol {x}})|}$。

絕對值範數

絕對值範數為

${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|=\sum _{i}^{n}|x_{i}|}$

是在由實數或虛數構成的一維向量空間中的範數。

絕對值範數是曼哈頓範數的特殊形式。

歐幾里得範數

主條目：歐幾里德距離

在 ${\displaystyle n}$ 維歐幾里得空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上，向量 ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},x_{2},\,\ldots \,,x_{n})^{\mathrm {T} }}$ 的最符合直覺的長度由以下公式給出

${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

根據勾股定理，它給出了從原點到點 ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ 之間的（通常意義下的）距離。歐幾里得範數是 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上最常用的範數，但正如下面舉出的，${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上也可以定義其他的範數。然而，以下定義的範數都定義了同一個拓撲結構，因此它們在某種意義上都是等價的。

在一個 ${\displaystyle n}$ 維複數空間 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ 中，最常見的範數是：

${\displaystyle \|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}$

以上兩者又可以以向量與其自身的內積的平方根表示：

${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{*}{\boldsymbol {x}}}},}$

其中 ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ 是一個列向量（${\displaystyle [x_{1},x_{2},\,\ldots \,,x_{n}]^{\mathrm {T} }}$），而 ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{*}}$ 表示其共軛轉置。

以上公式適用於任何內積空間，包括歐式空間和復空間。在歐幾里得空間裡，內積等價於點積，因此公式可以寫成以下形式：

${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$

特別地，${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ 中所有的歐幾里得範數為同一個給定正實數的向量的集合是一個 n 維球面。

複數的歐幾里得範數

如果將複平面看作歐幾里得平面 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$，那麼複數的歐幾里得範數是其絕對值（又稱為模）。這樣，我們可把 ${\displaystyle x+i\,y}$ 視為歐幾里得平面上的一個向量(稱等距同構)，由此，這個向量的歐幾里得範數即為 ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$（最初由歐拉提出）。

參見

• 內積
• 賦范向量空間
• 矩陣範數
• 曼哈頓距離
• Lp 範數

參考文獻

• Bourbaki, Nicolas. Chapters 1–5. Topological vector spaces. Springer. 1987. ISBN 3-540-13627-4.
• Prugovečki, Eduard. Quantum mechanics in Hilbert space 2nd. Academic Press. 1981: 20. ISBN 0-12-566060-X.
• Trèves, François. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Academic Press, Inc. 1995: 136–149, 195–201, 240–252, 335–390, 420–433. ISBN 0-486-45352-9.
• Khaleelulla, S. M. Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Springer-Verlag. 1982: 3–5. ISBN 978-3-540-11565-6. Zbl 0482.46002.