直徑

直徑在幾何學中，是指穿過圓心且其兩端點皆在圓周上的線段，或圓上最長的弦，一般用符號d或者${\displaystyle \phi \,\!}$表示。

紅線所指的線段是圓的直徑

在一般的度量空間（也就是定義了距離的空間，比如說常見的二維平面）上，也可以定義一個集合的直徑。在這裡直徑是這個集合之中兩點之間的距離的最小上界：

${\displaystyle \operatorname {diam} (X):=\sup\{d(x,y):x,y\in X\}}$^[1]

性質

一個圓可以有無數條直徑（指線段本身時），但過平面上除去圓心外的任意一點，只有一條直徑。直徑的一個端點叫做另一個端點的對徑點。圓周上的每一個點都有且僅有一個對徑點。

直徑將圓分為面積相等的兩部分（每一個部分成為一個半圓），將圓周分成長度相等的兩部分。直徑的中點是圓心，直徑也是圓上最長的弦。換句話說，圓的直徑是圓周上任意兩點之間的距離所能夠達到的最大值。在同一個圓裡面，直徑等於半徑（r）的二倍。圓的周長與直徑的比值即為圓周率。

給定一個圓和圓上的一條直徑AB（A、B為圓上的點），則對圓上任意另外一點C，角ACB是直角。如果點C在圓外，那麼角ACB是銳角，如果點C在圓內，那麼角ACB是鈍角。

尺規作圖

在尺規作圖中，已知一個圓及其圓心的話，只需要過圓心畫直線，則直線與圓的兩個交點之間的線段就是圓的直徑。如果圓心未知的話，則可以用作弦的中垂線的方法作直徑。具體方法是：任意作圓的一條弦，作這條弦的中垂線，則中垂線與圓的兩個交點之間的線段就是圓的直徑。如果在圓心未知的情況下要作過圓上一個定點的直徑，則可以利用圓上一點對直徑的張角成九十度的特性：首先過給定的點任作一條弦，交圓於另一點。然後過另一點作垂直於弦的直線，交圓於第三點，連接原來的給定點和第三點，就是所求的直徑。

球的直徑

對於三維空間中的球體，也可以定義直徑和半徑。一個圓球的直徑是它的任意一個大圓（過球心的平面截球體得到的圓）的直徑。和圓的直徑一樣，球的直徑也是球上兩點之間的距離的最大值，過球上每一點只能作一條直徑。

相關公式

• 圓的直徑${\displaystyle d}$與面積${\displaystyle S}$的關係為：${\displaystyle S={\frac {\pi d^{2}}{4}}}$。

• 球的直徑${\displaystyle d}$與體積${\displaystyle V}$的關係為：${\displaystyle V={\frac {\pi d^{3}}{6}}}$。

參見

• 外接圓
• 外心
• 凸包
• 閉集套定理
• 勒洛三角形

參考來源

1. 王戍堂, 戴錦生, 王尚志. 《点集拓扑学原理》. 陝西科學技術出版社. 1985.，第178頁

• （中文）R.A.約翰遜，單墫 譯. 《近代欧氏几何学》. 上海教育出版社. 2003. ISBN 7-5320-6392-5.
• （中文）賀才興，陸少華 主編. 《大学数学手册(第二版)》. 上海交通大學出版社. 2006. ISBN 7-313-02176-3.