零空間

在數學中，一個算子 A 的零空間是方程 Av = 0 的所有解 v 的集合。它也叫做 A 的核（核空間）。用集合建造符號表示為

${\displaystyle {\hbox{Null}}(A)=\{\mathbf {v} \in V:A\mathbf {v} =\mathbf {0} \}.}$

線性代數
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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閱 論 編

儘管術語核更加常用，術語零空間有時用在避免混淆於積分變換的情境中。應當避免把零空間混淆於零向量空間，它是只有零向量的空間。

如果算子是在向量空間上的線性算子，零空間就是線性子空間。因此零空間是向量空間。

例子

1. 考慮函數${\displaystyle f}$ ：

${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle (x,y)\longmapsto x-y}$，

它是一個線性映射，因為 ${\displaystyle f(x+\lambda z,y+\lambda w)=(x+\lambda z)-(y+\lambda w)=f(x,y)+\lambda f(z,w)}$。它的零空間由所有第一個和第二個坐標一致的向量組成，就是說描述了一條直線 ${\displaystyle \left\{(x,x):x\in \mathbb {R} \right\}}$ 。

2. 在一個線性空間中固定一個向量 ${\displaystyle y}$ 並定義線性映射 ${\displaystyle f}$ 為向量 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 的點積。它的零空間由所有正交於 ${\displaystyle y}$ 的向量，即 ${\displaystyle y}$ 的正交補組成。

性質

如果 A 是矩陣，它的零空間就是所有向量的空間的線性子空間。這個線性子空間的維度叫做 A 的零化度(nullity)。這可以計算為在矩陣 A 的列階梯形矩陣中不包含支點的縱行數。秩-零化度定理聲稱任何矩陣的秩加上它的零化度等於這個矩陣的縱行數。

對應於零奇異值的 A 的右奇異向量形成了 A 的零空間的基。

A 的零空間可以用來找到和表達方程 Ax = b 的所有解(完全解)。如果 x₁ 是這個方程的一個解，叫做特定解，那麼方程的完全解等於它的特定解加上來自零空間的任何向量。特定解依 b 而變化，而零空間的向量不是。

要證明這一點，我們考慮每個方向。在一個方向上，如果 Ay = b，且 Av = 0，則明顯的 A(y+v) = Ay+Av = b+0 = b。所以 y+v 也是 Ax=b 的解。在其他方向上，如果我們有對 Ax=b 的另一個解 z，則 A(z−y) = Az−Ay = b−b = 0。所以向量 u = z−y 在 A 的零空間中而 z = y+u。所以任何解都可以表示為一個零空間中的向量加上特定解 y 。

如果一個線性映射 A 是單同態，則它的零空間是零。因為如果反過來它的零空間是非零，由類似上面的方法可以得出Ay = b的解不止一個，也就是說線性映射 A 不是單射了。

如果映射是零映射，則零空間同於映射的定義域。

找到一個矩陣的零空間

考慮矩陣

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-2&-4&4\\2&-8&0\\8&4&-12\end{bmatrix}}\!\ }$

要找到它的零空間，須找到所有向量 ${\displaystyle v}$ 使得 ${\displaystyle Av=0}$。首先把 ${\displaystyle A}$ 變換成簡化列階梯形矩陣：

${\displaystyle E={\begin{bmatrix}1&0&-4/3\\0&1&-1/3\\0&0&0\end{bmatrix}}\!\ }$

有 ${\displaystyle Av=0}$ 當且僅當 ${\displaystyle Ev=0}$。使用符號 ${\displaystyle v=[x,y,z]^{T}}$，後者方程變為

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&-4/3\\0&1&-1/3\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}};{\begin{bmatrix}x-4z/3\\y-z/3\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}};{\begin{bmatrix}x=4z/3\\y=z/3\\0=0\end{bmatrix}};{\begin{bmatrix}x=4s/3\\y=s/3\\z=s\end{bmatrix}}}$

所以，${\displaystyle A}$ 的零空間是一維空間，

${\displaystyle v={\begin{bmatrix}4s/3\\s/3\\s\end{bmatrix}}}$

外部連結

• MIT Video Lecture on Column Space and Nullspace （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）at MIT OpenCourseWare
• http://www.bilibili.com/video/av6240005/ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）