公理化集合論

在數學中，公理化集合論是集合論透過建立一階邏輯的嚴謹重整，以解決樸素集合論中出現的悖論。集合論的基礎主要由德國數學家格奧爾格·康托爾在19世紀末建立。

嚴謹集合論的源起

集合論的公理

集合論中其中一套由Skolem最後整理的公理系統，稱為Zermelo-Fraenkel集合論（ZF）。實際上，這個名稱通常不包括歷史上遠比今天具爭議性的選擇公理，當包括了選擇公理，這套系統被稱為ZFC。

1. 外延公理：（Axiom of extensionality）兩個集合相同，若且唯若它們擁有相同的元素。
2. 分類公理：（Axiom schema of specification / axiom schema of separation / axiom schema of restricted comprehension）或稱子集公理，給出任何集合及命題P(x)，存在著一個原來集合的子集包含而且只包含使P(x)成立的元素。
3. 配對公理：（Axiom of pairing）假如x, y為集合，那就有另一個集合{x,y}包含x與y作為它的僅有元素。
4. 並集公理：（Axiom of union）每一個集合也有一個並集。也就是說，對於每一個集合x，也總存在著另一個集合y，而y的元素也就是而且只會是x的元素的元素。
5. 空集公理：存在著一個不包含任何元素的集合，我們記這個空集合為{ }。可由分類公理得出。
6. 無窮公理：（Axiom of infinity）存在著一個集合x，空集{ }為其元素之一，且對於任何x中的元素y，y ∪ {y}也是x的元素。
7. 替代公理：（Axiom schema of replacement）
8. 冪集公理：（Axiom of power set）每一個集合也有其冪集。那就是，對於任何的x，存在著一個集合y，使y的元素是而且只會是x的子集。
9. 正規公理：（Axiom of regularity / Axiom of foundation）每一個非空集合x，總包含著一元素y，使x與y為不交集。
10. 選擇公理：（Axiom of choice，Zermelo's version）給出一個集合x，其元素皆為互不相交的非空集，那總存在著一個集合y（x的一個選擇集合），包含x每一個元素的僅僅一個元素。

命題在ZFC中的獨立性

引用

• Keith Devlin, 1992. The Joy of Sets, 2nd ed. Springer-Verlag.
• Potter, Michael, 2004. Set Theory and Its Philosophy. Oxford Univ. Press. ISBN 0-19-927041-4.
• Suppes, Patrick, 1972. Axiomatic Set Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-61630-4.
• Tourlakis, George, 2003. Lectures in Logic and Set Theory, Vol. 2. Cambridge Univ. Press.

參見

• 可替代的集合論
• ℶ 數
• 康托爾-伯恩斯坦-施羅德定理
• 對角論證法
• 康托爾定理
• Implementation of mathematics in set theory
• Internal set theory
• Kripke-Platek set theory with urelements
• List of set theory topics
• 模型論
• Morse-Kelley set theory
• 樸素集合論
• 新基礎集合論
• Simple theorems in the algebra of sets
• 馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論
• Zermelo-Fraenkel 集合論
• 佐恩引理
• 公理化數學
• ZFC系統無法確定的命題列表

外部連結

• Metamath （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）: A web site devoted to an ongoing derivation of mathematics from the axioms of ZFC and first-order logic. Principia Mathematica done right.
• Stanford Encyclopedia of Philosophy:
  • Set Theory（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） -- by Thomas Jech.
  • Quine's New Foundations （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） -- by Thomas Forster.
  • Alternative axiomatic set theories^{[失效連結]} -- by Randall Holmes.
• Randall Holmes's bibliography （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） for set theories allowing a universal set.
• Mathias, A. R. D., 2004, "The Strength of Mac Lane Set Theory." Surveys, and sets out new results and new proofs for old results, for a number of alternatives to ZFC, including ZBQC (proposed by Saunders Mac Lane), topos theory, Kripke-Platek set theory, Foster-Kaye set theory, Harvey Friedman, and systems similar to 新基礎集合論.
• Axioms of Set Theory at ProvenMath （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

For information on the history of set theory notation, see:

• The history of set theory and logic notation.