因式分解

因式分解，在這裡是指多項式因式分解（英語：Polynomial Factorization^{[註 1]}），在數學中一般理解為把一個多項式分解為兩個或多個的因式^{[註 2]}的過程。在這個過後會得出一堆較原式簡單的多項式的積。例如單元多項式${\displaystyle x^{2}-1^{2}}$可被因式分解為${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x-1\right)}$。又如二元多項式${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$因式分解為${\displaystyle \left(x+y\right)\left(x-y\right)}$。如果我們允許多項式係數從整數擴大到複整數，那麼${\displaystyle x^{2}+1^{2}}$可被因式分解為${\displaystyle \left(x+i\right)\left(x-i\right)}$。通常分解獲得的每個因式要是不可約多項式（irreducible）。也就是不能再分解了。

多項式${\displaystyle x^{2}+cx+d}$可因式分解成${\displaystyle \left(x+a\right)\left(x+b\right)}$，其中：${\displaystyle ab=d,a+b=c}$。

定義

數域${\displaystyle P}$上每個高於一次的多項式${\displaystyle f(x)}$都可以分解為該數域P上的多個不可約多項式${\displaystyle p_{i}(x)}$的乘積，為因式分解。

在複數域上，每個不可約多項式都是一次的，因此高於一次的復係數多項式，都可以唯一地分解為多個一次式之積。

在實數域上，不可約的多項式都是一次或二次的，因此高於一次的實係數多項式，都可以唯一地分解為一次、二次多項式之積。

在有理數域上，不可約多項式可以有任何次。例如，在有理數範圍內，當${\displaystyle n}$為正整數時，關於${\displaystyle x}$的多項式${\displaystyle x^{n}+2}$無法再分解^[1]。

因式分解定理

數域F上每個次數${\displaystyle \geq 1}$的多項式${\displaystyle f(x)}$都可以分解成數域F上一些不可約多項式的乘積，並是唯一的，即如果有兩個分解式

${\displaystyle f(x)=p_{1}(x)p_{2}(x)p_{3}(x)\cdots p_{s}(x)=q_{1}(x)q_{2}(x)\cdots q_{t}(x)}$

其中${\displaystyle p_{i}(x)(i=1,2,\cdots ,s)}$和${\displaystyle q_{j}(x)(j=1,2,\cdots ,t)}$都是數域F上的不可約多項式，那麼必有${\displaystyle s=t}$，而且可以適當排列因式的次序，使得

${\displaystyle p_{i}(x)=c_{i}q_{i}(x)(i=1,2,\cdots ,s)}$,其中${\displaystyle c_{i}(i=1,2,\cdots ,s)}$是一些非零常數

分解方法

公因式分解(抽)

原則：

1. 分解必須要徹底（即分解後之因式均不能再做分解）
2. 結果最後只留下小括號
3. 結果的多項式首項為正。

在一個公式內把其公因子抽出，例子：

• ${\displaystyle 7a+98ab}$
  • 其中，${\displaystyle 7a}$是公因子。因此，因式分解後得到的答案是：${\displaystyle 7a(1+14b)}$
• ${\displaystyle 51a^{4}b^{7}+24a^{3}b^{2}+75a^{5}b^{5}}$
  • 其中，${\displaystyle 3a^{3}b^{2}}$是公因子。因此，因式分解後得到的答案是：${\displaystyle 3a^{3}b^{2}(17ab^{5}+25a^{2}b^{3}+8)}$

公式法

兩個立方數之和 $${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$$

兩個立方數之差 $${\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}$$

兩個n次方數之差 $${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+......+b^{n-1})}$$

兩個奇數次方數之和 $${\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+......+b^{n-1})}$$

分組分解法

透過公式重組，然後再抽出公因數，例子：

${\displaystyle {\begin{aligned}&3a^{2}b-5y+12a^{3}b^{2}-20aby\\=&(3a^{2}b+12a^{3}b^{2})-(5y+20aby)\\=&3a^{2}b(1+4ab)-5y(1+4ab)\\=&(1+4ab)(3a^{2}b-5y)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&15n^{2}+2m-3n-10mn\\=&(15n^{2}-3n)+(2m-10mn)\\=&3n(5n-1)+2m(1-5n)\\=&3n(5n-1)-2m(5n-1)=&(5n-1)(3n-2m)\end{aligned}}}$

拆添項法

透過添項然後減掉，然後再抽出公因數，例子：

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{4}+x^{2}+1\\=&x^{4}+x^{2}+x^{2}-x^{2}+1\\=&x^{4}+2x^{2}-x^{2}+1\\=&x^{4}+2x^{2}+1-x^{2}\\=&\left(x^{2}+1\right)^{2}-x^{2}\\=&\left(x^{2}+1-x\right)\left(x^{2}+1+x\right)\\=&\left(x^{2}-x+1\right)\left(x^{2}+x+1\right)\end{aligned}}}$

或者透過分裂某項，然後再抽出公因數，例子：

${\displaystyle x^{3}-7x+6}$

其中，${\displaystyle -7x}$可以被拆成${\displaystyle -x}$和${\displaystyle -6x}$。所以，${\displaystyle x^{3}-7x+6}$可以被寫成${\displaystyle x^{3}-x-6x+6}$。因此，

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{3}-7x+6\\=&x^{3}-x-6x+6\\=&\left(x^{3}-x\right)-\left(6x-6\right)\\=&x\left(x^{2}-1\right)-6\left(x-1\right)\\=&x\left(x+1\right)\left(x-1\right)-6\left(x-1\right)\\=&\left[x\left(x+1\right)-6\right]\left(x-1\right)\\=&\left(x^{2}+x-6\right)\left(x-1\right)\end{aligned}}}$

其中，${\displaystyle +x}$可以被拆成${\displaystyle +3x}$和${\displaystyle -2x}$。所以，${\displaystyle x^{2}+x-6}$可以被寫成${\displaystyle x^{2}+3x-2x-6}$。因此，

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(x^{2}+x-6\right)\left(x-1\right)\\=&\left(x^{2}+3x-2x-6\right)\left(x-1\right)\\=&\left[\left(x^{2}+3x\right)-\left(2x+6\right)\right]\left(x-1\right)\\=&\left(x\left(x+3\right)-2\left(x+3\right)\right)\left(x-1\right)\\=&\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)\\=&\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+3\right)\end{aligned}}}$

十字交乘法

主條目：十字交乘法

十字交乘法（cross method），也叫做十字相乘法。它實際上是拆項法的一個變形，只不過用十字形矩陣來表示。

一次因式檢驗法

一個整係數的一元多項式${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}}$，假如它有整係數因式${\displaystyle px+q}$，且p,q互質，則以下兩條必成立：（逆敘述並不真）

• ${\displaystyle p|a_{n}}$
• ${\displaystyle q|a_{0}}$

不過反過來說，即使當${\displaystyle p|a_{n}}$和${\displaystyle q|a_{0}}$都成立時，整係數多項式${\displaystyle px+q}$也不一定是整係數多項式${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}}$的因式

另外一個看法是：

一個整係數的ｎ次多項式${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}}$，若${\displaystyle px-q}$是f(x)之因式，且p,q互質，則：（逆敘述並不真）

• ${\displaystyle p-q|f(1)}$
• ${\displaystyle p+q|f(-1)}$

參見

• 因數分解
• 高斯整數分解
• 多項式
• 根
• 十字相乘
• 乘法公式

注釋

1. 也有polynomial factorisation或factoring的用法
2. 因式即多項式。

延伸閱讀

• Burnside, William Snow; Panton, Arthur William (1960) [1912], The Theory of Equations with an introduction to the theory of binary algebraic forms (Volume one), Dover
• Dickson, Leonard Eugene (1922), First Course in the Theory of Equations, New York: John Wiley & Sons
• Fite, William Benjamin (1921), College Algebra (Revised), Boston: D. C. Heath & Co.
• Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint; Arithmetic, Algebra, Analysis, Dover
• Selby, Samuel M., CRC Standard Mathematical Tables (18th ed.), The Chemical Rubber Co

1. 多 项 式 (PDF). 清華大學出版社. [2025-01-04].