共軛轉置

矩陣${\displaystyle A}$的共軛轉置（英語：conjugate transpose，又稱埃爾米特共軛、埃爾米特轉置（英語：Hermitian transpose））${\displaystyle A^{*}}$的定義為：

${\displaystyle (A^{*})_{i,j}={\overline {A_{j,i}}}}$

線性代數
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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閱 論 編

其中${\displaystyle (\cdot )_{i,j}}$表示矩陣i行j列上的元素，${\displaystyle {\overline {(\cdot )}}}$表示標量的復共軛。

這一定義也可以寫作：

${\displaystyle A^{*}=({\overline {A}})^{\mathrm {T} }={\overline {A^{\mathrm {T} }}}}$

其中${\displaystyle A^{\mathrm {T} }\,\!}$是矩陣A的轉置，${\displaystyle {\overline {A}}\,\!}$表示對矩陣A中的元素取復共軛。

通常用以下記號表示矩陣A的共軛轉置：

• ${\displaystyle A^{*}\,\!}$或${\displaystyle A^{\mathrm {H} }\,\!}$，常用於線性代數
• ${\displaystyle A^{\dagger }\,\!}$，普遍用於量子力學，而同時${\displaystyle A^{*}\,\!}$只表示為${\displaystyle A\,\!}$的複數共軛。^[1]
• ${\displaystyle A^{+}\,\!}$（但這一記號通常指矩陣的摩爾－彭若斯廣義逆)

注意：某些情況下${\displaystyle A^{*}\,\!}$也指僅對矩陣元素取復共軛，而不做矩陣轉置，切勿混淆。

實例

若

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}3+i&5\\2-2i&i\end{bmatrix}}}$ ，

則

${\displaystyle A^{*}={\begin{bmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\end{bmatrix}}}$。

基本評註

如果A的元素是實數，那麼A^*與A的轉置A^T相等。把復值方塊矩陣視為複數的推廣，以及把共軛轉置視為共軛複數的推廣通常是非常有用的。

元素為${\displaystyle a_{ij}}$的方塊矩陣A稱為：

• 埃爾米特矩陣或自伴矩陣，如果A = A^*，也就是說，${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}^{*}}$ ；
• 斜埃爾米特矩陣或反埃爾米特矩陣，如果A = −A^*，也就是說，${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}^{*}}$ ；
• 正規矩陣，如果A^*A = AA^*。

即使A不是方塊矩陣，A^*A和AA^*仍然是埃爾米特矩陣和半正定矩陣。

性質

• (A + B)^* = A^* + B^*。
• (rA)^* = r^*A^*，其中r為複數，r^*為r的復共軛。
• (AB)^* = B^*A^*，其中A為m行n列的矩陣，B為n行p列矩陣。
• (A^*)^* = A 。
• 若A為方陣，則det(A^*) = (det A)^*，且tr(A^*) = (tr A)^* 。
• A是可逆矩陣，當且僅當A^*可逆，且有(A^*)⁻¹ = (A⁻¹)^* 。
• A^*的特徵值是A的特徵值的復共軛。
• <Ax,y> = <x, A^*y>，其中A為m列n行的矩陣，復向量x為n維行向量，復向量y為m維行向量，<·,·>為複數的內積。

推廣

• 從上面給出的最後一個性質可以推出，如果我們把A視為從希爾伯特空間Cⁿ到C^m的線性變換，則矩陣A^*對應於A的自伴算子。於是，希爾伯特空間之間的自伴算子可以視為矩陣的共軛轉置的推廣。
• 還可以進行另外一種推廣：假設A是一個從復值向量空間V到W的線性映射，那麼可以定義復共軛線性映射和線性映射的轉置，並可以取A的共軛轉置為A的轉置的共軛複數。它把W的共軛對偶映射到V的共軛對偶。

參見

• 埃爾米特伴隨