n 維球面 是普通的球面 在任意維度 的推廣。它是(n + 1)維空間內的n 維流形 。特別地,0維球面就是直線上的兩個點,1維球面是平面 上的圓 ,2維球面是三維空間內的普通球面。高於2維的球面有時稱為超球面 。中心位於原點且半徑為單位長度的n 維球面稱為單位n 維球面 ,記為S n 。用符號來表示,就是:
S
n
=
{
x
∈
R
n
+
1
:
‖
x
‖
=
1
}
.
{\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\|x\|=1\right\}.}
2維球面的正交投影
3維球面的平行線(紅色)、 子午線 (藍色)以及超子午線(綠色)的立體投影法 。 因為立體投影法的共形 特性,這些曲線彼此在交點上彼此正交(圖中黃色點),如同在四維空間中一樣。所有曲線都是圓;交會在<0,0,0,1>的曲線具有無限大的半徑(亦即直線)。
n 維球面是(n + 1)維球體 的表面或邊界,是n 維流形的一種。對於n ≥ 2,n 維球面是單連通 的n 維流形,其曲率為正的常數。
對於任何自然數 n ,半徑 為r 的n 維球面定義為(n + 1)維歐幾里得空間 中到某個定點的距離等於常數r 的所有點的集合,其中r 可以是任何正的實數。它是(n + 1)維空間內的n 維流形 。特別地:
0維球面是直線上的兩個點{p − r , p + r };
1維球面是平面 上的圓 ;
2維球面是三維空間內的普通球面;
3維球面 是四維空間內的球面。
(n + 1)維空間中的點(x 1 , x 2 , ..., x n +1 )定義了一個n 維球面(S n (r )),由以下方程表示:
r
2
=
∑
i
=
1
n
+
1
(
x
i
−
C
i
)
2
.
{\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-C_{i})^{2}.\,}
其中C 是中心點,r 是半徑。
以上的n 維球面在(n + 1)維空間中存在,是n 維流形的一個例子。半徑為
r
{\displaystyle r}
的n 維球面的體積形式 ω由下式給出:
ω
=
1
r
∑
j
=
1
n
+
1
(
−
1
)
j
−
1
x
j
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
j
−
1
∧
d
x
j
+
1
∧
⋯
∧
d
x
n
+
1
=
∗
d
r
{\displaystyle \omega ={1 \over r}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}=*dr}
其中*是霍奇星算子 (關於討論和這個公式在r = 1的情形下的證明,請參見Flanders (1989 ,§6.1))。因此,
d
r
∧
ω
=
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
+
1
.
{\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.}
由n 維球面所包圍的體積,稱為(n + 1)維球體 。如果把球體的表面包括在內,則(n + 1)維球體是封閉 的,否則是開放 的。
特別地:
1維球體,是一個線段 ,是0維球面的內部。
2維球體,是一個圓盤 ,是圓(1維球面)的內部。
3維球體,是一個普通的球體 ,是球面(2維球面)的內部。
4維球體,是3維球面的內部。
對於較小的
n
{\displaystyle n}
,半徑為
R
{\displaystyle R}
的
n
{\displaystyle n}
維球體體積
V
n
{\displaystyle V_{n}}
為如下:
V
0
{\displaystyle V_{0}\,}
=
1
{\displaystyle 1\,}
V
1
{\displaystyle V_{1}\,}
=
2
R
{\displaystyle 2\,R}
≈
{\displaystyle \approx }
2.00000
R
{\displaystyle 2.00000\,R}
V
2
{\displaystyle V_{2}\,}
=
π
R
2
{\displaystyle \pi \,R^{2}}
≈
{\displaystyle \approx }
3.14159
R
2
{\displaystyle 3.14159\,R^{2}}
V
3
{\displaystyle V_{3}\,}
=
4
π
3
R
3
{\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}\,R^{3}}
≈
{\displaystyle \approx }
4.18879
R
3
{\displaystyle 4.18879\,R^{3}}
V
4
{\displaystyle V_{4}\,}
=
π
2
2
R
4
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{2}}\,R^{4}}
≈
{\displaystyle \approx }
4.93480
R
4
{\displaystyle 4.93480\,R^{4}}
V
5
{\displaystyle V_{5}\,}
=
8
π
2
15
R
5
{\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{15}}\,R^{5}}
≈
{\displaystyle \approx }
5.26379
R
5
{\displaystyle 5.26379\,R^{5}}
V
6
{\displaystyle V_{6}\,}
=
π
3
6
R
6
{\displaystyle {\frac {\pi ^{3}}{6}}\,R^{6}}
≈
{\displaystyle \approx }
5.16771
R
6
{\displaystyle 5.16771\,R^{6}}
V
7
{\displaystyle V_{7}\,}
=
16
π
3
105
R
7
{\displaystyle {\frac {16\pi ^{3}}{105}}\,R^{7}}
≈
{\displaystyle \approx }
4.72477
R
7
{\displaystyle 4.72477\,R^{7}}
V
8
{\displaystyle V_{8}\,}
=
π
4
24
R
8
{\displaystyle {\frac {\pi ^{4}}{24}}\,R^{8}}
≈
{\displaystyle \approx }
4.05871
R
8
{\displaystyle 4.05871\,R^{8}}
但當
n
{\displaystyle n}
趨於無窮大時,
V
n
R
n
{\displaystyle {\frac {V_{n}}{R^{n}}}}
趨於0。
如果維度n 不限於整數,那麼n維球面的體積就是n 的連續函數 ,它的極大值 位於n = 5.2569464...,體積為5.277768...。當n = 0或n = 12.76405...時,體積為1。
單位n 維球面的外切超正方體 的邊長為2,因此體積為2n ;當維度增加時,n 維球面的體積與外切於它的超正方體的體積之比單調減少。
我們可以定義n維空間內的坐標系統,與3維空間內的球坐標系 類似,由徑向坐標
r
{\displaystyle \ r}
和
n
−
1
{\displaystyle \ n-1}
個角度坐標
ϕ
1
,
ϕ
2
,
.
.
.
,
ϕ
n
−
1
{\displaystyle \ \phi _{1},\phi _{2},...,\phi _{n-1}}
組成。如果
x
i
{\displaystyle \ x_{i}}
是笛卡兒坐標系,那麼我們可以定義:
x
1
=
r
cos
(
ϕ
1
)
{\displaystyle x_{1}=r\cos(\phi _{1})\,}
x
2
=
r
sin
(
ϕ
1
)
cos
(
ϕ
2
)
{\displaystyle x_{2}=r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\,}
x
3
=
r
sin
(
ϕ
1
)
sin
(
ϕ
2
)
cos
(
ϕ
3
)
{\displaystyle x_{3}=r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3})\,}
⋯
{\displaystyle \cdots \,}
x
n
−
1
=
r
sin
(
ϕ
1
)
⋯
sin
(
ϕ
n
−
2
)
cos
(
ϕ
n
−
1
)
{\displaystyle x_{n-1}=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\,}
x
n
=
r
sin
(
ϕ
1
)
⋯
sin
(
ϕ
n
−
2
)
sin
(
ϕ
n
−
1
)
{\displaystyle x_{n}~~\,=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})\,}
從中可以推出逆變換的公式:
tan
(
ϕ
n
−
1
)
=
x
n
x
n
−
1
{\displaystyle \tan(\phi _{n-1})={\frac {x_{n}}{x_{n-1}}}}
tan
(
ϕ
n
−
2
)
=
x
n
2
+
x
n
−
1
2
x
n
−
2
{\displaystyle \tan(\phi _{n-2})={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}{x_{n-2}}}}
⋯
{\displaystyle \cdots \,}
tan
(
ϕ
1
)
=
x
n
2
+
x
n
−
1
2
+
⋯
+
x
2
2
x
1
{\displaystyle \tan(\phi _{1})={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}{x_{1}}}}
注意最後一個角
ϕ
n
−
1
{\displaystyle \phi _{n-1}}
的值域為
2
π
{\displaystyle 2\pi }
,而其它角的值域為
π
{\displaystyle \pi }
。這個值域覆蓋了整個球面。
n 維空間內的體積元素 可以從變換的雅可比行列式 得出:
d
R
n
V
=
|
det
∂
(
x
i
)
∂
(
r
,
ϕ
j
)
|
d
r
d
ϕ
1
d
ϕ
2
…
d
ϕ
n
−
1
{\displaystyle d_{\mathbb {R} ^{n}}V=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial (r,\phi _{j})}}\right|dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\ldots d\phi _{n-1}}
=
r
n
−
1
sin
n
−
2
(
ϕ
1
)
sin
n
−
3
(
ϕ
2
)
⋯
sin
(
ϕ
n
−
2
)
d
r
d
ϕ
1
d
ϕ
2
⋯
d
ϕ
n
−
1
{\displaystyle =r^{n-1}\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\cdots d\phi _{n-1}}
以上n維球體的體積方程可以通過積分來重新得出:
V
n
=
∫
r
=
0
R
∫
ϕ
1
=
0
π
⋯
∫
ϕ
n
−
2
=
0
π
∫
ϕ
n
−
1
=
0
2
π
d
R
n
V
.
{\displaystyle V_{n}=\int _{r=0}^{R}\int _{\phi _{1}=0}^{\pi }\cdots \int _{\phi _{n-2}=0}^{\pi }\int _{\phi _{n-1}=0}^{2\pi }d_{\mathbb {R} ^{n}}V.\,}
(n -1)–維球面的體積元素是2維球面的面積元素 的推廣,由以下公式給出:
d
S
n
−
1
V
=
sin
n
−
2
(
ϕ
1
)
sin
n
−
3
(
ϕ
2
)
⋯
sin
(
ϕ
n
−
2
)
d
ϕ
1
d
ϕ
2
…
d
ϕ
n
−
1
{\displaystyle d_{S^{n-1}}V=\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\ldots d\phi _{n-1}}
就像三維空間中的二維球面可以通過球極平面投影 映射到二維平面上一樣,一個n維球面也可以通過球極平面投影的n維形式映射到n維超平面。例如,半徑為1的二維球面上的點
[
x
,
y
,
z
]
{\displaystyle \ [x,y,z]}
映射到
x
y
{\displaystyle \ xy}
平面上的點
[
x
,
y
,
z
]
↦
[
x
1
−
z
,
y
1
−
z
]
{\displaystyle \ [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right]}
。也就是說:
[
x
,
y
,
z
]
↦
[
x
1
−
z
,
y
1
−
z
]
.
{\displaystyle \ [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].}
類似地,半徑為1的n維球面
S
n
−
1
{\displaystyle \mathbf {S} ^{n-1}}
的球極平面投影映射到垂直於
x
n
{\displaystyle \ x_{n}}
軸的n-1維超平面
R
n
−
1
{\displaystyle \mathbf {R} ^{n-1}}
:
[
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
]
↦
[
x
1
1
−
x
n
,
x
2
1
−
x
n
,
…
,
x
n
−
1
1
−
x
n
]
.
{\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].}
Flanders, Harley, Differential forms with applications to the physical sciences, New York: Dover Publications , 1989, ISBN 978-0-486-66169-8 .
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