代數分式

代數分式是指分子及分母都是代數式的分數，像 ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$ 及 ${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$. 都是代數分式。

有理分式是指分子及分母都是多項式的分式，像${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$ 為有理分式，但${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$ 的分子為根式，不是多項式，因此不是有理分式。

術語

在代數分式 ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$中，被除數稱為分子，除數稱為分母，兩者都是代數分式的項。

若代數分式的分子或分母中包括複數，則稱為複數分式。

簡分式是其分子或分母都不是分式的代數分式，若一個表示式不是以分式的形式表示，則稱為整式，不過只要將分母設為1，即可以將整式表示為代數分式，帶分式指整式和分式的代數和。

有理分式

主條目：有理函數

若代理分式的a和b都是多項式，此分式稱為有理代數分式^[1]，或簡稱為有理分式^[2][3]。有理分式也稱為有理表示式或有理函數。若有理分式 ${\displaystyle {\tfrac {f(x)}{g(x)}}}$ 滿足${\displaystyle \deg f(x)<\deg g(x)}$，稱為真分式，否則稱為假分式，像${\displaystyle {\tfrac {2x}{x^{2}-1}}}$為真分式，而${\displaystyle {\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}}$ 和 ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}}$ 是假分式。假分式可以表示為整式（可能是常數）及真分式的和，例如以上提到的假分式可以表示為

${\displaystyle {\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},}$

其中第二項為真有理分式，二個真分式的和也會是真分式，有時會將真分式的分母因式分解，再將真分式表示數個真因式，其分母分別為原分母的因式（或因式次方），這稱為部份分式，例如以下等號右邊的即為部份分式

${\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.}$

因此等號右邊的稱為部份分式，例如真分式積分時會先進行部分分式分解，再進行積分，稱為部分分式積分法。

無理分式

無理分式是指分式中有變數的冪式為小數^[4]，像以下的分式即為無理分式

${\displaystyle {\frac {x^{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{\tfrac {1}{3}}-x^{\tfrac {1}{2}}}}.}$

將無理分式變為有理分式的過程稱為有理化，每個根式為單項的無理分式可以用以下的方式有理化：找到所有冪次分母的最小公倍數，再將變數用另一變數的冪次取代，使原來的根式都變為新變數的整數冪次，例如在上式中，冪次分母的最小公倍數為6，因此可以令 ${\displaystyle x=z^{6}}$ ，得到

${\displaystyle {\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3}}a}{z^{2}-z^{3}}}.}$

腳註

1. Bansi Lal. Topics in Integral Calculus. 2006: 53.
2. Ėrnest Borisovich Vinberg. A course in algebra. 2003: 131 [2015-07-06]. （原始內容存檔於2014-07-05）.
3. Parmanand Gupta. Comprehensive Mathematics XII. : 739 [2015-07-06]. （原始內容存檔於2014-06-28）.
4. Washington McCartney. The principles of the differential and integral calculus; and their application to geometry. 1844: 203.

參考資料

Brink, Raymond W. IV. Fractions. College Algebra. 1951.