柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式（英語：Cauchy–Schwarz inequality），又稱施瓦茨不等式或柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式或柯西不等式，在多個數學領域中均有應用的不等式；例如線性代數的矢量，數學分析的無窮級數和乘積的積分，和概率論的方差和協方差。它被認為是最重要的數學不等式之一。它有一些推廣，如赫爾德不等式。

不等式以奧古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基（英語：Viktor_Bunyakovsky）（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。

敘述

${\displaystyle V}$ 是個複內積空間，則對所有的 ${\displaystyle v,\,w\in V}$ 有：

(a) ${\displaystyle \|v\|\|w\|\geq |\langle v,\,w\rangle |}$

(b) ${\displaystyle \|v\|\|w\|=|\langle v,\,w\rangle |}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ 存在 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ 使 ${\displaystyle v=\lambda \cdot w}$

證明請見內積空間#範數。

特例

Rn-n維歐幾里得空間

對歐幾里得空間Rⁿ，有

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)}$。

等式成立時：

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=\cdots ={\frac {x_{n}}{y_{n}}}.}$

也可以表示成

${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}}$

證明則須考慮一個關於${\displaystyle t}$的一個一元二次方程式 ${\displaystyle (x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}=0}$

很明顯的，此方程式無實數解或有重根，故其判別式${\displaystyle D\leq 0}$

注意到

${\displaystyle (x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}\geq 0}$

⇒${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})t^{2}+2(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})t+(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq 0}$

則

${\displaystyle D=4(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}-4(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\leq 0}$

即

${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}}$

${\displaystyle (x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}=0}$

${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}}$

而等號成立於判別式${\displaystyle D=0}$時

也就是此時方程式有重根，故

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=\cdots ={\frac {x_{n}}{y_{n}}}.}$

• 對平方可積的複值函數，有

${\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx}$。

這兩例可更一般化為赫爾德不等式。

• 在3維空間，有一個較強結果值得注意：原不等式可以增強至拉格朗日恆等式

${\displaystyle \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle =|\langle x,y\rangle |^{2}+|x\times y|^{2}}$。

這是

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)-\left(\sum _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i})^{2}\right)}$

在n=3 時的特殊情況。

L2

對於平方可積復值函數的內積空間，有如下不等式：

$${\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}|g(x)|^{2}\,dx.}$$

赫爾德不等式是該式的推廣。

矩陣不等式

設${\displaystyle x,y}$為列向量，則${\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq x^{*}x\cdot y^{*}y}$^[a]

${\displaystyle x=0}$ 時不等式成立，設${\displaystyle x}$非零，${\displaystyle z=y-{\cfrac {y^{*}x}{\|x\|^{2}}}x}$，則${\displaystyle x^{*}z=0}$

${\displaystyle 0\leq \|z\|^{2}=z^{*}y=\|y\|^{2}-{\cfrac {x^{*}y}{\|x\|^{2}}}x^{*}y=\|y\|^{2}-{\cfrac {|x^{*}y|^{2}}{\|x\|^{2}}}}$

${\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq \|x\|^{2}\|y\|^{2}}$

等號成立${\displaystyle \Leftrightarrow z=0\Leftrightarrow y}$與${\displaystyle x}$線性相關

設${\displaystyle A}$為${\displaystyle n\times n}$Hermite陣，且${\displaystyle A\geq 0}$，則${\displaystyle |x^{*}Ay|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}Ay}$

存在${\displaystyle A^{1/2}}$，設${\displaystyle u=A^{1/2}x,v=A^{1/2}y}$

${\displaystyle |u^{*}v|^{2}\leq u^{*}u\cdot v^{*}v}$

${\displaystyle |x^{*}A^{1/2}A^{1/2}y|^{2}\leq x^{*}A^{1/2}A^{1/2}x\cdot y^{*}A^{1/2}A^{1/2}y}$

${\displaystyle |x^{*}Ay|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}Ay}$

等號成立${\displaystyle \Leftrightarrow y}$與${\displaystyle x}$線性相關

設${\displaystyle A}$為${\displaystyle n\times n}$Hermite陣，且${\displaystyle A>0}$，則${\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}A^{-1}y}$

存在${\displaystyle A^{1/2},A^{-1/2}}$，設${\displaystyle u=A^{1/2}x,v=A^{-1/2}y}$

${\displaystyle |u^{*}v|^{2}\leq u^{*}u\cdot v^{*}v}$

${\displaystyle |x^{*}A^{1/2}A^{-1/2}y|^{2}\leq x^{*}A^{1/2}A^{1/2}x\cdot y^{*}A^{-1/2}A^{-1/2}y}$

${\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}A^{-1}y}$

等號成立${\displaystyle \Leftrightarrow x}$與${\displaystyle A^{-1}y}$線性相關^[1]

若${\displaystyle \displaystyle q_{i}\geq 0,\sum _{i}q_{i}=1}$，則${\displaystyle \displaystyle (x^{*}A^{\sum _{i}a_{i}q_{i}}x)\leq \prod _{i}(x^{*}A^{a_{i}}x)^{q_{i}}}$^[2]

複變函數中的柯西不等式

設 ${\displaystyle f(z)}$在區域${\displaystyle D}$及其邊界上解析，${\displaystyle a}$ 為${\displaystyle D}$內一點，以${\displaystyle a}$為圓心做圓周 ${\displaystyle C_{R}:|z-a|=R}$，只要${\displaystyle C_{R}}$及其內部${\displaystyle G}$均被${\displaystyle D}$包含，則有：

${\displaystyle \left|f^{(n)}(z_{0})\right|\leq {\frac {n!M}{R^{n}}}\qquad (n=1,2,3,...)}$

其中，M是${\displaystyle |f(z)|}$的最大值，${\displaystyle M=\max \limits _{|x-a|\in R}|f(x)|}$ 。

其它推廣

${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\sum _{j=1}^{m}a_{ij})^{2}}}\leq \sum _{j=1}^{m}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{ij}^{2}}}}$^[3]

${\displaystyle m\geq \alpha >0,(\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}a_{ij})^{\alpha }\leq \prod _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}^{\alpha }}$^[4]

參見

• 三角不等式
• 內積空間

注釋

1. ${\displaystyle x^{*}}$表示x的共軛轉置。

參考資料

1. 王松桂. 矩阵不等式-(第二版).
2. 程偉麗 齊靜. Cauchy不等式矩阵形式的推广. 鄭州輕工業學院學報(自然科學版). 2008, (4) [2015-03-24]. （原始內容存檔於2019-06-08）.
3. 趙明方. Cauchy不等式的推广. 四川師範大學學報(自然科學版). 1981, (2) [2015-03-24]. （原始內容存檔於2019-06-03）.
4. 洪勇. 推广的Cauchy不等式的再推广. 曲靖師範學院學報. 1993, (S1) [2015-03-24]. （原始內容存檔於2019-06-03）.