法線

三維平面的法線，或稱法向量（英語：Normal）是垂直於該平面的三維向量。曲面在某點P處的法線為垂直於該點切平面（tangent plane）的向量。

多邊形（polygon）及其兩個法向量（normal vector）

曲面（surface）上的點與切平面（tangent plane）上的點具有相同的法線（normal）

法線是與多邊形（polygon）的曲面垂直的理論線，一個平面（plane）存在無限個法向量（normal vector）。在電腦圖學（computer graphics）的領域裡，法線決定著曲面與光源（light source）的濃淡處理（Flat Shading），對於每個點光源位置，其亮度取決於曲面法線的方

法線的計算

對於像三角形這樣的多邊形來說，多邊形兩條相互不平行的邊的叉積就是多邊形的法線。

用方程${\displaystyle ax+by+cz=d}$表示的平面，向量${\displaystyle (a,b,c)}$就是其法線。

如果S是曲線坐標x(s, t)表示的曲面，其中s及t是實數變量，那麼用偏導數叉積表示的法線為

${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}}$。

如果曲面S用隱函數表示，點集合${\displaystyle (x,y,z)}$滿足${\displaystyle F(x,y,z)=0}$，那麼在點${\displaystyle (x,y,z)}$處的曲面法線用梯度表示為

${\displaystyle \nabla F(x,y,z)}$。

如果曲面在某點沒有切平面，那麼在該點就沒有法線。例如，圓錐的頂點以及底面的邊線處都沒有法線，但是圓錐的法線是幾乎處處存在的。通常一個滿足Lipschitz連續的曲面可以認為法線幾乎處處存在。

法線的唯一性

曲面（surface）上的法線向量場（vector field of normals）

曲面法線的法向不具有唯一性（uniqueness），在相反方向的法線也是曲面法線。曲面在三維的邊界（topological boundary）內可以分區出inward-pointing normal 與 outer-pointing normal, 有助於定義出法線唯一方法（unique way）。定向曲面的法線通常按照右手定則來確定。

法線的變換

變換矩陣可以用來變換多邊形，也可以變換多邊形表面的切向量（tangent vector）。 設 n′ 為 W n。我們必須發現 W。

W n 垂直（perpendicular）於 M t

${\displaystyle \iff (Wn)\cdot (Mt)=0}$

${\displaystyle \iff (Wn)^{T}(Mt)=0}$

${\displaystyle \iff (n^{T}W^{T})(Mt)=0}$

${\displaystyle \iff n^{T}(W^{T}M)t=0}$

很明白的選定 W s.t. ${\displaystyle W^{T}M=I}$, 或 ${\displaystyle W={M^{-1}}^{T}}$ 將可以滿足上列的方程式，按需求，再以 ${\displaystyle Wn}$ 垂直於（perpendicular）${\displaystyle Mt}$, 或一個 n′ 垂直於 t′。

應用

• 曲面法線在定義向量場的曲面積分中有着重要應用。
• 在三維計算機圖形學中通常使用曲面對應的頂點法向量進行光照計算；參見Lambert's cosine law。