縮放

在歐幾里得幾何中，均勻縮放是放大或縮小物體的線性變換；縮放因子在所有方向上都是一樣的；它也叫做位似變換。均勻縮放的結果相似（在幾何意義上）於原始的物體。

更一般的是在每個坐標軸方向上的有單獨縮放因子的縮放；特殊情況是方向縮放（在一個方向上）。形狀可能變化，比如矩形可能變成不同形狀的矩形，還可能變成平行四邊形（保持在平行於軸的線之間的角度，但不保持所有的角度）。

縮放可以表示為縮放矩陣。要用一個向量v = (v_x, v_y, v_z)縮放一個物體，每個點p = (p_x, p_y, p_z)都需要乘以縮放矩陣：

S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}

如下所示，這個乘法將給出預期的結果：

S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\end{bmatrix}}

這種縮放按在縮放因子中間的一個因子改變物體的直徑，那在在兩個縮放因子的最小和最大乘積之間的一個因子改變它的面積，按所有三個縮放因子的乘積改變它的體積。

在最一般意義上的縮放是使用可對角化矩陣的任何仿射變換。它包括縮放的三個方向不垂直的情況。它還包括一個或多個縮放因子等於零的情況（投影），和一個或多個負縮放因子的情況。

使用齊次坐標經常是更加有用的，因為3次元的平移（仿射變換）不能用3×3矩陣完成。要按一個向量v = (v_x, v_y, v_z)縮放一個物體，所有的齊次向量p = (p_x, p_y, p_z, 1)都需要乘以縮放矩陣：

S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

如下所示，這個乘法給出預期的結果：

S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\\1\end{bmatrix}}

縮放是均勻的，當且僅當縮放因子是相等的。如果除了一個因子之外所有縮放因子都是1我們得到方向縮放。

因為齊次坐標的最後成員可以看作其他三個成員的分母，使用公共因子s的縮放可以使用如下縮放矩陣完成：

S_{v}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}

對於每個齊次向量p =（p_x, p_y, p_z, 1），我們有

S_{v}p={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}

它將均質於

{\begin{bmatrix}sp_{x}\\sp_{y}\\sp_{z}\\1\end{bmatrix}}

矩陣表示