有理函數

有理函數（英語：Rational function）是可以表示為以下形式的函數：

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}}={\frac {P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}}\quad ;\quad m,n\in \mathbb {N} _{0}}$，${\displaystyle b_{i}}$不全為0。

有理數式是多項式除法的商，有時稱為代數分數。

漸近線

主條目：漸近線

• 不失一般性可假設分子、分母互質。若存在${\displaystyle r>0}$，使得${\displaystyle (px+q)^{r}}$是分母${\displaystyle Q(x)}$的因子，則有理函數存在垂直漸近線${\displaystyle x=-q/p}$。
• 若${\displaystyle m<n}$，有水平漸近線${\displaystyle y=0}$。
• 若${\displaystyle m=n}$，有水平漸近線${\displaystyle y={\frac {a_{m}}{b_{m}}}}$。
• 若${\displaystyle m=n+1}$，有斜漸近線${\displaystyle y={\frac {a_{m}}{b_{n}}}x+{\frac {b_{n}*a_{m-1}-b_{n-1}*a_{m}}{{b_{n}}^{2}}}}$。

只有一條水平漸近線

泰勒級數

有理函數的泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係。反之，若一個泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係，它對應的函數是有理函數。

部分分式

部分分式，又稱部分分數、分項分式，是將有理數式分拆成數個有理數式的技巧。

有理數式可分為真分式、假分式和帶分式，這和一般分數中的真分數、假分數和帶分數的概念相近。真分式分子的次數少於分母的。

若有理數式${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$的分母${\displaystyle Q(x)}$可分解為數個多項式的積，其部分分數便是${\displaystyle \sum {\frac {A_{n}}{Q(x)/h_{n}(x)}}}$，其中${\displaystyle h_{n}(x)}$是${\displaystyle Q(x)}$的因子，${\displaystyle A_{n}}$是次數不大於Q(x)/h_n(x)的多項式。

例子

1. 分拆${\displaystyle {\frac {x^{3}-5x+88}{x^{2}+3x-28}}}$

分子的次數是3，分母的是2，所以先將它轉成真分式和多項式的和（即帶分式）：

${\displaystyle x-3+{\frac {32x+4}{x^{2}+3x-28}}}$

因為${\displaystyle x^{2}+3x-28=(x+7)(x-4)}$，所以

${\displaystyle {\frac {32x+4}{x^{2}+3x-28}}={\frac {A}{x+7}}+{\frac {B}{x-4}}}$

其中A和B是常數。兩邊乘以${\displaystyle x^{2}+3x-28}$，得

${\displaystyle \ 32x+4=A(x-4)+B(x+7)}$

即

${\displaystyle \ 32x+4=(A+B)x+(7B-4A)}$

比較係數，得

${\displaystyle \ A+B=32}$

${\displaystyle \ 7B-4A=4}$

解得${\displaystyle A=20,B=12}$。

故： ${\displaystyle {\frac {x^{3}-5x+88}{x^{2}+3x-28}}=x+{\frac {20}{x+7}}+{\frac {12}{x-4}}-3}$

也可以把x的特殊值代入等式來解出A和B。例如，當x=4時，我們有

${\displaystyle \ 128+4=11B}$

${\displaystyle \ B=12}$

當x=-7時，我們有

${\displaystyle \ -224+4=-11A}$

${\displaystyle \ A=20}$

應用

• 伸縮和
• 複分析
• 拉普拉斯變換

積分

部分分數

主條目：部分分式積分法

在計算有理數式的積分時，部分分數的方法很有用，因為分母的1和2次多項式的有理數式的積分都有固定的方法計算。

• 分母為1次多項式：求${\displaystyle \int {\frac {1}{ax+b}}dx}$。

設${\displaystyle u=ax+b}$：

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=a}$

${\displaystyle {\frac {du}{a}}=dx}$

原式變為

${\displaystyle \int {\frac {1}{u}}{\frac {du}{a}}={\frac {1}{a}}\int {\frac {1}{u}}{du}={\frac {\ln \left|u\right|}{a}}+C={\frac {\ln \left|ax+b\right|}{a}}+C}$

• 分母次數為2：求${\displaystyle \int {\frac {dx+e}{ax^{2}+bx+c}}dx}$。

若多項式${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$可分解為兩個一次多項式的積（即${\displaystyle b^{2}-4ac\geq 0}$），則可用部分分數的方法解決。若多項式不可分解，則將它配方，再用各種替代法解決。

例如：

${\displaystyle \int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx.}$

因為

${\displaystyle x^{2}-8x+25=(x^{2}-8x+16)+9=(x-4)^{2}+9\,}$

考慮

${\displaystyle u=x^{2}-8x+25\,}$

${\displaystyle du=(2x-8)\,dx}$

${\displaystyle du/2=(x-4)\,dx}$

將分子分解，以便應用上面的替換：

${\displaystyle \int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx+\int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx}$

左邊：

${\displaystyle \int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {du/2 \over u}={1 \over 2}\ln \left|u\right|+C={1 \over 2}\ln(x^{2}-8x+25)+C}$

另一邊：

${\displaystyle \int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {10 \over (x-4)^{2}+9}\,dx=\int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,dx}$

代入

${\displaystyle w=(x-4)/3\,}$

${\displaystyle dw=dx/3\,}$

${\displaystyle {10 \over 3}\int {dw \over w^{2}+1}={10 \over 3}\arctan(w)+C={10 \over 3}\arctan \left({x-4 \over 3}\right)+C.}$

另一種可行的代入方法是：

${\displaystyle \tan \theta ={x-4 \over 3},\,}$

${\displaystyle \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1=\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta ,\,}$

${\displaystyle d\tan \theta =\sec ^{2}\theta \,d\theta ={dx \over 3}.\,}$

${\displaystyle \int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,dx=10/9\int {\frac {1}{\sec ^{2}\theta }}3\sec ^{2}\theta \,d\theta ={10 \over 3}\arctan \left({x-4 \over 3}\right)+C}$

奧斯特羅格拉茨基方法

奧斯特羅格拉茨基方法（Ostrogradsky Algorithm / Ostrogradsky's Method）是這樣的：

設求積的有理函數為 ${\displaystyle {\frac {P}{Q}}}$，其中${\displaystyle P,Q}$是多項式，${\displaystyle \deg(P)<\deg(Q)}$（${\displaystyle P}$的次數少於${\displaystyle Q}$）。設${\displaystyle Q_{1}}$為Q的導數Q'和Q的最大公因數，${\displaystyle Q_{2}={\frac {Q}{Q_{1}}}}$。則有：

${\displaystyle \int {\frac {P}{Q}}dx={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}+\int {\frac {P_{2}}{Q_{2}}}dx}$

其中${\displaystyle P_{1},P_{2}}$為多項式，${\displaystyle \deg(P_{i})<\deg(Q_{i})}$。

應用例子

• 求 ${\displaystyle \int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}}$ 。

1. ${\displaystyle Q=(x-1)^{2}(x+1)^{3}}$
2. ${\displaystyle Q'=2(x-1)(x+1)^{3}+3(x-1)^{2}(x+1)^{2}=(x-1)(x+1)^{2}(5x-1)}$
3. ${\displaystyle Q_{1}=gcd(Q,Q')=(x-1)(x+1)^{2}}$
4. ${\displaystyle Q_{2}=Q/Q_{1}=(x-1)(x+1)}$

設 ${\displaystyle P_{1}=Ax^{2}+Bx+C,\quad P_{2}=Dx+E}$

${\displaystyle \int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {Ax^{2}+Bx+C}{(x-1)(x+1)^{2}}}+\int {\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}dx}$

兩邊取導數：

${\displaystyle {\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {Ax^{3}+(2B-A)x^{2}+(3C-B+2A)x-C+B}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}}$

通分母，右邊的分子為：

${\displaystyle Dx^{4}+(E+D-A)x^{3}+(E-D-2B+A)x^{2}+(-E-D-3C+B-2A)x-E+C-B}$

比較分子的多項式的係數，得${\displaystyle A=B=E=-0.125,C=-0.25,D=0}$。於是有

${\displaystyle \int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {x^{2}+x+2}{8(1-x)(x+1)^{2}}}+\int {\frac {dx}{8(x-1)(x+1)}}}$

後者可用部分分數的方法求得。

證明

${\displaystyle \int {\frac {P}{Q}}dx={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}+\int {\frac {P_{2}}{Q_{2}}}dx}$

${\displaystyle {\frac {P}{Q}}={\frac {P'_{1}-{\frac {Q'_{1}P_{1}}{Q_{1}}}}{Q_{1}}}+{\frac {P_{2}}{Q_{2}}}}$

兩邊乘以${\displaystyle Q}$

${\displaystyle P=P'_{1}Q_{2}-{\frac {Q'_{1}Q_{2}P_{1}}{Q_{1}}}+P_{2}Q_{1}}$

由於 ${\displaystyle Q'_{1}Q_{2}=Q'-Q_{1}Q'_{2}}$，而${\displaystyle Q'}$和${\displaystyle Q_{1}Q'_{2}}$都是${\displaystyle Q_{1}}$的倍數，所以${\displaystyle {\frac {Q'_{1}Q_{2}P_{1}}{Q_{1}}}}$是多項式。

比較兩邊多項式的次數：

• ${\displaystyle \deg(P)\leq \deg(Q)-1}$
• ${\displaystyle \deg(P'_{1}Q_{2}\leq (\deg(Q_{1})-1)+(\deg(Q)-\deg(Q_{1}))=\deg(Q)-1}$
• ${\displaystyle \deg({\frac {Q'_{1}Q_{2}P_{1}}{Q_{1}}})\leq (\deg(Q_{1})-1)+(\deg(Q)-\deg(Q_{1}))+(\deg(Q_{1})-1)-\deg(Q_{1})=\deg(Q)-2}$
• ${\displaystyle \deg(P_{2}Q_{1})\leq (\deg(Q)-\deg(Q_{1})-1)+\deg(Q_{1})=\deg(Q)-1}$

因此${\displaystyle P_{1},P_{2}}$有解。

Hermite方法

應用

• 帕德近似
• 插值

參考

• Ostrogradsky's method （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• http://www.math.uncc.edu/~droyster/courses/fall01/classnotes/Lecture08.pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）