元素 (數學)

在數學領域，集合的元素（英語：element）指構成該集合的任意物件，也可以稱作成員（英語：member）。

關於範疇論的元素，請見「元素 (範疇論)」。

集合

${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$表示集合${\displaystyle A}$中有四個元素，分別是數字1、2、3、4。由集合${\displaystyle A}$中元素組成的集合是${\displaystyle A}$的子集，例如 ${\displaystyle \{1,2\}}$。

集合本身也可以是元素。例如，集合${\displaystyle B=\{1,2,\{3,4\}\}}$的元素不是1、2、3、4四個數，而是數字1、2和集合${\displaystyle \{3,4\}}$這三個元素。

集合的元素還可以是任何東西。例如，集合${\displaystyle C=\{\mathrm {\color {red}red} ,\mathrm {\color {green}green} ,\mathrm {\color {blue}blue} \}}$的元素為red、green和blue。

符號和術語

符號「∈」表示「是${\displaystyle X}$中的元素」的關係，這種關係也稱集合隸屬關係（英語：set membership）。可以用

${\displaystyle x\in A}$

表示「${\displaystyle x}$是${\displaystyle A}$中的元素」，也可以表達為「${\displaystyle x}$是${\displaystyle A}$的成員」、「${\displaystyle x}$在${\displaystyle A}$中」或「${\displaystyle x}$屬於${\displaystyle A}$」。

有時也用「${\displaystyle A}$包含${\displaystyle x}$」表達集合隸屬關係，但因為這樣的說法也可以用來表達「${\displaystyle x}$是${\displaystyle A}$的子集」，應該謹慎使用，避免歧義。^[1][2]不過使用符號時沒有歧義，可以用

${\displaystyle A\ni x}$

來表達「${\displaystyle A}$包含${\displaystyle x}$」。

不隸屬的關係可以用符號「${\displaystyle \not \in }$」表示，記作

${\displaystyle x\notin A}$

意思是「${\displaystyle x}$不是${\displaystyle A}$的元素」。

符號∈最早見於朱塞佩·皮亞諾1889年的論文Arithmetices principia, nova methodo exposita。^[3]他在第 X 頁^{[註 1]}上寫道：

Signum ∈ significat est. Ita a ∈ b legitur a est quoddam b; …

意思是

符號 ∈ 表示「是」。所以a ∈ b被讀作 a 是 b； …

該符號源自希臘字母「E」的小寫「ϵ」，是單詞ἐστί的第一個字母，意思為「是」。^[3]

字元	∈		∉		∋		∌
Unicode名稱	Element of		Not an element of		Contains as member		Does not contain as member
編碼	十進位	十六進位	十進位	十六進位	十進位	十六進位	十進位	十六進位
Unicode	2208	U+2208	2209	U+2209	2211	U+220B	2212	U+220C
UTF-8	226 136 136	E2 88 88	226 136 137	E2 88 89	226 136 139	E2 88 8B	226 136 140	E2 88 8C
UTF-16	8712	2208	8713	2209	8715	220B	8716	220C
字符值引用	∈	∈	∉	∉	∋	∋	∌	∌
字符值引用	∈		∉		∋
LaTeX	\in		\notin		\ni		\not\ni or \notni
Wolfram Mathematica	\[Element]		\[NotElement]		\[ReverseElement]		\[NotReverseElement]

集合的勢

主條目：勢 (數學)

參見

• 單位元
• 單元素集合

注釋

1. 這裡的「X」是希臘數字的10

參考資料

1. Eric Schechter. Handbook of Analysis and Its Foundations. Academic Press. 1997. ISBN 0-12-622760-8. p. 12
2. George Boolos. 24.243 Classical Set Theory (lecture) (演講). 麻省理工學院. February 4, 1992.
3. Kennedy, H. C. What Russell learned from Peano. Notre Dame Journal of Formal Logic (Duke University Press). July 1973, 14 (3): 367–372. MR 0319684. doi:10.1305/ndjfl/1093891001 .

延伸閱讀

• Halmos, Paul R., Naive Set Theory, 數學大學生教材 Hardcover, NY: Springer-Verlag, 1974 [1960], ISBN 0-387-90092-6 含有內容需登入查看的頁面 (link) - "Naive" means that it is not fully axiomatized, not that it is silly or easy (Halmos's treatment is neither).
• Jech, Thomas, Set Theory, Stanford Encyclopedia of Philosophy, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2002 [2022-06-29], （原始內容存檔於2015-03-14）
• Suppes, Patrick, Axiomatic Set Theory, NY: Dover Publications, Inc., 1972 [1960], ISBN 0-486-61630-4 含有內容需登入查看的頁面 (link) - Both the notion of set (a collection of members), membership or element-hood, the axiom of extension, the axiom of separation, and the union axiom (Suppes calls it the sum axiom) are needed for a more thorough understanding of "set element".