單元素集合

數學上，單元素集合是由唯一一個元素組成的集合。^[1]例如，集合 {0} 是個單元素集合。注意，集合諸如 {{1,2,3}} 也是單元素集合，唯一的元素是一個集合（這個集合可能本身不是單元素集合）。

一個集合是單元素集合，當且僅當它的基數為1。在自然數的集合論定義中，數字 1 就是定義為單元素集合 {0}。

在公理集合論中，單元素集合的存在性是空集公理和對集公理的結果：前者產生了空集 {}，後者應用於對集 {} 和 {}，產生了單元素集合 {{}}。

若 A 是任意集合，S 是單元素集合，則存在唯一一個從 A 到 S的函數，該函數將所有 A 中的元素映射到 S 的單元素。

在範疇論中，單元素集合上構建的結構通常作為終對象或零對象：

• 上述說明所有單元素集合 S 都是集合範疇的終對象。該範疇中沒有其它終對象。
• 任意單元素集合都能夠轉化成拓撲空間（所有子集都是開集）。這些單元素拓撲空間是拓撲空間範疇的終對象。該範疇中沒有其它終對象。
• 任意單元素集合都能夠轉化成群（唯一的元素作為單位元）。這些單元素是群範疇的零對象。群範疇中沒有其它零對象或終對象。

參見

• 類 (數學)

參考來源

參考資料

1. Stoll, Robert. Sets, Logic and Axiomatic Theories. W. H. Freeman and Company. 1961: 5–6.