費馬引理

提示：此條目頁的主題不是費馬定理。

費馬引理是實分析中的一個定理，以皮埃爾·德·費馬命名。通過證明函數的每一個極值都是駐點（函數的導數在該點為零），該定理給出了一個求出可微函數的最大值和最小值的方法。因此，利用費馬引理，求函數的極值的問題便化為解方程的問題。

需要注意的是，費馬引理僅僅給出了函數在某個點為極值的必要條件。也就是說，有些駐點不是極值，它們是拐點。要想知道一個駐點是不是極值，並進一步區分最大值和最小值，我們需要分析二階導數（如果它存在）。

定理

設函數f(x)在點x₀的某鄰域U(x₀)內有定義，並且在x₀處可導，如果對任意的${\displaystyle x\in U(x_{0})}$，有

${\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})}$或${\displaystyle f(x)\geq f(x_{0})}$

那麼${\displaystyle f^{\prime }(x_{0})=0}$。

費馬引理的一個推論是，函數f在定義域A內的最大值和最小值只能在邊界上，不可導的點，或駐點取得。

證明

假設${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$是一個極大值（如果${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$是極小值，證明亦類似）。那麼存在一個${\displaystyle \delta >0}$，使得對於所有的${\displaystyle \displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$，都有${\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)\,}$。因此對於任何${\displaystyle h\in (0,\delta )}$，有：

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\leq 0.}$

由於當${\displaystyle \displaystyle h}$從上方趨於0時，這個比值的極限存在且為${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})}$，我們便有${\displaystyle f'(x_{0})\leq 0}$。另一方面，當${\displaystyle h\in (-\delta ,0)}$時，我們注意到：

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\geq 0}$

當${\displaystyle \displaystyle h}$從下方趨於0時，這個極限存在，且等於${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})}$，我們又有${\displaystyle f'(x_{0})\geq 0}$。

因此${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})=0}$。

參見

• 羅爾定理
• 微分中值定理

外部連結

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