Թվաբանություն

Թվաբանություն (հին հունարեն՝ ἀριθμητική, ἀριθμός թվեր բառից), մաթեմատիկայի բաժին, որն ուսումնասիրում է թվերը, նրանց հատկությունները և հարաբերությունները։ Թվաբանության ուսումնասիրման առարկան թիվ հասկացությունն է, դրա գաղափարների մշակումը (բնական, ամբողջ, ռացիոնալ, իրական, կոմպլեքս) և հատկությունների ուսումնասիրությունը։ Թվաբանության մեջ ուսումնասիրվում են չափումներ, հաշվողական գործողություններ (գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում) և հաշվարկման մեթոդներ։ Առանձին ամբողջ թվերի ուսումնասիրությամբ զբաղվում է բարձրագույն թվաբանությունը կամ թվերի տեսությունը։ Թվաբանության տեսությունը ուշադրություն է դարձնում թվերի որոշմանը, սահմանմանը և անալիզին, այն դեպքում երբ աքսիոմատիկ թվաբանությունը հենվում է տրամաբանական կառուցվածքների՝ պրեդեկատների և աքսիոմաների վրա։ Թվաբանությունը հնագույն գիտություն է, այն հիմնական մաթեմատիկական գիտություններից մեկն է և սերտ կապված է երկրաչափության, հանրահաշվի և թվերի տեսության հետ^[1][2]։

Լսել հոդվածի ներածությունը · (տեղ.)

noicon

Ձայնային ֆայլն ստեղծվել է հետևյալ տարբերակի հիման վրա (հունիսի 20, 2019) և չի պարունակում այս ամսաթվից հետո կատարված փոփոխությունները։ Տես նաև ֆայլի մասին տեղեկությունները կամ բեռնիր ձայնագրությունը Վիքիպահեստից։ (Գտնել այլ աուդիո հոդվածներ)

Թվաբանություն
Հանս Սեբալդ Բեհամ, XVI դար

Թվաբանության առաջացման պատճառ դարձավ հաշվարկի և գումարման գործնական անհրաժեշտությունը, գյուղատնտեսության կենտրոնացման ժամանակ հաշվապահական հաշվառման հետ կապված։ Խնդիրների լուծման բարդացման հետ գիտությունն ավելի զարգացավ։ Թվաբանության զարգացման մեջ մեծ ավանդ են ունեցել հույն մաթեմատիկոսները, մասնավորապես փիլիսոփա պյութագորասականները, որոնք փորձում էին թվերի օգնությամբ հաշվել և նկարագրել աշխարհի բոլոր օրինաչափությունները։

Միջնադարում թվաբանությունը, նեոպլատոնականներից հետո դասվեց այպես կոչվող յոթ ազատ արվեստների շարքին։ Այն ժամանակ թվաբանության պրակտիկ օգտագործման հիմնական ոլորտներն էին առևտուրը, շինարարությունը և նավագնացությունը։ Սրա հետ կապված հատուկ նշանակություն ստացան իռացիոնալ թվերի մոտավոր հաշվարկները, որոնք առաջին հերթին անհրաժեշտ էին երկրաչափական պատկերների կառուցման համար։ Թվաբանությունը հատկապես բուռն զարգացավ Հնդկաստանում և արաբական երկրներում, որտեղից էլ մաթեմատիկական մտքի ձեռքբերումները տարածվեցին դեպի Արևմտյան Եվրոպա։

Նոր ժամանակներում ծովագնացային աստղագիտությունը, մեխանիկան, բարդացող կոմերցիոն հաշվարկները առաջացրեցին հաշվողական տեխնիկային նոր պահանջներ և զարկ տվեցին թվաբանության հետագա զարգացմանը։ Նեփյերը ստեղծեց լոգարիթմները, որից հետո Ֆերման մշակեց թվերի տեսությունը, որպես մաթեմատիկայի առանձին բաժին։ Դարի վերջին իռացիոնալ թվերի մասին պատկերացում ձևավորվեց, որպես ռացիոնալ մոտավորությունների հաջորդականություն, իսկ հաջորդ հարյուրամյակի ընթացքում շնորհիվ Լամբերտի, Էյլերի և Գաուսի ջանքերի, թվաբանությունը ներառեց գործողություններ կոմպլեքս մեծությունների հետ՝ ձեռք բերելով ժամանակակից տեսք։

Թվաբանության առարկան

Ջուզեպե Պեանո 1889 թվականին սահմանել է բնական թվերի աքսեոման

Թվաբանության առարկա են համարվում՝ թվային բազմությունները, թվերի հատկությունները և գործողությունները թվերի հետ^[3]։ Նրան են վերբերում նաև հարցերը, որոնք կապված են հաշվարկի տեխնիկայի, չափումների^[4], թվի հասկացության առաջացման և զարգացման հետ^[1]։ Թվաբանաությունը առաջին հերթին ուսումնասիրում է բնական թվերը և կոտորակները^[5]։ Բնական թվերի բազմությունների աքսեոմաների կառուցվածքի հիման վրա իրականացվում է այլ թվային բազմությունների կառուցումը, որոնք են ամբողջ, բնական և կոմպլեքս թվերը և դրանց վերլուծությունը^[1]։ Երբեմն թվաբանության շրջանակներում ուսումնասիրվում է նաև քվատերնիոնները և հիպերկոմպլեքս այլ թվեր։ Սրա հետ մեկտեղ Ֆրոբենիուսի թեորեմից հետևում է, որ թիվ հասկացության տարածումը կոմպլեքս հարթությունից դուրս առանց նրա որևէ թվաբանական հատկությունների կորստի անհնար է^[6][7]։

Թվերի հետ հիմնական գործողություններին են վերաբերում գումարումը, հանումը, բազմապատկումն ու բաժանումը^[3], ոչ հաճախ նաև աստիճան բարձրացնելը, արմատ հանելը^[4] և թվային հավասարումների լուծումը^[3]։ Պատմականորեն թվաբանական գործողությունների ցուցակը իր մեջ ներառում է կրկնապատկումը (բացի բազմապատկումից), երկուսի բաժանումը և մնացորդով բաժանումը, թվաբանական և երկրաչափական պրոգրեսիաների գումարի որոշումը^[8]։ Ջոն Նեփյերը իր «Տրամաբանական արվեստ» գրքում թվաբանական գործողություններն առանձնացրեց աստիճաններով։ Ներքևի սանդուղքին գումարումն ու հանումն է, հաջորդին՝ բաժանումն ու բազմապատկումը, հաջորդին աստիճան բարձրացնելն ու արմատ հանելը^[9]։ Հայտնի մեթոդաբան Արնոլդը սանդուղքի երրորդ խմբի գործողություններին ավելացրեց նաև լոգարիթմումը^[10]։ Սովորաբար թվաբանություն են անվանում տարբեր օբյեկտներով գործողությունները, ինչպես օրինակ «քառակուսային ձևերի թվաբանություն», «մատրիցաների թվաբանություն»^[1]։

Մաթեմատիկական հաշվարկները և չափումները, մեզ անհրաժեշտ են նույնիսկ մեր պրակտիկ կարիքների մեջ (չափաբաժիններ, տոկոսներ), վերաբերում են ցածր կամ պրակտիկ թվաբաությանը^[3], այն դեպքում երբ տրամաբանական անլիզ թվային հասկացությունը վերաբերում է տեսական թվաբանությանը^[1]։ Ամբողջ թվերի հատկությունները, նրանց մասերի բաժանումները, անընդմիջվող կոտորակները համարվում են թվերի տեսության մաս^[1], որը երկար ժամանակ համարվում էին բարձրագույն թվաբանություն^[3]։ Թվաբանությունը սերտ կապված է հանրահաշվի հետ, որը ուսումնասիրում է հենց գործողությունները առանց թվերի առանձնահատկություններն ու հատկությունները հաշվի առնելու^[1][11]։ Այնպիսի թվաբանական գործողությունները ինչպիսիք են աստիճան բարձրացնելն ու արմատ հանելը, համարվում են հանրահաշվի տեխնիկական մասերը։ Այս պատճառով էլ Նյուտոնից և Գաուսից հետո, հանրահաշիվը ընդունված է ընդհանրացնել թվաբանության հետ^[3][4]։ Այսպիսով թվաբանության, տարրական հանրահաշվի և թվերի տեսության մեջ հստակ սահմաններ չկան։ Սովետական մեծ հանրագիտարանում գրված է՝ «հանրահաշիվը ուսումնասիրում է օգտվելով տառային նշանակություններից, համակարգերի ընդհանուր և հավասարումների միջոցով խնդիրների լուծման ընդհանուր հատկություններից, թվաբանությունը զբաղվում է բանաձևերի ընդունմամբ կոնկրետ տրված թվերով, իսկ իր ավելի բարձր ոլորտներում թվերի ավելի կոնկրետ տեսակներով»^[12]։ Ինչպես այլ ակադեմիական կարգավորությունները, թվաբանությունը ևս հանդիպում է սկզբունքային մեթոդոլոգիական խնդիրներ, դրա համար անհրաժեշտ է հարցերի անհակասական հետազոտություններ և աքսիոմաներ^[3]։ Տրամաբանական կառուցվածքով, ֆորմալ համակարգով և հանրահաշվական աքսեոմաներով զբաղվում է ֆորմալ հանրահաշիվը^[2]։

Թվաբանության հետագա պատմությունը նշանավորվում է հիմունքների քննադատական վերանայմամբ և դեդուկցիոն մեթոդներով այն հիմնավորելու փորձերով։ Թվերի մասին տեսական հիմնավորված պատկերացումները առաջին հերթին կապված են բնական թվի խիստ որոշմամբ և Պեանոի աքսեոմաներով՝ ձևակերպված 1889 թվականին։ Թվաբանության անհակասականության ֆորմալ կառուցվածքը ցույց է տվել Գենցենը 1936 թվականին։

Թվաբանության հիմունքներին հնուց ի վեր անփոփոխ և մեծ ուշադրություն է դարձվում նախդպրոցական կրթության մեջ։

Պարզագույն հասկացություններ

Հաջորդական հաշվարկ, բնական թվեր

Մի խնձոր, երկու խնձոր, երեք խնձոր։ Բնական թվեր

Հիմնական հոդված՝ Բնական թվեր

Հաջորդական հաշվարկը թվաբանական պարզագույն հասկացություն է։ Որպես հաշվարկման առարկա ծառայում են տարբեր տարրեր կամ դրանց բազմությունը, օրինակ խնձորը և զամբյուղով խնձորները։ Հաջորդական հաշվարկի օգնությամբ կարելի է համարակալել տարրերը և նշել նրանց ընդհանուր քանակը։

Հաջորդական հաշվարկը կապված է այն խմբերի հաշվման հետ, որոնք պարունակում են հարաբերականորեն հավասար քանակի տարրեր, ինչպես օրինակ տասնյակներով խնձորների հաշվարկը։ Սովորաբար, այն համարվում է երկու ձեռքերի մատները (հիմքը ուղիղ 10-ն է), բայց պատմական աղբյուրներում հանդիպում է խմբավորումներ հետևյալ թվերով՝ ${\displaystyle 5,11,12,20,40,60,80}$։ Խմբի մեջ տարրերի քանակը հիմք է հանդիսանում հաշվարկման համակարգի համար^[11]։

Թվային շարքը, որը ստացվում է հաշվարկից, անվանում են բնական, իսկ նրա տարրերը բնական թվեր։ Բնական շարք հասկացությունը առաջին անգամ ի հայտ է եկել հույն մաթեմատիկոս Նիկոմախի աշխատություններում, մեր թվարկության 1-ին դարում, բնական թվի մասին՝ հռոմեացի հեղինակ Բոետիոսի մոտ 5-րդ դարի վերջին 6-րդ դարի սկզբին։ Տերմինի համընդհանուր օգտագործումը սկսվում է Դ’Ալամբեր աշխատություններից 18-րդ դարում։ Արքիմեդեսը իր աշխատությունում, ասել է, որ թվային շարքը կարելի է շարունակել անվերջ, բայց դրա հետ մեկտեղ նկատել է, որ իրական խնդիրների լուծման համար բավական է նրա միայն մի փոքր մասը^[13]։ Բնական թվերի բաժանումը զույգ և կենտ թվերի գրել են պյութագորասականները, այն առկա է նաև եգիպտական Ռինդի պապիրուսում։ Պյութագորասականները հաստատեցին նաև պարզ և բաղադրյալ թվերը^[14]։

Գումարում, բազմապատկում, աստիճան բարձրացում

${\displaystyle 3+2=5}$

Հիմնական հոդվածներ՝ Գումարում, Բազմապատկում, և Աստիճան բարձրացում

Բնական թվերի համար բնական կերպով որոշված են բազմապատկման և գումարման գործողությունները։ Երկու առարկաների որոշակի քանակ պարունակող տարբեր խմբերի միավորումից, առաջացող նոր խումբը կունենա այնքան առարկա, որքան որ կար առաջի երկու խմբերում միասին։ Եթե առաջի խումբը պարունակում է ${\displaystyle 3}$ առարկա, իսկ երկրորդը ${\displaystyle 2}$ առարկա, ապա նրանց գումարը կպարունակի ${\displaystyle 2+3=5}$ առարկա։ Նշված գործողությունը կոչվում է գումարում և համարվում է պարզ բինար գործողություն^[4]։ Գումարի ճշտությունը ստուգելու համար գումարման աղյուսակը գիտենալ անհրաժեշտ չէ, բավական է վերահաշվել առարկաները^[15]։

Նույն տեսակի բազմության տարրերի բազմակի գումարումը կախված չէ այդ բազմության անդամների հաջորդականությունից, սա թույլ տվեց հաստատել մեկ այլ բինար գործողություն՝ բազմապատկումը^[4]։ Բացի բազմապատկումից, հին ժամանակներում գոյություն է ունեցել այլ թվաբանական գործողություն ևս, կրկնապատկում կամ երկուսով բազմապատկում^[16]։ Գումարման միջոցով բազմապատկման որոշման համանմանությամբ, բազմակի բազմապատկումը թույլ է տալիս որոշել աստիճան բարձրացնելու գործողությունը։

Թվաբանության հիմնական կանոնները

Բազմապատկման տեղափոխական օրենք

Հիմնական հոդվածներ՝ Տեղափոխականություն, Զուգորդական գործողություն, և Բաշխականություն

Այս գործողությունների հատկությունների մասին ձևակերպվել է հինգ օրենքներ, որնք համարվում են թվաբանության հիմնական օրենքները ^[17]։

• Տեղափոխական օրենք։ Ըստ գումարման տեղափոխական օրենքի՝ գումարելիների տեղերը փոխելիս գումարը չի փոխվում։ Համանուն օրենքը գործում է նաև բազմապատկման համար՝ արտադրիչների տեղերը փոխելիս արտադրյալը չի փոխվում։ Այս օրենքները կարելի է արտահայտել հանրահաշվական բանաձևերի միջոցով, տառային նշանակումների տեսքով՝

${\displaystyle a+b=b+a}$

${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$

• Գումարման զուգորդական օրենքն ասում է, որ երկու թվերի գումարին երրորդ թիվն ավելացնելու համար կարելի է առաջին թվին ավելացնել երկրորդի և երրորդի գումարը։ Համանուն օրենքը գործում է նաև բազմապատկման համար՝ երկու թվերի արտադրյալը երրորդ թվով բազմապատկելու համար կարելի է առաջին թիվը բազմապատկել երկրորդ և երրորդ թվերի արտադրյալով։ Այս օրենքները ևս կարելի է ներկայացնել հանրահաշվական տեսքով՝

${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$

${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

• Բաշխական օրենքն ասում է, որ գումարը թվով բազմապատկելու համար կարելի է այդ թվով բազմապատկել յուրաքանչյուր գումարելին և ստացված արտադրյալները գումարել։ Հանրահաշվական տեսքը հետևյալն է՝

${\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$

Բացի հանրահաշվական հիմնական օրենքներից բնական թվերի համար գործում է նաև գումարման և բազմապատկման^[18][19] մոնոտոնության օրենքները։ Հանրահաշվական տեսքը հետևյալն է՝

${\displaystyle a+b>a+c}$ երբ ${\displaystyle b>c}$,

${\displaystyle a\cdot b>a\cdot c}$ երբ ${\displaystyle b>c}$ և ${\displaystyle a>0}$

«Բաշխական» տերմինը տեղափոխական օրենքի համար մտցրել է ֆրանսիացի մաթեմատիկ Սերվուան 1814 թվականին, «զուգորդական» տերմինը տեղափոխական օրենքի համար՝ Համիլտոնը, 1853 թվականին^[17]։

Պուանկարեն բոլոր հանրահաշվական գործողություններն ու օրենքները ուսումնասիրում էր ինտուիցիայի տեսակետից։ Նա պնդում էր, որ օրենքները բացահայտ կերպով իրականացվում են փոքր թվերի վրա, և օգտագործելով ինդուկցիայի կանոնը, կարելի է գալ այն եզրակացության, որ նրանք ճիշտ են բոլոր թվերի համար։ Ըստ այլ մոտեցման ինտուտիվ կերպով իրականացվող համարվում են ոչ բոլոր կանոնները, այլ միայն պարզագույնները և այն դեպքում, երբ դրանց հետագա ապացույցները կապված են տրամաբանական կառուցվածքներով^[20]։ Ակնհայտ են համրվում տեղափոխական և զուգորդական օրենքները^[17]։ Բաշխական օրենքը սկզբնական ժամանակաշրջանում ապացուցել է Էվկլիդեսը, օգտագործելով երկրաչափական մեթոդը^[21]։

Աստիճան բարձրացնելու գործողությունը տեղափոխական և զուգորդական չէ, այն ունի իր կանոնները։ Այս գործողության կատարման հիմնական կանոնները դրական աստիճանների դեպքում կապված են նրա ձևակերպումից^[4]։ Հանրահաշվում այն գրվում է հետևյալ տեսքով՝

• Բաշխական օրենքը աստիճան բարձրացնելու գործողության ժամանակ՝

${\displaystyle a^{n+m}=a^{n}a^{m}}$

• Բաշխական օրենքը հանման դեպքում ընդունում է կոտորակային տեսք՝

${\displaystyle a^{n-m}={a^{n} \over {a^{m}}},\quad n>m}$

• Կրկնակի աստիճան բարձրացումը բացվում է աստիճանների բազմապատկումով՝

${\displaystyle \left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}}$։

Հակառակ գործողություններ

Թվաբանական բոլոր գործողություններն ունեն իրենց հակառակը՝ գումարման հակառակը հանումն է, բազմապատկմանը՝ բաժանումը, աստիճան բարձրացնելունը՝ թվաբանական արմատը և լոգարիթմը։ Չնայած գումարման և բազմապատկման բինար լինելուն, նրանք ունեն մեկական հակադիր գործողություն, սա բացատրվում է նրանց տեղափոխականությամբ։

Հանում՝ բացասական թվեր

Հիմնական հոդվածներ՝ Հանում, Բացասական թիվ, և Ամբողջ թիվ

${\displaystyle 5-2=3}$

Հանումը դա գումարման հակառակ գործողությունն է, երկու տրված թվերի տարբերությունը՝ ${\displaystyle 5}$ և ${\displaystyle 2}$ համարվում է ${\displaystyle 2+?=5}$ հավասարման անհայտը^[4]։ Հանման գործողությունը նշանակում են «-» նշանով, այն գրվում է հետևյալ տեսքով՝ ${\displaystyle 5-2=3}$։ Գործողության կատարման համար օգտագործվում է երկու եղանակ՝ տարբերությունը հաշվելու համար անհրաժեշտ է նվազելին պակասեցնել հանելիի միավոր արժեքի չափով կամ անհրաժեշտ է գտնել այնպիսի թվի, որի ավելացումը հանելիին հավասար լինի նվազելիին^[16]։

Հանման գործողությունը, եթե այն կիրառենք բնական թվերի բոլոր զույգերի վրա, այլ ոչ թե միայն նրանց, որոնք կարող են գումարման գործողության շրջանակներում լինել գումար և գումարելի, թույլ է տալիս դուրս գալ բնական շարքի սահմաններց, այսինքն երկու բնական թվերի տարբերությունը պարտադիր չէ որ լինի բնական թիվ, հանման արդյունքում կարող է ստացվել զրո կամ ընդհանրապես բացասական թիվ։ Բացասական թվերն արդեն հնարավոր չէ դիտարկել որպես իրերի քանակ, թվային առանցքի վրա նրանք տեղակայված են զրոյից ձախ։ Թվերի բազմությունը, որը ստացվում է բնական թվերին զրո և բացասական թիվ գումարելիս կոչվում է ամբողջ թվերի բազմություն։ Զրոն և բնական թվերի բազմությունը կոչվում են դրական ամբողջ թվեր^[4]։ Բազմապատկման ժամանակ, որպեսիզի որոշվի տրված թիվը դրական է թե բացասական օգտագործում են «նշանների կանոնը»^[22]։ Շատ մաթեմատիկոսներ մինչև 19-րդ դարը բացասական թվերը համարվում էին ոչ իրական և անիմաստ, սակայն դա չէր խանգարում նրանց համատարած պայմանական օգտագործմանը։

Բացասական թիվ հասկացությունը առաջին անգամ հայտնվել է Հնդկաստանում, որտեղ այն մեկնաբանում էին որպես «պարտք» (դրական թվեը որպես «ունեցվածք»)։ Բացասական թվերը տարածում ստացան միայն 17-րդ դարում^[23]։ «Հանում» տերմինը երևան է եկել դեռևս Բոեցիայի մոտ, «հանելի» և «նվազելի» տերմինները գործածության մեջ է դրել Վոլֆը, 1749 թվականին, «տարբերությունը՝» Վիդմանը, 1489 թվականին^[16]։ «+» և «−» նշանների ներկայիս նշանակումը ևս մտցվել է Վիդմանի կողմից 15-րդ դարի վերջին։

Բաժանում՝ ռացիոնալ թվեր

Հիմնական հոդվածներ՝ Բաժանում (մաթեմատիկա) և Ռացիոնալ թիվ

20-ի բաժանումը 4-ի

Բազմապատկման հակառակ գործողությունը համարվում է բաժանումը։ Բաժանման առաջին ձևակերպումը դա այն թվի որոնումն է, որը բաժանելիի մեջ կա այնքան անգամ, որքան միավոր որ պարունակվում է բաժանարարը։ Այսպիսի ձևակերպում է տրված 14-րդ դարի հանրահաշվի դասագրքերում։ Օրինակ՝ ${\displaystyle 20/4=5}$։ Բաժանումը համարվել է շատ բարդ և ծանր գործողություն։ Բաժնման ներկայիս եղանակը՝ քանորդի առանձին կարգերի վրա բաժանարարի արտադրյալի մանակի օգտագործումն է (սյունակով բաժանում), ներկայացված իտալական 1460 թվականի ձեռագրերում^[16]։

Բնական թվերի համար, որոնք չեն համարվում բազմապատկիչ և արտադրյալ, հայտնի է մնացորդով բաժանում գործողությունը (բաժանումից առաջացած մնացորդը անվանում են նաև մոդուլով բաժանում)։ Գոյություն ունի բազմաթիվ եղանակներ, որոնք պարզեցման են բաժանումը մասնավոր դեպքեում կամ որոնք թույլ են տալիս ստուգել այս կամ այն թվին բաժանելիությունը։ Օրինակ ըստ բաժանելիության հայտանիշների՝

• թիվը առանց մնացորդ բաժանվում է երկուսի, եթե նրա վերջի թիվը բաժանվում է երկուսի,
• թիվը առանց մնացորդ բաժանվում է երեքի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է երեքի,
• թիվը առանց մնացորդ բաժանվում է տասի, եթե նրա վերջի թիվը զրո է։

Բաժանման գործողությունը՝ եթե բաժանում ենք ոչ միայն այն թվերը, որոնք կարելի է ստանալ բնական թվերի արտադրյալից, և բաժանվում ենք առանց մնացորդ, այնպես ինչպես հանումը, թույլ է տալիս դուրս գալ բնական թվերի բազմությունից։ Բաժանման ժամանակ կարող են ստացվել կոտորակներ, որոնք անհնար է առանց մնացորդ կրճատել և ստանալ ամբողջ թիվ։ Այս կոտորակներին համապատասխանող թվերը կոչվում են ռացիոնալ։ Ռացիոնալ թվերի բաժանման գիտակցման հիման վրա տեղի է ունենում արդեն հայտնի թվերի ցանկի ևս մեկ ընդլայնում։ Պատմականորեն առաջինը հայտնվել են կոտորակները, իսկ հետո նոր բացասական թվերը^[24]։ Այսպիսի հաջորդականություն է ընդունված նաև դպրոցական դասընթացներում^[25]։

Օգտագործվում է կոտորակների գրառման երկու տարբերակ՝ համարիչի և հայտարարի բաժանումը հորիզոնական կամ շեղակի գծով, որի դեպքում հաճախ կոտորակը կրճատվում է մինչև ամենափոքր թիվը, և կոտորակային մաս պարունակող թվերով, որոնք դիրքային գրառումներում տեղադրվում են ամբողջ և կոտորակային մասի բաժանման նշանից հետո։ Օրինակ 10 բաժանումը 20-ի կարող է գրված լինել հետևյալ կերպ՝ ${\displaystyle {\frac {10}{20}}=10/20=5/10=1/2=0{,}5}$։

Թվային առանցք

Արմատի հանում՝ իռացիոնալ և կոմպլեքս թվեր

Հիմնական հոդվածներ՝ Արմատ (մաթեմատիկա), Լոգարիթմ, Իռացիոնալ թիվ, Կոմպլեքս թիվ, և Իրական թիվ

Աստիճան բարձրացնելու գործողության երկու հակառակ գործողություններից մեկը արմատ հանելն է, կամ այն թվի որոնումն է, որը համապատասխան աստիճան բարձրացնելու դեպքում, կստացվի հայտնի արդյունքը։ Այսինքն, հանրահաշվորեն ասած, այն արմատի որոնում է ${\displaystyle x^{a}=b}$ նման հավասարումների համար։ Երկրորդ հակառակ գործողությունը լոգարիթմների որոնումն է (${\displaystyle a^{x}=b}$ արմատ հետևյալ տեսքի հավասարումների համար)։ Թվաբանությանը, որպես կանոն վերաբերում է միայն քառակուսի արմատը՝ երկրորդ աստիճանի արմատը։ Այլ աստիճանների արմատները և լոգարիթմները թվաբանական գործողություններ չեն համարվում։

Արմատ հանելու գործողությունը, եթե այն կիրառենք ոչ միայն այն թվերի համար որոնք ստացվում են բնական թվերի աստիճան բարձրացնելուց, այնպես ինչպես մյուս հակառակ գործողությունները, թույլ է տալիս դուրս գալ բնական թվերի բազմությունից։ Թվերը որոնք ստացվում են այս դեպքում, հաճախ չեն կարող ներկայացված լինել վերջավոր ռացիոնալ կոտորակների տեսքով, այս պատճառով էլ կոչվում են իռացիոնալ։ Ռացիոնալ թվերին իռացիոնալ թվերի ավելացումից ստացված թվերի բազմությունը կոչվում է իրական։

Դեռևս Հին Հունաստանում հայտնի էր անհամաչափելի հատվածների գոյությունը, օրինակ փորձեր էին կատարվում միավոր կողմով քառակուսու կողմերի և անկյունագիծի համար ստանալ ճշգրիտ թվային արժեքներ, ինչը իր արտացոլումը գտավ Էվկլիդեսի «սկզբունքներում»։ Իրական թվերը ուսումնասիրման առարկա դարձան միայն 17-18-րդ դարերում։ 19-րդ դարի երկրորդ կեսին Դեդեկինդի, Կանտորի և Վայերշտրասը ձևակերպեցին իրենց իրական թվերի որոշման կառուցվածքային մեթոդը^[26]։

Արմատ հանելու գործողության համար հայտնի է հետևյալ կանոնը^[4]՝

• ${\displaystyle a^{n \over m}={\sqrt[{m}]{a^{n}}}}$

Թվային բազմությունների հետագա ընդլայնումը կապված էր բացասական թվերի քառակուսի արմատի որոշման անհնարին լինելու հետ։ Այսպիսի խնդիրների էին առնչվում հին ժամանակներում քառակուսի հավասարումների լուծման ժամանակ, և այս հավասարումները համարում էին լուծում չունեցող։ 16-րդ դարի առաջին կեսին, այն հավասարումները որոնց լուծումները պարունակում էին բացասական թվերի արմատներ անվանեցին «կեղծ», «լուծում չունեցող», «երևակայական» և այլն^[27]։

Գործնական թվաբանություն

Թվաբանության գործնական կողմը ներառում է մեթոդներ, ուրվագծեր և ալգորիթմներ, թվաբանական գործողությունների ճշգրիտ իրականացման համար, այդ թվում՝ հաշվող մեքենաների և այլ սարքերի օգտագործում, ինչպես նաև մոտավոր հաշվարկների բազմաթիվ եղանակներ, որոնք հայտնվել են որոշ չափումների ճշգրիտ արդյունքներ ստանալու անհնարինության պատճառով և թույլ են տալիս որոշել նրա կարգը, այսինքն առաջին իմաստ ունեցող թվերը^[28]։

• Պարզագույն հաշվիչ սարքեր
• 
  Հռոմեական աբակ
• 
  Չինական սուանպան
• 
  Ինկերի յուպանա
• 
  Ռուսական համրիչ

Ճշգրիտ մեթոդներ

Սկսած 15-րդ դարից առաջարկվում էին տարբեր ալգորիթմներ բազմանիշ թվերի հետ թվաբանական գործողությունների իրականացման համար, որոնք աչքի էին ընկնում հաշվարկի միջնակա գրելաձևով^[1]։ Թվաբանական ալգորիթմները կառուցված են ելնելով գործող դիրքային հաշվողական համակարգից, երբ յուրաքանչյուր ${\displaystyle x}$ դրական իրական թիվ ներկայացված է միակ հնարավոր եղանակով, հետևյալ տեսքով՝

${\displaystyle x=(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots )_{b}=\sum _{k=-\infty }^{n-1}a_{k}b^{k}}$ որտեղ ${\displaystyle a}$ —ն թվի գրառման հերթական նիշն է ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle b}$ —ն հաշվարկման հիմնական համակարգն է, ${\displaystyle n}$ —ը ${\displaystyle x}$ թվի ամբողջ մասի կարգերի թիվն է։

Թվերի հետ բոլոր տիպի գործողություններում օգտագործվում են մինչև տասի գումարման և բազմապատկման աղյուսակները և հարահաշվական հիմնական օրենքները։ Որպես՝ լուսաբանություն պարզաբանող օրինակ, գիտությունը հանրամատչելի դարձնող Կլայնը բերում է հետևյալ օրինակը՝

${\displaystyle 7\cdot 12=7\cdot (10+2)=70+14=70+(10+4)=(70+10)+4=80+4=84,}$

որտեղ օգտագործված են բաշխական և զուգորդական օրենքները^[29]։

Ճիշտ և արագ հաշվարկների անհրաժեշտությունը բերեցին պարզագույն հաշվիչ սարքերի ստեղծմանը, ինչպիսիք են՝ աբակը, սուանպան, յուպանը։ Հաջորդ քայլը եղավ Օգհտրեդի 1622 թվականի լոգարիթմական քանոնի ստեղծումը, որը թույլ էր տալիս կատարել բաժանում և բազմապատկում^[30]։

Համակարգչային թվաբանություն

Սչիքկարդի հաշվողական մեքենայի պատճենը

Կնուտը թվաբանական գործողությունները համարում էր «համակարգիչների ճակատագիր»^[31]։ Առաջին հաշվիչ մեքենաները, որոնք թույլ տվեցին մեքենայացնել թվաբանական չորս գործողությունները, նախագծվել են 17-րդ դարում։ Սչիքկարդի «թվաբանական մեքենան», ինչպես ինքն էր այն անվանում, ստեղծվել է 1623 թվականին։ Գումարման և հանման գործողությունները կատարվում էին գլանագլխարկի (ցիլինդր) պտտման արդյունքում, հատուկ գլանագլխարկներ կային նաև բաժանման և բազմապատկման համար։ Բացի դրանից մեքենան կարող էր փոխանցել տասնյակներ։ Հայրիկին ֆինանսական հաշվարկներում օգնելու համար Պասկալը 1642 թվականին ստեղծել է պասկալինան։ Այն աշխատում էր նույն Սչիքկարդի մեքենայի սկզբունքով։ Մեքենայի հիմնական մասը կազմում էր տասնյակների փոխանցման մեխանիզմը։ Սրա հետ մեկտեղ նման մեքենաների արհեստագործական արտադրությունը դեռևս անարդյունավետ էր^[32]։ 18-րդ դարի ամբողջ ընթացքում շարումակվեցին հաշվեմեքենաները կատարելագործելու փորձերը, բայց հաշվեմեքենաների օգտագործումը լայն տարածում գտավ միայն 19-րդ դարում^[33]։

20-րդ դարում հաշվեմեքենաներին փոխարինելու եկան էլեկտրոնային հաշվիչ մեքենաները։ Նրանց հիմքում ընկած են ալգորիթմներ, որոնք թվաբանական գործողությունները կատարում են օգտագործելով հնարավորինս քիչ քանակի տարրական գործողություններ^[1]։ Համակարգչային թվաբանությունը ներառում է ալգորիթմներ, որոնք թույլ են տալիս գործողություններ կատարել լողացող ստորակետով, կոտորակային և մեծ թվերի հետ^[31]։

Չափում

Բացի այն առարկաներից, որ ենթակա են հաշվման գոյություն ունեն առարկաներ, որոնք կարելի է չափել, առաջին հերթին դա երկարությունն ու ծավալն է^[34]։ Ինչպես հաշվարկի դեպքում, այս դեպքում ևս առաջին չափման միավորը եղել է մարդու ձեռքի մատները։ Հետո հեռավորությունները սկսեցին չափել քայլերով, կրկնակի քայլերով, մղոններով (հազար կրկնակի քայլ), ասպարեզով։ Բացի սրանցից երկարության չափման համար օգտագործում են նաև արմունկները, ափերը, սաժենը, դյույմը։ Տարբեր տարածաշրջաններում սահմանվում էին տարբեր չափման միավորներ, որոնք շատ հազվադեպ էին տասին բազմապատիկ լինում^[35]։ Չափման միավորների բազմազանությունը թույլ էր տալիս խուսափել կոտորակների օգտագործումից^[36][37]։ Առևտրային թվաբանությունը ներառում էր ոչ տասնորդական թվային համակարգում գործելու ունակություններ (դրամական միավորներ, չափման միավորներ և կշիռներ)^[38]։

18-րդ դարի վերջին Ֆրանսիակակն հեղափոխական կառավարությունը նախ ժամանակավոր, իսկ հետագայում նաև արխիվային հիմքով (1799 թվականի դեկտեմբերի 10-ի օրենքով) մետրը ընդունեց որպես մետրական չափման միավոր (վերջնականապես այդ չափման միավորին Ֆրանսիան անցում կատարեց 1840 թվականի հունվարի 1-ից)։ Մետրի հետ միասին որոշվեց նաև կիլոգրամը։ Մետրական համակարգի հիմքում ընկած է տասական համակարգը։ Հենց այս հանգամանքն էլ թույլ տվեց, որ այն տարածվի գրեթե ամբողջ աշխարհում (բացառություն են կազմում Մեծ Բրիտանիան և ԱՄՆ-ն)։ Փարիզում գտվող հատուկ չափի և կշռի միջազգային բյուրոի հրամանով 1888 թվականին պլատինի և իրիդիումի համաձուլվածքից պատրաստվել է միջազգային մետր և միջազգային կիլոգրամ, որպես չափի և կշռի ստուգաչափ։ Բացի ժամանակի և անկյան չափումներից, մնացած բոլոր չափման միավորները ևս կապված են տասական համակարգի հետ^[39]։

Մոտավոր մեթոդներ

Պատմականորեն մոտավոր հաշվարները առաջացել են միավոր քառակուսու անկյունագծի որոշման ժամանակ, բայց լայն տարածում են ստացել տասական համակարգին անցում կատարելիս և իռացիոնալ թվերի ու անվերջ պարբերական կոտորակային տեսքով արտահայտված թվերի փոխարն վերջավոր տասնորդական կոտորակի օգտագործման ժամանակ^[40]։

Գնահատման հաշվարկների համար առաջին հերթին օգտագործում են մոնոտոնության օրենքները։ Օրինակ որպեսզի որոշեն արտադրյալի կարգը ${\displaystyle 567\cdot 134}$, կարելի է օգտվել հետևյալ գնահատականից՝ ${\displaystyle 560\cdot 130<567\cdot 134<570\cdot 140}$^[29]։

Թվերի տեսություն

Հիմնական հոդված՝ Թվերի տեսություն

Թվերի տեսությունը կամ բարձրագույն թվաբանությունը գիտություն է ամբողջ թվերի մասին, որը առաջացել է թվաբանական այն խնդիրներից, որոնք կապված են թվերի բաժանելիության հետ^[41]։ Թվերի տարրական տեսությունը գործ ունի այն խնդիրների հետ, որոնք լուծվում են տարրական մեթոդներով, սովորաբար առանց կեղծ թվերի օգտագործման։ Նրան են վերաբերում բաժանելիության տեսությունը, համեմտության տեսությունը, անորոշ հավասարումները, մասերի բաժանումը, ռացիոնալ թվերով մոտավորությունը, շղթայական կոտորակները^[42]։ Թվաբանության հիմնական տեսությունը՝ թվերի բաժանումը պարզ համաբազմապատկիչների միակ եղանակով, նույնպես համարվում է թվերի տարրական տեսության մաս^[43]։

Ամբողջ թվերի առանձին ենթադասերը, ինչպիսիք են՝ պարզ, բաղադրյալ, քառակուսի և կատարյալ թվերը առանձնացվել են դեռևս հին հույների կողմից։ Նրանք արտածել են բանաձևեր պյութագորական եռյակի, ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի որոշման համար և ցույց են տվել պարզ թվերի անվերջությունը։ Դիոֆանտը անցկացրեց ամբողջ թվերի հետ կապված խնդիրների դասակարգում։ Դիոֆանտի աշխատանքները 17-րդ դարում շարունակեց Ֆերման, 18-րդ դարում՝ Էյլերը։ Ֆերման զբաղվում էր ամբողջ թվերի հետ կապված հավասարումների լուծումով և առանց ապացույցների ձևակերպեց Ֆերմայի մեծ և փոքր թեորեմները։ Էյլերը շարունակեց Ֆերմայի հետազոտությունները, ապացուցելով փոքր թեորեմը և Ֆերմայի մեծ թեորեմի մասնավոր դեպքը։ Նա առաջին անգամ օգտագործեց մաթեմատիկական անալիզ թվերի տեսության խնդիրների լուծման համար և ստեղծեց թվերի վերլուծական տեսություն։ Էյլերը սահմանեց բազմացնող ֆունկցիաները, որնց հիման վրա կառուցվեցին շրջանաձև մեթոդը և եռանկյունաչափական գումարի մեթոդը^[41]։

Այժմ բացի տարրական և վերլուծական թվերի տեսությունից, գոյություն ունեն այնպիսի բաժիններ, ինչպիսիք են հանրահաշվային, հավանականության և թվերի մետրական տեսությունները^[41]։

Տեսական թվաբանություն

Ժամանակակից մաթեմատիկայի մեջ տեսության կառուցվածքը իրենից ներկայացնում է բազային հատկությունների ընտրություն, կամ աքսիոմաներ, որոնցից պահանջվում է դուրս բերել տեսության բոլոր դրույթները, կամ թեորեմները, ընդունված տրամաբանության օգնությամբ^[44]։ Թվաբանության տեսական կառուցվածքը հենված է հանրահաշվական հասկացությունների վրա։ Թվաբանության հիմնական հասկացությունների ընտրության բարդությունը կապված է նրա նախնական դրույթների պարզության հետ։ Պեանոն խուսափելով բառերի օգտագործման ժամանակ կեղծ ասոցիացվող շարքից, ապացույցները անցկացնում էր բացառապես սիմվոլներ լեզվով, հենվելով միայն նրանց կողմից ընդունված նախնական դրույթների վրա։ Կանտորը և Դեդեկինդը թվերը կապում էին բազմությունների և նրանց հանդեպ վերացական հարաբերությունների հետ^[20]։ Բազմությունների տեսությունը թվաբանական գործողությունները դիտարկում է որպես տարրերի եռյակի միջև հատուկ հարաբերություններ, որտեղ մի տարրը որոշվում է մյուս երկու տարրերի միջոցով կամ հանրահաշվական գործողություններ^[45]։ Բազմությունների տեսության մասին խոսելիս Կլեյնը նկատում է, որ այս մոտեցման դեպքում տեսության զարգացումը դառնում է «վերացական և քիչ հասանելի»^[20]։

Բնական թվեր

1810 թվականին չեխ մաթեմատիկոս Բոլզանոն բնական թվերի համար սահմանեց գումարման գործողությունը։ Նրանից անկախ նման սահմանումներ տվեցին նաև գերմանացի մաթեմատիկոսներ Գրասսմանը 1861 թվականին և Հանկելը՝ 1869 թվականին^[46]։ «Տարրական մաթեմատիկայի հանրագիտարանը» առաջարկում է բնական թվերի գումարման հետևյալ սահմանումը^[47]՝

Սահմանում։ Բնական թվերի գումարում անվանում են այն համապատասխանությունը, որը բնական թվերի յուրաքանչյուր զույգի համար ${\displaystyle a}$ և ${\displaystyle b}$ համադրում է մեկ և միայն մեկ բնական թիվ ${\displaystyle a+b}$, օժտված հետևյալ հատկություններով՝
${\displaystyle a+1=a'}$ ցանկացած ${\displaystyle a}$-ի համար,
${\displaystyle a+b'=(a+b)'}$ ցանկացած ${\displaystyle a}$-ի և ${\displaystyle b}$-ի համար։

Բնական թվերի գումարումը միշտ իրագործելի է և միանշանակ^[47]։

Բազմապատկումը ինչպես և գումարումը, սահմանել են իրարից անկախ Բոլցանոն, Գրասսման և Հանկելը^[46]։ «Տարրական մաթեմատիկայի հանրագիտարանը» առաջարկում է բնական թվերի բազմապատկման հետևյալ սահմանումը^[48]՝

Սահմանում։ Բնական թվերի բազմապատկում անվանում են այն համապատսխանությունը, որը բնական թվերի յուրաքանչյուր զույգի համար ${\displaystyle a}$ և ${\displaystyle b}$ համադրում է մեկ և միայն մեկ բնական թիվ ${\displaystyle ab}$ (կամ ${\displaystyle a\cdot b}$), որն ունի հետևյալ հատկությունները՝
${\displaystyle a\cdot 1=a}$ ցանկացած ${\displaystyle a}$-ի համար,
${\displaystyle a\cdot b'=a\cdot b+a}$ ցանկացած ${\displaystyle a}$-ի և ${\displaystyle b}$-ի համար։

Բնական թվերի բազմապատկումը միշտ իրագործելի է և միանշանակ^[48]։

1891 թվականին Պեանոն ներկայացրեց աքսեոմաներ բնական թվերի համար (այլ աղբյուրներում հիշատակվում է նաև 1889 թվականը)^[11][46]։ Այդ ժամանակներից ի վեր աքսեոմաները շատ քիչ փոփոխությունների են ենթարկվել։

Սահմանում։ Բնական թվեր են համարվում ցանկացած ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ոչ դատարկ բազմության տարրերը, որի մեջ որոշ տարրերի համար ${\displaystyle a}$ և ${\displaystyle b}$ գոյություն ունի «${\displaystyle b}$-ն հաջորում է ${\displaystyle a}$-ին» առնչությունը, որի համար իրականացվում է հետևյալ աքսեոմաները[49]՝  
Գոյություն ունի ${\displaystyle 1}$ թիվը, որը չի հաջորդում ոչ մի թվի, այսինքն ցանկացած ${\displaystyle a}$ թվի համար ${\displaystyle a'\neq 1}$։
Ցանկացած ${\displaystyle a}$ թվի համար գոյություն ունի ${\displaystyle a'}$ թիվը, ընդորում միայն մեկը, այսինքն ${\displaystyle a=b}$ հետևում է, որ ${\displaystyle a'=b'}$։  
Ցանկացած թիվ հաջորդում է ոչ ավել քան մեկ թվի, այսինքն ${\displaystyle a'=b'}$ հետևում է, որ ${\displaystyle a=b}$։
Բնական թվերի ցանկացած ${\displaystyle M}$ բազմություն, որ օժտված է՝ ${\displaystyle 1}$-ը պատկանում է ${\displaystyle M}$-ին և ${\displaystyle a}$ թիվը պատկանում է ${\displaystyle M}$-ին, ապա ${\displaystyle a'}$ թիվը ևս պատկանում է ${\displaystyle M}$-ին հատկություններով, պարունակում է բոլոր բնական թվերը, այսինքն համընկնում է ${\displaystyle \mathbb {N} }$-ի հետ։

Ամբողջ թվեր

«Տարրական մաթեմատիկայի հանրագիտարանը» առաջարկում է բնական թվերի հանման հետևյալ սահմանումը^[50]՝

Սահմանում։ Բնական թվերի տարբերություն անվանում են այն համապատասխանությունը, որը յուրաքանչյուր ${\displaystyle a}$ և ${\displaystyle b}$ բնական թվերի զույգին համապատասխանեցնում է ${\displaystyle a-b}$ թիվը, այն օժտված է հետևյալ հատկությամբ՝ 
${\displaystyle (a-b)+b=a}$։

Բնական թվերի տարբերությունը իրագործելի է միայն այն դեպքում, երբ ${\displaystyle a>b}$, եթե անհավասարությունը գոյություն ունի, ապա այն միակն է^[50]։ Գումարման և հանման հաշվին բնական թվերի ընդլայնումը բերում է ամբողջ թվերի հասկացությանը^[51]։

Սահմանում։ Ամբողջ թվերի օղակ անվանում են ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ նվազագույն օղակը, որ պարունակում է բոլոր բնական թվերի ${\displaystyle \mathbb {N} }$ բազմությունը և օժտված է հետևյալ հատկություններով[52]՝ 
Բնական թվերի գումարումն ու հանումը համընկնում են ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ օղակի համապատասխան թվերի համանուն գործողությունների հետ, 
${\displaystyle \mathbb {Z} }$ օղակը չի պարունակում իրենից տարբեր ${\displaystyle \mathbb {N} }$ բազմությունը պարունակող ենթաօղակը։
${\displaystyle \mathbb {Z} }$ օղակի տարրերը անվանում են ամբողջ թվեր։

${\displaystyle \mathbb {Z} }$ օղակը գոյություն ունի և համարվում է միակը մինչև իզոմորֆության ճշտությամբ, իսկ նրա յուրաքանչյուր տարր հավասար է բնական թվերի տարբերությանը։ Օղակի կառուցման համար օգտագործում են հետևյալ տեսքի՝ ${\displaystyle (a,\;b)}$, բնական թվերի զույգերի բազմություններ։ Զուհույգերի համար գումարման և բազմապատկման համարժեքությունը որոշում է հետևյալ կերպ^[52]՝

• ${\displaystyle (a,\,b)}$ համարժեք է ${\displaystyle (c,\;d)}$ միայն և միայն այն դեպքում, երբ ${\displaystyle a+d=b+c,}$
• ${\displaystyle (a,\,b)+(c,\;d)=(a+c,\,b+d),}$
• ${\displaystyle (a,\,b)\cdot (c,d)=(ac+bd,\,ad+bc):}$

Ռացիոնալ թվեր

«Տարրական մաթեմատիկայի հանրագիտարանը» առաջարկում է բնական թվերի բաժանման հետևյալ սահմանումը^[50]՝

Սահմանում։Բնական թվերի բաժանում անվանում են այն համապատասխանությունը, որի ժամանակ ${\displaystyle a}$ և ${\displaystyle b}$ բնական թվերի յուրաքանչյուր զույգին համապատասխանում է ${\displaystyle a:b}$ թիվը, այն օժտված է հետևյալ հատկությամբ՝
${\displaystyle (a:b)\cdot b=a}$։

Բնական թվերի բաժանումը իրագործելի է միայն այն ժամանակ, երբ ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$ (${\displaystyle a}$ բազմապատիկ է ${\displaystyle b}$), եթե քանորդը գոյություն ունի ապա այն միակն է^[50]։ Բաժանում և բազմապատկում հասկացությունների հաշվին բնական թվերը ընդլայնումը, բերում է ռացիոնալ թվերի սահմանմանը^[51]։ Դեռևս 1710 թվականին Վոլֆը արտահայտել է այն պահանջը, որ բնական թվերի թվաբանական գործողությունների կատարման արդեն հայտնի կանոնները ուղիղ ձևով չեն կարող օգտագործվել կոտորակների համար և պետք է ստանան իրենց հիմնավորումները։ Հենց ինքը հիմնավորումը մշակվել է միայն 19-րդ դարում, օգտագործելով ձևական կանոնների անփոփոխության սկզբունքը^[53]։

Սահմանում։ Բնական թվերի տիրույթ անվանում են ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ փոքրագույն տիրույթը, որը ներառում է ամբողջ թվերի ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ օղակը և օժտված է հետևյալ հատկություններով[25]՝ 
ամբողջ թվերի գումարումն ու բազմապատկումը համընկնում են ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ տիրույթի թվերի համանուն գործողությունների հետ,
${\displaystyle \mathbb {Q} }$ տիրույթը չի պարունակում գերազանում հենց իրենից ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ պարունակող ենթադաշտից։ 
${\displaystyle \mathbb {Q} }$ տիրույթի տարրերը կոչվում են ռացիոնալ թվեր։

${\displaystyle \mathbb {Q} }$ տիրույթը գույություն ունի և համարվում է միակը մինչև իզոմորֆության ճշտությամբ, իսկ նրա յուրաքանչյուր տարր հավասար է ամբողջ թվերի քանորդին։ Ինչպես ամբողջ թվերի դեպքում ռացիոնալ թվերի տիրույթի կառուցման համար ևս օգտագործվում են ${\displaystyle (a,\;b)}$ զույգերի բազմությունը, բայց այս դեպքում արդեն ամբողջ թվերով, ընդորում ${\displaystyle b\neq 0}$։ Զույգերի համար գումարման և բազմապատկման համարժեքները որոշվում են հետևյալ կերպ^[25]՝

• ${\displaystyle (a,\;b)}$ համարժեք է ${\displaystyle (c,\;d)}$ միայն և միայն այն դեպքում, երբ ${\displaystyle ad=bc,}$
• ${\displaystyle (a,\;b)+(c,\;d)=(ad+bc,\;bd),}$
• ${\displaystyle (a,\;b)\cdot (c,d)=(ac,\;bd).}$

Իրական թվեր

19-րդ դարի երկրորդ կեսին ներկայացվել է իրական թվերի երեք տարբեր տեսական կառուցվածքներ։ Ամենահայտնի համարվում է Դեդեկինդի տեսությունը։ Կանտորը իր ձևակերման մեջ օգտագործել է սահմանների տեսությունը^[54]։

Սահմանում։ Իրական թվեր տիրույթ համարվում է ${\displaystyle \mathbb {R} }$ անընդհատ տիրույթը, որը որպես ենթատիրույթ պարունակում է ռացիոնալ թվերի ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ տիրույթը։ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ տիրույթի տարրերը կոչվում են իրական թվեր[55]։

${\displaystyle \mathbb {R} }$ տիրույթը գոյություն ունի և համարվում է միակը մինչև իզոմորֆության ճշտությամբ, իսկ նրա յուրաքանչյուր տարր հավասար է ռացիոնալ թվերի հաջորդականության սահմանին^[55]։

Կոմպլեքս թվեր

Սահմանում։ Կոմպլեքս թվերի տիրույթ կոչվում է ${\displaystyle \mathbb {C} }$ փոքրագույն տիրույթը, որը պարունակում է իրական թվերի ${\displaystyle \mathbb {R} }$ տիրույթը և այնպիսի ${\displaystyle i}$ տարր, որ ${\displaystyle i^{2}=-1}$ և օժտված է հետևյալ հատկություններով^[56]՝

բնական թվերի գումարումն ու բազմապատկումը համապատասխանում են ${\displaystyle \mathbb {R} }$ տիրույթի թվերի համանուն գործողությունների հետ,
${\displaystyle \mathbb {C} }$ տիրույթը չի պարունակում իրեն գերազանցոզ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ պարունակությամբ ենթատիրույթը
${\displaystyle \mathbb {C} }$ տիրույթի տարրերը կոչվում են կոմպլեքս թվեր։

${\displaystyle \mathbb {C} }$ տիրույթը համարվում է հանրահաշվորեն փակ տիրույթ։ Կոմպլեքս թվերի տիրույթի կառուցման ժամանակ օգտագործում են ${\displaystyle (a,\;b)}$ հաջորդական զույգերի բազմությունը։ Զույգերի համար գումարման և բազմապատկման համարժեքները որոշվում են հետևյալ կերպ՝

• ${\displaystyle (a,\;b)}$ համարժեք է ${\displaystyle (c,\;d)}$ միայն և միայն այն դեպքում, երբ ${\displaystyle a=c}$ և ${\displaystyle b=d}$,
• ${\displaystyle (a,\;b)+(c,\;d)=(a+c,\;b+d),}$
• ${\displaystyle (a,\;b)\cdot (c,\;d)=(ac-bd,\;bc+ad):}$

Ֆորմալ թվաբանություն

Տրամաբանա-մաթեմատիկական կառուցվածքը կրում է ֆորմալ թվաբանություն անվանումը^[57]։ Տրամաբանության անցումը կապված է Հիլբերտի դպրոցի մոտեցմամբ, որը թվերի փոխարեն ուսումնասիրում էր աբստրակցիաները և նրանց համար ճիշտ էր համարում հիմնական թվաբանական օրենքներ^[20]։ Թվաբանության հիմնավորման համար հաստատվեց աքսեոմատիկայի մի քանի տարբերակ։ Բացի Պեանոյի աքսեոմայի համակարգից, որի մեջ սահմանված են և գումարումը և բազմապատկումը, գոյություն ունի Պրեսբուրգերի աքսեոմաների համակարգը, որի մեջ սահմանված է միայն գումարումը, ինչպես նաև գոյություն ունեն աքսեոմաներ, որոնց մեջ սահմանված են գումարումը, բազմապատկումը և աստիճան բարձրացումը։ Հաճախ աքսեոմաների փոխարեն ներառում են գործողության բոլոր հակությունները^[58][59]։ Այս բոլոր աքսեոմատիկ տեսությունները հիմնված են բնական թվերի բազմության վրա և իրենց մեջ չեն ներառում բազմությունների տեսության պարադոքսները։ Այլ հետազոտական մոտեցումները թվաբանությունը դուրս են բերում բազմությունների տեսության աքսեոմաներից կամ մաթեմատիկական տրամաբանությունից^[44]։ Հարմարավետության համար աքսեոմաների հետազոտությունները գրառում են մաթեմատիկական տրամաբանության հատուկ ֆորմալ լեզվով^[57]։ Այն պարունակում է ${\displaystyle 0}$, թվային փոփոխականներ, սիմվոլներ (${\displaystyle =,+,\cdot ,'}$) և տրամաբանական կապեր (${\displaystyle \And ,\leftarrow ,\forall ,\exists ,\lor ,{\mathcal {e}}}$)^[2]։ Ինդուցիայի աքսեոման իրենից ներկայացնում է աքսեոմաների անվերջ  հավաքածու, որը չի կարելի փոխարինել ոչ մի վերջնավոր բազմությամբ^[57]։

Կատարյալ աքսեոմաների բազային հավաքածուն պետք է օժտված լինի հետևյալ երեք հատկություններով^[11]՝

• Անհակասականություն՝ աքսեոմաները չպետք է ընդհարվեն իրար հետ,
• Անկախություն՝ աքսեոմաների մեջ չպետք է լինի ավելորդ, այլ աքսոմաներից տրամաբանորեն հետևող աքսեոմա,
• Ամբողջականություն՝ աքսեոմաների հավաքածուն պետք է բավական լինի, որպեսիզի ցանկացած ճիշտ ձևակերպած թեորեմ հնարավոր լինի ապացուցել կամ հերքել։

Բնական թվերի թվաբանությունը մեծ նշանակություն ունի մաթեմատիկական տեսությունների հիմնավորման համար՝ նրա անհակասականությունից հետևում է իրական թվերի թվաբանության անհակասականությունը, որն էլ իր հերթին թույլ է տալիս, օգտվելով մոդելների մեթոդից ցույց տալ էվկլիդյան երկրաչափության և Լոբաչևսկու երկրաչափության անհակասականությունը^[11][44]։ Թվաբանության անհակասականությունը ապացույցով՝ Պեանոյի համակարգում և նրան բարեկամ աքսեոմատիկ համակարգերում, անարդյունք զբաղվում էր Հիլբերտը 20-րդ դարի սկզբին։ 1930 թվականին Գյոդելի անավարտության թեորեմի բացահատումից հետո, պարզ դարձավ որ նմանատիպ պարզ համակարգերում սա անհնար է։ Անհակասականությունը ապացուցել է Գենթզենը 1936 թվականին օգտագործոլով տրանսֆինիտային ինդուկցիայի տարատեսակությունը^[57]։

Անկախության ուսումնասիրման համար յուրաքանչյուր աքսեոմա հերթականությամբ փոխարինվում է հակադիրով, այնուհետև կառուցվում է մոդել, որտեղ ստացված աքսեոմաների հավաքածուն իրագործվում է։ Եթե փոխարինված աքասեոման կախյալ է, այսինքն տրամաբանորեն հետևում է այլ աքսեոմաներից, ապա նրա փոխարիումը հակադիրով ակնհայտորեն բերում է աքսեոմաների հակասական համակարգին և համակարգի կառուցումը դառնում է անհնար։ Այսպիսով եթե մոդելը հնարավոր է կառուցել, ապա նրան համապատասխան աքսեոման անկախ է^[60]։ Այս եղանակով ապացուցվել է, Պեանոյի բոլոր աքսեոմաների մեկը մյուսից անկախ լինելը^[61]։

Ֆորմալ թվաբանության միջոցներով, որը կառուցվում է Պեանոյի աքսեոմաների հիման վրա, կարելի է գրել թվերի տեսության թեորեմները, որոնք ապացուցվում են առանց մաթեմատիկական անալիզի միջոցների և ռեկուրսիվ ֆունկցիաների ու նրանց հատկությունների օգտագործման^[2]։ Այն համարժեք է Զերմելո-Ֆրենկելյան բազմությունների աքսեոմատիկ տեսությանը առանց անվերջության աքսեոմայի։ Սրա հետ մեկտեղ 1929 թվականին ապացուցված Գյոդելի ամբողջության մասին թեորեմը ցույց տվեց, որ Պեանոյի աքսեոմաները թերի են, այսինքն գոյություն ունեն թվաբանական թեորեմներ, որոնք չի կարելի ոչ ապացուցել, ոչ ժխտել։ Այն դեպքում երբ թվաբանությունը հարաբերականորեն լի է ${\displaystyle \exists x_{1}\dots \exists x_{k}(P=Q)}$ նման բանաձևերով, գոյություն ունեն ${\displaystyle \forall x_{1}\dots \forall x_{9}(P\neq Q)}$ տեսքի տեորեմներ, որոնք արտահայտում են իրական եզրակացություն, բայց նրանց հնարավոր չէ դուրս բերել^[57]։

Պատմական ակնարկ

Հիմնական հոդված՝ Թվաբանության պատմություն

Հին մաթեմատիկական տեքստեր և հաշվարկման համակարգեր

Ռայդի պապիրուսի մի մասը

Եգիպտական մաթեմատիկական տեքստերը հատուկ ուշադրություն էին դարձնում գումարմանը և նրա կատարման ժամանակ առաջացող բարդություններին, որոնցից մեծ մասամբ կախված էին առաջադրանքների լուծման եղանակները։ Հին Եգիպտոսի մաթեմատիկական պապիրուսները կազմված են եղել ուսուցողական նպատակներով^[62], նրանք պարունակում էին առաջադրանքներ լուծումներով, օժանդակ աղյուսակներ, ամբողջ թվերի և կոտորակների հետ գործողությունների կատարման կանոններ, հանդիպում էին թվաբանական և երկրաչապական պրոգրեսիաներ, ինչպես նաև հավասարումներ^[11]։ Եգիպտացիները օգտվում էին հաշվարկման տասնորդական համակարգից^[63]։ Եգիպտացիները գիտեին այնպիսի թվաբանական գործողություններ, ինչպիսիք են գումարումը, կրկնապատկումը և կոտորակների լրացումը մինչև միավոր։ Ամբողջ թվերով ցանկացած բազմապատկման և առանց մնացորդ բաժանման բոլոր գործողությունները կատարվում էին կրկնապատկման գործողության բազմիցս կրկնելով, որը բերում էր մեծածավալ հաշվարկների, որի մեջ մասնակցում էին հաջորդականության որոշակի անդամներ ${\displaystyle 1,2,4,8,16,...}$^[15]։ Եգիպտոսում օգտագործում էին միայն եգիպտական կոտորակները, կամ միավորի մասնաբաժինը (${\displaystyle 1/n}$), իսկ բոլոր մյուս կոտորակները դասվում էին ալեքվոտային գումարին^[64]։ Քառակուսու մակերեսը, խորանարդի ծավալը կամ քառակուսու կողմը ըստ նրա մակերեսի հաշվելու համար եգիպտացիները հանդիպում էին աստիճան բարձրացնելու և արմատ հանելու հետ, չնայած այս գործողությունները դեռևս անվանում չունեին^[15]։

Բաբելոնյան թվեր

Բաբելոնյան սեպագիր մաթեմատիկական տեքստերը օգտագործում էին վաթսունական հաշվարկային համակարգը, որը հատուկ էր դեռևս շումերներին^[65], և իրենցից ներկայացնում էին ուսումնական ձեռնարկներ, որոնք ներառում էին բազմապատկման աղյուսակը ${\displaystyle 1}$-ից ${\displaystyle 59}$ թվերի համար, ինչպես նաև հակադարձ թվերի աղյուսակը, բնական շարքի թվերի քառակուսու և խորանարդի աղյուսակները, տոկոս հանելու աղյուսակներ, կոտորակները ${\displaystyle 60}$ հիմքով^[11][63]։ Թվաբանական առաջադրանքների լուծման ժամանակ բաբելոնացիները հենվում էին համամասնությունների և պրոգրեսիաների վրա։ Նրանք գիտեին ${\displaystyle n}$ անդամ պարունակող թվաբանական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևը, երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի կանոնները, լուծում էին տոկոսներով առաջադրանքներ^[66]։ Բաբելոնում գիտեին պիֆագորյան եռյակի բազմությունը, որոնց որոնման համար, հավանաբար օգտվում էին ընդհանուր անհայտ մեթոդից։ Ընդհանուր առմամբ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$ հավասարումների ամբողջական և ռացիոնալ լուծումը վերաբերում է թվերի տեսությանը^[67]։ Երկրաչափական առաջադրանքները բերեցին քառակուսի արմատի մոտավոր արժեքների ստացման անհրաժեշտությանը, որը նրանք կատարում էին օգտագործոլով հետևյալ՝ ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+r}}\approx a+{\frac {r}{2a}}}$ կանոնը և արդյունքի հետագա մոտավորության մեթոդները։

Մի թերթիկ Դիոֆանտի «թվաբանությունից» (14-րդ դարի ձեռագիր). Վերևի տողին գրված է ${\displaystyle x^{3}\cdot 8-x^{2}\cdot 16=x^{3}}$ հավասարումը

Հնագույն հունական մաթեմատիկական տեքստերը վերաբերում են մ.թ.ա 14-ից 7-րդ դարերին^[68]։ Ի սկզբանե հույները օգտվում էին ատտիկական համարակալումից, այն ժամանակի ընթացքում փոխարինվեց կոմպակտ տառայինով կամ իոնականով^[69]։ Հին հունական թվաբանության զարգացումը պատկանում է պյութագորյան դպրոցին։ Սկզբնական շրջանում պյութագորասականները ենթադրում էին, որ ցանկացած երկու հատվածների համեմատությունը կարելի է ներկայացնել ամբողջ թվերի հարաբերությամբ, այսինքն երկրաչափությունը իրենից ներկայացնում էր ռացիոնալ թվերի թվաբանություն։ Նրանք ուսումնասիրեցին միայն դրական ամբողջ թվերը և թիվը դիտարկում էին որպես միավորների հավաքածու։ Ուսումնասիրելով թվերի հատկություները նրանք թվերը բաժանեցին զույգ և կենտ, պարզ և բաղադրյալ թվերի, գտան պյութագորյան եռյակի անվերջ բազմությունը^[70]։ Մ.թ.ա 399 թվականին հայտնվեց բաժանելիության ընդհանուր տեսությունը, որը ամենայն հավանականությամբ պատկանում է Սոկրատեսի աշակերտ Տեատետուսին։ Էվկլիդեսը նրան ձոնեց գիրք 7-րդ և գրքի մի մասը 9-րդ «Սկզբունքներ»։ Տեսության հիմքում ընկած է երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի որոշման Էվկլիդեսի ալգորիթմը։ Ալգորիթմի հետևանք է հանդիսանում ցանկացած թվի պարզ բաղադրիչների վերլուծելու հնարավորությունը, ինչպես նաև այդ վերլուծության եզակիությունը^[71]։

Սրա հետ մեկտեղ պյութագորասականներին է պատկանում նաև միավոր կողմով քառակուսու կողմի և անկյունագծի անհամաչափելիության ապացույցը։ Այս բացահայտումը նշանակում էր, որ ամբողջ թվերի հարաբերությունը բավական չէ ցանկացած հատվածների հարաբերության արտահայտման համար և այս հիմքով հնարավոր չէ ստեղծել մետրական երկրաչափություն^[72]։ Իռացիոնալությունների մասին առաջին ուսուցումը պատկանոմ է Տեատետուսին։ Էվկլիդեսի ալգորիթմը թույլ է տալիս որոշել ռացիոնալ թվի ոչ ամբողջական մասնավոր տարալուծումը և անընդհատ կոտորակը։ Սրա հետ մեկտեղ անընդհատ կոտորակ հասկացությունը չի առաջացել Հին Հունաստանում^[71]։ 3-րդ դարում Դիոֆանտը սկսեց հանրահաշվի կառուցումը հենվելով ոչ թե երկրաչափության, այլ թվաբանության վրա։ Դիոֆանտը նաև ընդլայնեց թվային տիրույթը բացասական թվերով^[73]։

Հռոմեական համարակալման համակարգը գումարման համար քիչ էր հարմարեցված։ Հռոմեական թվային նշանները առաջացել են այբուբենից առաջ և չեն հետևում նրա տառերից։ Համարվում է, որ ի սկզբանե ${\displaystyle 1}$-ից ${\displaystyle 9}$ թվերը նշանակվել են համապատասխան քանակի ուղղահայաց գծիկներով, իսկ նրանց վրա գիծ քաշելը նշանակում էր թվերի տասնապատկումը (այստեղից է առաջացել ${\displaystyle X}$ թիվը)։ Համապատասխանաբար, որպեսիզի ստանան ${\displaystyle 100}$ թիվը գծկի վրա գիծ էին քաշում երկու անգամ։ Հետագայում տեղի ունեցավ համակարգի պարզեցում^[74]։ Ներկայումս այն հիմնականում օգտագործվում է դասական թվերի նշանակման համար։

Մինչև 14-րդ դարը Չինաստանի մաթեմատիկան իրենից ներկայացնում էր հաշվողական տախտակի վրա հաշվելու համար հաշվողական ալգորիթմների հավաքածու^[75]։ Գումարման և բազմապատկման գործողությունները, որոնք կատարվում էին հաշվողական տախտակի վրա լրացուցիչ աղյուսակների կարք չունեին, բազմապատկման համար չկար ${\displaystyle 1\times 1}$-ից ${\displaystyle 9\times 9}$ թվերի բազմապատկման աղյուսակը։ Բազմապատկման և բաժանման գործողությունները կատարում էին սկսելով բարձր կարգերից, ընորում միջանկյալ արդյունքներ տախտակից ջնջվում էին, ինչը ստուգումը դարձնում էր անհնարին։ Սկզբում բազմապատկումն ու բաժանումը համարվում էին անկախ գործողություններ, բայց հետո Սուն Ցզին նշեց դրանց փոխադարձ հակադարձությունը^[76]։ Չինաստանում խնդիրները կարողանում էին լուծել օգտվելով երկու կեղծ դիրքերի կանոնից^[77], իսկ գծային հավասարումների լուծման համար մտցվել են բացասական թվերը։ Սկզբնական շրջանում բացասական թվերը օգտագործվում էին միայն հաշվարկի ընթացքում և գումարման ավարտից հետո տախտակից ջնջվում էին, հետագայում չինացի գիտնականները սկսեցին այն ներկայացնել որպես պարտք կամ պակասորդ^[78]։

Թվաբանությունը միջնադարում

Հնդկական թվերը (1-ին դար) և նրանց համապատասխանող ժամանակակից թվերը

Դիրքային հաշվարկման համակարգը (տաս թվերը զրոն ներառյալ) առաջացել է Հնդկաստանում։ Այն թույլ էր տալիս թվաբանական գործողությունների կատարման համար մշակել համեմատաբար պարզ կանոններ^[11]։ Հնդկաստանում հիմնական թվաբանական գործողություններ էին համարվում գումարումը, հանումը, բաժանումը, բազմապատկումը, քառակուսի և խորանարդ աստիճան բարձրացնելը, քառակուսի և խորանարդ աստիճանի արմատ հանելը, որոնց համար մշակված էին կանոններ։ Գումարումը կատարվում էր ավազե, մոխիրե կամ հողե հաշվարկային տախտակի վրա և գրվում էր փայտիկով^[79]։ Հնդիկները գիտեին կոտորակները և կարողանում էին գործողություններ կատարել նրանց հետ, գիտեին համաչափությունները և պրոգրեսիաները^[80]։ Արդեն 7-րդ դարում նրանք օգտվում էին բացասական թվերից՝ մեկնաբանելով դրանք որպես պարտք, օգտվում էին նաև իռացիոնալ թվերից^[81]

«Հնդկական հաշվարկի մասին» գրքի լատիներեն թարգմանության էջ

9-րդ դարի սկզբին Մուհամեդ իբն Մուսա ալ Խորեզմին գրել է գիրք «Հնդկական հաշվարկի մասին»։ Դասագիրքը իր մեջ պարունակում էր պրակտիկ «տարբեր տիպի և տեսակի» խնդիրների լուծումներ և եղել է առաջին գիրքը, որ գրվել է օգտագործելով դիրքային հաշվարկման համակարգի օգտագործմամբ, մինչ այդ թվերից օգտվում էին միայն հաշվարկման տախտակների վրա հաշվումներ կատարելիս^[82][83]։ 12-րդ դարում Ադելարդի և Իոհան Սևելսկիի կողմից գրքի երկու թարգմանություններ են արվել լատիներեն^[84]։ Նրա բնօրինակը չի պահպանվել, բայց 1857 թվականին «Հնդկական թվերի մասին ալխորեիզմ» վերնագրով տպագրվել է նրա լատինական թարգմանությունը^[82]։ Տրակտատում նկարագրվում է հաշվողական տախտակի վրա հնդկական թվերի օգնությամբ այնպիսի գործողությունների կատարում, ինչպիսիք են գումարումը, հանումը, կրկնապատկումը, բազմապատկումը, բաժանումը և քառակուսի արմատի հանումը^[85]։ Կոտորակների բազմապատկումն ու բաժանումը դիտվում է համաչափությունների օգնությամբ՝ ${\displaystyle a}$ բազմապատկած ${\displaystyle b}$ հավասարազոր էր այնպիսի ${\displaystyle q}$ թվի որոնման, որի դեպքում ${\displaystyle q:a=b:1}$։ Հետևյալ տեսությունը համարվում է արաբական թվաբանության հիմքը։ Սակայն գոյություն ունի նաև կոտորակների հաշվարկման այլ եղանակ, որը ցանկացած կոտորակ ներկայացնում է ալեքվոտային կոտորակների գումարի տեսքով^[86]։ Խնդիրների լուծման համար արաբները օգտվում էին՝ եռակի կանոնից, որ եկել էր Հնդկաստանից և գրված էր ալ Բիրունի «Հնդկական ռաշիկի մասին գրքում», երկու կեղծ դիրքերի կանոնից, որ եկել էր Չինաստանից և տեսականորեն հաստատվել էր Քուստա իբն Լուքաի «երկակի կեղծ դիրքերի կանոնը գրքում»^[87]։

10-րդ դարում Իսպանիայով և Սիցիլիայով սկսեցին գիտական կապեր հաստատվել Եվրոպայի և արաբական աշխարհի միջև։ Այս ժամանակ Կատալոնիա այցելեցին վանական գիտնական Հերբերտը, ով ավելի ուշ դարձավ Հռոմի պապ՝ Սիլվեստր 2-րդ։ Նրան են վերագրում «Գիրք թվերի բաժանելիության մասին» և «Աբակի վրա հաշվարկներ կատարելու կանոններ» շարադրությունները։ Երկու գրքերում էլ թվերը գրված են տառերով կամ հռոմեական թվերով^[88]։ 12-ից 13-րդ դարերում Եվրոպայում հայտվեցին արաբական թվաբանության մասին գրքերի լատինական թարգմանությունները։ Գրքերում ներկայացված իրական դիրքային համարակալման համախոհները սկսեցին կոչվել «ալգորիթմականներ», արաբ մաթեմատիկոս ալ Խորեզմի անվան լատինական ձևով^[89]։ 13-րդ դարի սկզբին Արևմտյան Եվրոպայում գոյություն ուներ հաշվարկման երկու համակարգ՝ հին՝ հիմնված աբակի վրա, Հերբերտի կողմից աջակցվող և նոր՝ դիրքային հնդկական համակարգ, աջակցվող Լեոնարդո Ֆիբոնաչիի կոզմից։ Նոր համակարգը աստիճանաբար գերազանցեց^[84][90]։ Նրա հիմնական առավելություը համարվում է թվաբանական գործողությունների պարզեցումը։ Սրա հետ մեկտեղ Գերմանիայում, Ֆրանսիայում և Անգլիայում նոր թվերը չէին օգտագործվում մինչև 15-րդ դարի վերջը։ Հին համարակալման ավելի ամբողջական դուրս բերումը տեղի է ունեցել 16-ից 17-րդ դարերում^[90]։

1427 թվականին ալ Կաշին նկարագրեց տասնորդական կոտորակների համակարգը, որը համընդհանուր տարածում գտավ Ստեվինի 1585 թվականի գրառումից հետո^[11]։ Ստեվինը ուզում էր որքան հնարավոր է լայն տարածում տալ տասնորդական համակարգին, հենց սրա համար էլ նա իր գրառումները կատարում էր ֆրանսերեն և ֆլամանդերեն, այլ ոչ թե լատիներեն։ Բացի դրանից նա դարձավ տասնորդական չափման համակարգի ներմուծման եռանդուն ջատագովը^[37]։

Նոր ժամանակների թվաբանություն

Թվաբանական աղյուսակներ։ 1835 թվական

17-րդ դարում ծովագնացային աստղագիտությունը, մեխանիկան, ավելի բարդ առևտրային հաշվարկները թվաբանության գումարման տեխնիկային նոր պահանջներ ներկայացրեցին և խթան հանդիսացան հետագա զարգացման համար։ Թիվ հասկացությունը ենթարկվեց զգալի փոփոխությունների։ Եթե առաջ մեծ հաշվով թվերի շարքին էին վերաբերում միայն դրական ռացիոնալ թվերը, ապա սկսած 16-րդ դարից իռացիոնալ և բացասական թվերը ևս ընդունելի դարձան։ Նյուտոնը իր դասախոսություններում թվերը բաժանում էր երեք խմբի՝ ամբողջ (չափվում են միավորներով), կոտորակային (միավորի բազմապատիկ մասը) և իռացիոնալ (միավորի հետ անհամաչափելի)։ 1710 թվականից սկսած թվերի նման բաժանումը հայտնվում է բոլոր դասագրքերում^[91]։

17-րդ դարի սկզբում Նեպերը հնարեց լոգարիթմները։ Թվաբանության մեջ լոգարիթմների և տասնորդական կոտորակների օգտագործումը, իռացիոնալ թվերի, որպես ռացիոնալ մոտավորականությունների շարունակություն մուտք գործելը, 17-րդ դարի վերջում լայնացրին թվաբանության օգտագործման ոլորտը և հաստատեցին գիտության հիմնարար նշանակությունը անընդհատ մեծությունների ուսումնասիրման համար^[11]։

Լոբաչևսկու երկրաչափական աշխատանքների հետ է կապված մաթեմատիկայի հիմունքների կրիտիկական վերանայումը, որը տեղի է ունեցել 19-րդ դարում։ Դեռևս 18-րդ դարում սկսվել էր թվի մասին պատկերացումներին տեսական հիմնավորումներ տալը։ Թվաբանության դեդուկտիվ կառուցվածքի մասին առաջինը անգամ խնդիր դրեց Լայբնիցը 1705 թվականին իր «մարդկային բանականության մասին նոր փորձեր» աշխատությունում, մասնավորապես ցույց տալով «երկուսին գումարած երկուս հավասար է չորս» հավասարության ապացուցման անհրաժեշտությունը։ Փորձելով լուծել այս խնդիրը իրենց աքսեոմաները ներկայացրեցին Վոլֆը՝ 1770 թվականին, Շուլցը՝ 1790 թվականին, Օհմը՝ 1822 թվականին, Գրասսմանը՝ 1861 թվականին և վերջապես Պեանոն 1889 թվականին^[92]։

1758 թվականին Կաստները ելույթ ունեցավ «թվաբանության, երկրաչափության, հարթ և սֆերային եռանկյունաչափության և հեռանկարի առաջին հիմունքների» բոլոր այս թվաբանական հասկացությունների ամբողջ թվով հիմնավորման օգտին։ Այսպիսով նա որոշեց, հետևյալ հաջորդականությունը՝ բնական թվեր, կոտորակներ, բացասական թվեր, տասնորդական կոտորակներ, իռացիոնալ թվեր և միայն հետո հարաբերությունների տեսություն^[93]։ Բացասական թվերի տեսության ձևավորման մեջ հիմնական խնդիրն այն էր, որ բացասական թիվը զրոյից պակաս է, ինչը ավելի փոքր է քան ոչինչը^[94]։

Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական ամբողջական նկարագիրը տվել է Կասպար Վեսսելը 1799 թվականին «Վերլուծական պատկերացման ուղղվածության և նրա օգտագործման, ինչպես նաև հարթ և սֆերային բազմանկյունների լուծման առավելությունները» աշխատությունում։ Վեսսելը փորձեց ընդարձակել տեսությունը եռաչափ տարածության մեջ, բայց դա նրան չհաջողվեց։ Հարցը մնաց բաց, այնքան ժամանակ մինչև Համիլտոնի քվատերնիոններ տեսության կառուցումը, որոնց բազմապատկման ժամանակ չի կիրառվում կոմուտացիոն օրենքը։ Ընդորում Վեյրշտրասի, Ֆրաբենիուսի և Պեիրսի հետազոտությունները ցույց տվեցին, որ կոմպլեքս թվերի սահմաննեում, թիվ հասկացության ցանկացած ընդլայնման դեպքում թվաբանության օրենքներից որևէ մեկից պետք կլինի հրաժարվել^[95]։

Թվաբանությունը կրթության մեջ

Թվաբանական հասկացությունների ձևավորումը սերտորեն կապված է հաշվելու գործընթացի հետ։ Նրա հիմքում ընկած են մտային գործողության այնպիսի տարրեր, ինչպիսիք են առարկաներ ճանաչելու ունակությունը, առարկաների տարբերումը, առարկաների ամբողջականությունը առանձին տարրերի բաժանելու կարողությունը, հաշվարկի իրավահավասարությունը (այլ կերպ ասած հաշվարկի միավորից օգտվելը), տարրերի հաջորդաբար կարգավորելու ունակությունը, դրանց կանոնավորումը, ինչը բերում է տարբեր որակի առարկաների հաշվարկին և թիվ հասկացության ձևավորմանը։ Նման գործընթացներ կարելի է դիտարկել երեխաների մոտ հասկացությունների յուրացման ժամանակ^[11]։

Բոետիոսը թվաբանության մասին ասել է^[96]

Այսպիսով, ո՞ր գործողությունն է անհրաժեշտ ուսումնասիրել առաջինը, եթե ոչ այն, որը որ համարվում է սկիզբ և կատարում է այսպես ասած հիմքի դեր, մյուս գործողությունների հետ համեմատած։ Հենց այսպիսին է թվաբանությունը։ Այն նախորդում է մյուս բոլորին ոչ միայն նրա համար, որ հենց իրքը՝ Աստված, այս տիզերքի արարողը, առաջինը վերցրեց այն որպես իր մտաենթադրությունների օրինակ, և նրա սկզբունքով ստեղծեց ամեն բան, որ հենց թվերի արարող բանականության ուժով սահմանված կարգերում ձեռք բերվեց ներդաշնակություն, այլ նաև նրա համար, որ թվաբանությունը հայտարարվում է նախորդող, որ եթե հեռացնենք իր բնույթի էությամբ նախորդը, հենց այդ պահին կոչնչանան նաև հաջորդները։ Եթե ոչնչանում են հաջորդողները, ապա նախորդի էության կարգավիճակում ոչինչ չի փոխվում։

Տարրական կրթության չափորոշիչները ենթադրում են՝ թվերի՝ մինչև միլլիոն, հաշվարկման և համեմատման հմտություններ, չափման հիմնական միավորների և նրանց հարաբերակցության հետ աշխատելու կարողություններ, չորս հիմնական թվաբանական գործողությունների կատարում (բանավոր մինչև 100, և գրավոր մինչև 10000), ինչպես նաև մնացորդով բաժանում և մի քանի թվաբանական գործողություններից կազմված թվային արատհայտության արժեքի որոնում^[97][98]։ Դպրոցական նյութը տրվում է ակնառու առարկաների միջոցով։ Առաջին դասարանում երեխաները գործ ունեն թվային պատկերների և առարկաների քանակի հետ, հաշիվը հասնում է մինչև 20։ Երկրորդ դասարանում ավելանում է տասնորդական համակարգը, կարգային համակարգը, բազմապատկման աղյուսակը, հաշվարկները հասնում են մինչև 100։ Երրորդ դասարանում հանրահաշվական գործողություններ են կատարում բազմանիշ թվերի հետ։ Հաջորդ քայլը անցումն է տառային նշանակումների, այլ կերպ ասած՝ կոնկրետից վերացականի անցումն է։ Հենց սրանից էլ ըստ Կլեյնի սկսվում է մաթեմատիկան^[99]։ Տարրական դասարաններում թվաբանության ուսումնասիրման դժվարությունը այն է, որ անհրաժեշտ է իրականացնել հաշվարկ վերացական բնույթի առարկաների համար^[100]։

Կրթությունը միջնակարգ դպրոցում կապված է թիվ հասկացության ընդլայնման հետ, այստեղ ուսումնասիրվում է կոտորակները և գործողությունները նրանց հետ, բացասական և իռացիոնալ թվերը^[101]։ Իրական և կոմպլեքս թվերը, ինչպես նաև էվկլիդեսի ալգորիթմը և թվաբանության հիմնական տեսությունը վերաբերում է ամբողջական միջնակարգ կրթությանը։

Ժամանակակից աշխարհում մաթեմատիկական գրագիտությունը կրթության հիմնական նպատակներից մեկն է։ Այն իր մեջ մասնավորապես ներառում է թվաբանական գործողություններ, հաշվարկներ և չափումներ կատարելու ունակություններ^[102]։ Երեխաների և մեծահասակների մաթեմատիկական գրագիտության խնդիրներով զբաղվում են այնպիսի կազմակերպություններ, ինչպիսիք են ՅՈՒՆԻՍԵՖ-ը և ՅՈՒՆԵՍԿՕ-ն^[103][104]։

Չնայած սրան, երկար ժամանակ թվաբանական գործողությունների դասավանդումը սահմանափակվում էր օրինակների մեխանիկական կատարմամբ։ Հին Չինաստանում մեծ ուշադրություն էին դարձվում մաթեմատիկայի ուսուցմանը, ներառյալ քննություններ հանձնումը։ Կայսերական ակադեմիայում մաթեմատիկան ուսումնասիրում էին յոթ տարի։ Սակայն դասական մաթեմատիկական տրակտատները դիտարկում էին որպես դոգմաներ և վերատպագրվում էին առանց փոփոխությունների^[105]։

Եվրոպայում, դեռևս 16-րդ դարում Տարտալյան առաջարկել էր գումարման, հանման, բաժանման և բազմապատկման համակարգված վարժություններ, սակայն դրանք դեռևս երկար ժամանակ չէին մտնում գործածության մեջ^[106]։ Բացի դրանից, միջնադարում մասնավոր թվաբանական խնդիրների լուծման համար կային մեծ թվերի որոշման կանոններ։ Որոշ դասագրքերում հանդիպում էին միչև 26 նման կանոններ, ընդորում դրանք կարող էին դասագրքից դասագիրք չհամընկնել^[107]։ Որոշ կանոններ չեն կորցրել իրեն արդիականությունը մինչև հիմա։ Դրանց են վերաբերում համաչափությունները (կոտորակները դիտարկվում էին որպես երկու թվերի հարաբերություն, ինչը գործողությունների կատարման ժամանակ հանգեցնում էր համամասնությունների քննարկմանը) և տոկոսները^[108]։

Թվաբանությունը՝ ըստ ուսումնասիրության մակարդակի, յոթ ազատ արվեստների մեջ զբաղեցնում է չորրորդ տեղը։ Նրան նախորդում է տրիվիումը, որը բաղկացած է քերականությունից, ճարտասանությունից և դիալեկտիկայից, իսկ հենց ինքը համարվում է քվադրիվիումի ավագ գիտությունը, որին վերաբերում են նաև երկրաչափությունը, երաժշտությունը և աստղագիտությունը^[109]։ Եվրոպական առաջին համալսարանների հայտնվելու հետ մաթեմատիկան սկսեց դասավանդվել արվեստի ֆակուլտետներում որպես քվադրիվիում, այն համարվում էր օժանդակ դիսցիպլին։ Թվաբանության առաջին դասախոսությունները կարդացել է Վիեննայի համալսարանի մագիստրոս Յոհաննես վոն Գմունդենը, 1412 թվականին^[110]։

Թվաբանությունը փիլիսոփայության և արվեստի մեջ

Մարտին դե Վոս։ Յոթ քույրեր։ 1590 թվական

Այն բանից հետո, երբ պյութագորասականները ամբողջ թվերի հարաբերությունը օգտագործեցին երկրաչափական հատվածների հարաբերության արտահայտման համար, ինչպես նաև երաժշտության և ներդաշնակության համանման հարաբերություններում, նրանք եկան այն եզրակացության, որ աշխարհի բոլոր համաչափությունները կարելի է ներկայացնել թվերի միջոցով, իսկ թվաբանությունը գիտություն է՝ փոխհարաբերությունների արտահայտման և աշխարհի բնօրինակը (մոդել) ստեղծելու համար^[111]։ Սրա հետ մեկտեղ պյութագորասականների բացահայտումներից է համարվում այն, որ ամբողջ թվերի հարաբերությունը բավական չէ ցանկացած հատվածների հարաբերության արտահայտման համար (քառակուսու անկյունագիծը և կողմը անհամաչափելի են) և այս հիմնավորումով անհնարին է ստեղծել մետրական երկրաչափություն^[72]։ Վերջավոր չափի կառուցման խնդիրը և իրական թվի որոշումը մ.թ.ա 5-րդ դարում առաջացրեց գիտական ճգնաժամ, որից դուրս գալու համար զբաղվում էին Հին Հռոմի բոլոր փիլիսոփայական դպրոցները։ Ցույց տալ բոլոր դժվարությունները, որ առաջանում էին այս խնդիրների լուծման ժամանակ, հաջողվեց Զենոն Էլեացիին իր պարադոքսներում^[112]։

Մարտիանուս Կապելլան իր «Փիլիսոփայության և Մերկուրիի հարսանիքը» տրակտատում ստեղծել է բոլոր յոթ արվեստների, այդ թվում նաև թվաբանության, ակնադիտական կերպարներ։ Արվեստները մարմնավորում էին կանայք՝ համապատասխան ատրիբուտներով, նրանց ուղեկցվում էին ոլորտի հայտնի ներկայացուցիչները։ Թվաբանությունը իր ձեռքում պահում էր աբակ կամ հուշատախտակ, մինչև վերջ գրված թվերով։ Նրան ուղեկցում է Պյութագորասը^[113]։

Հաշիվը Բուդդայի փորձություններից մեկն էր։ Նետաձգության, վազքի և լողի մրցույթներից հետո մաթեմատիկոս Արիյունան կարգադրեց նրան ասել ${\displaystyle 10^{9}}$ մեծ բոլոր թվային աստիճանները։ Բուդդան ասեց քսաներկու աստիճանից մինչև ${\displaystyle 10^{53}}$ (անվանում ունեն միայն կենտ աստիճանները), և սա միայն առաջին հաշիվն էր, երկրորդ հաշվում Բուդդան շարունակեց մինչև ${\displaystyle 10^{421}}$ աստիճանը։ Հաջորդ առաջադրանքում Բուդդան նախ հաշվեց ատոմները մղոնում, իսկ հետո նաև տիզերքում^[114]։ Նմանատիպ «թվային աստիճաններ» հնդկական կրոնական պոեզիայում հանդիպում են բազմիցս, ընդ որում թվերի անվանումները կարող են տարբերվել։ Նման աստիճանների նշանակությունն է՝ անցնել մահկանացուների աշխարհից վերև։ Հնդկական «Լիլավատիստրա» գրքում նկարագրվում է երկրի իշխանուհի՝ հիասքանչ Գոպիի փեսացուների մրցույթը գրի, թվաբանության, ըմբշամարտի և նետաձգության արվեստի մեջ։ Գրքի զգալի մասը նվիրված է թվաբանության փորձությունների նկարագրմանը^[115]։

Ինչպես որ Հնդկաստանում, մայաների քրմերի կողմից արհեստականորեն հորինված շատ մեծ թվերը ևս խոսում են «թվային աստիճանով» ավելի վեր՝ աստվածներին մոտ, բարձրանալու ձգտման մասին^[116]։

Գրականություն

• Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство, 1938. — 481 с.
• Депман И. Я. История арифметики. — М.: Просвещение, 1965. — 400 с.
• Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. — М.: Наука, 1987. — Т. I: Арифметика. Алгебра. Анализ. — 432 с.
• Кнут Д. Э. Арифметика // Искусство программирования. — М.. — Т. II. — 830 с.
• Меннингер К. История цифр. Числа, символы, слова. — М.: ЗАО Центрполиграф, 2011. — 543 с. — ISBN 9785952449787
• Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с.
• Понтрягин Л. С. Обобщения чисел. — М.: Наука, 1986. — 120 с. — (Библиотечка «Квант»).
• Серр Ж.-П. Курс арифметики / пер. с франц. А. И. Скопина под ред. А. В. Малышева. — М.: Мир, 1972. — 184 с.
• История математики: в 3 т. / под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. I: С древнейших времён до начала Нового времени.
• История математики: в 3 т. / под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. II: Математика XVII столетия.
• История математики: в 3 т. / под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1972. — Т. III: Математика XVIII столетия.
• Энциклопедия элементарной математики. Книга первая. Арифметика / под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. — М.—Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. — 448 с.
• Avigad, Jeremy. Number theory and elementary arithmetic // Philosophia Mathematica. — 2003. — Vol. 11. — № 3. — P. 257—284.(անգլ.)
• Boyer C. B., Merzbach U. C. A History of Mathematics. — John Wiley & Sons, 2010. — 640 p.(անգլ.)

Ծանոթագրություններ

1. Виноградов И. М. Арифметика // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1.
2. Виноградов И. М. Арифметика формальная // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1.
3. «Арифметика, наука». Բրոքհաուզի և Եֆրոնի հանրագիտական բառարան: 86 հատոր (82 հատոր և 4 լրացուցիչ հատորներ). Սանկտ Պետերբուրգ. 1890–1907.{{cite book}}: CS1 սպաս․ location missing publisher (link)
4. MacDuffee C. C. «Arithmetic». Encyclopædia Britannica. Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 27-ին. Վերցված է 2012 թ․ մարտի 20-ին.(անգլ.)
5. «АРИФМЕ́ТИКА». Большая российская энциклопедия (ռուսերեն). Արխիվացված է օրիգինալից 2017 թ․ հունիսի 27-ին. Վերցված է 2017 թ․ հունիսի 15-ին.
6. Арнольд, 1938, էջ 3—5
7. Понтрягин, 1986, էջ 4—6
8. Беллюстин В. Глава 12. Число и порядок действий, знаки и определения // Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. — М.: Типография К. Л. Меньшова, 1909.
9. Депман, 1965, էջ 195—199
10. Арнольд, 1938, էջ 151—156
11. «Арифметика». Большая советская энциклопедия. Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ նոյեմբերի 3-ին. Վերցված է 2013 թ․ հունվարի 20-ին.
12. «Алгебра». Большая советская энциклопедия. Արխիվացված օրիգինալից 2013 թ․ փետրվարի 1-ին. Վերցված է 2013 թ․ հունվարի 20-ին.
13. Депман, 1965, էջ 21—25
14. Депман, 1965, էջ 129—130
15. История математики, т. I, 1970, էջ 23—24
16. Депман, 1965, էջ 212—232
17. Депман, 1965, էջ 204
18. Арифметика, 1951, էջ 142
19. Клейн, 1987, էջ 23—26
20. Клейн, 1987, էջ 26—35
21. Арифметика, 1951, էջ 77—79
22. Клейн, 1987, էջ 37—44
23. Арифметика, 1951, էջ 157
24. Клейн, 1987
25. Арифметика, 1951, էջ 172—178
26. Арифметика, 1951, էջ 188—201
27. Арифметика, 1951, էջ 227
28. Клейн, 1987, էջ 35—36
29. Клейн, 1987, էջ 23—25
30. «Арифметика». Энциклопедия Кольера. Արխիվացված օրիգինալից 2013 թ․ փետրվարի 1-ին. Վերցված է 2013 թ․ հունվարի 20-ին.
31. Кнут, էջ 216
32. История математики, т. II, 1970, էջ 66—67
33. История математики, т. III, 1972, էջ 42—45
34. Клейн, 1987, էջ 45—49
35. Депман, 1965, էջ 263—267
36. Boyer & Merzbach, 2010, Arithmetic and logistic
37. Арифметика, 1951, էջ 57—71
38. Кнут, էջ 216, 221
39. Депман, 1965, էջ 275—285
40. Клейн, 1987, էջ 49—57
41. Виноградов И. М. Чисел теория // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 5.
42. Виноградов И. М. Элементарная теория чисел // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 5.
43. Арнольд, 1938, էջ 413—415
44. «Аксиоматический метод». Большая советская энциклопедия. Արխիվացված օրիգինալից 2013 թ․ փետրվարի 10-ին. Վերցված է 2013 թ․ հունվարի 20-ին.
45. Арифметика, 1951, էջ 100—107
46. Депман, 1965, էջ 117—126
47. Арифметика, 1951, էջ 135—138
48. Арифметика, 1951, էջ 139—142
49. Арифметика, 1951, էջ 133
50. Арифметика, 1951, էջ 150—151
51. Арифметика, 1951, էջ 172—179
52. Арифметика, 1951, էջ 160—167
53. Депман, 1965, էջ 258—262
54. Арифметика, 1951, էջ 188
55. Арифметика, 1951, էջ 202
56. Арифметика, 1951, էջ 228
57. «Формальная арифметика». Большая советская энциклопедия. Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ նոյեմբերի 3-ին. Վերցված է 2013 թ․ հունվարի 20-ին.
58. Avigad, 2003, էջ 260
59. Нечаев, 1975, էջ 52—53
60. Нечаев, 1975, էջ 48
61. Нечаев, 1975, էջ 68—72
62. История математики, т. I, 1970, էջ 19—20
63. Депман, 1965, էջ 49—52
64. История математики, т. I, 1970, էջ 25
65. История математики, т. I, 1970, էջ 34
66. История математики, т. I, 1970, էջ 40
67. История математики, т. I, 1970, էջ 50
68. Депман, 1965, էջ 53—54
69. История математики, т. I, 1970, էջ 62
70. История математики, т. I, 1970, էջ 68—69
71. История математики, т. I, 1970, էջ 74—76
72. История математики, т. I, 1970, էջ 73
73. История математики, т. I, 1970, էջ 144—146
74. Депман, 1965, էջ 57—58
75. История математики, т. I, 1970, էջ 178
76. История математики, т. I, 1970, էջ 160—161
77. История математики, т. I, 1970, էջ 163—164
78. История математики, т. I, 1970, էջ 167—169
79. История математики, т. I, 1970, էջ 183—185
80. История математики, т. I, 1970, էջ 185
81. История математики, т. I, 1970, էջ 190—191
82. Депман, 1965, էջ 72—78
83. История математики, т. I, 1970, էջ 209—210
84. Депман, 1965, էջ 90—94
85. История математики, т. I, 1970, էջ 211—212
86. История математики, т. I, 1970, էջ 212—214
87. История математики, т. I, 1970, էջ 218—219
88. История математики, т. I, 1970, էջ 254—256
89. История математики, т. I, 1970, էջ 256—257
90. Арифметика, 1951, էջ 50—57
91. История математики, т. II, 1970, էջ 34—36
92. История математики, т. III, 1972, էջ 47—49
93. История математики, т. III, 1972, էջ 49—52
94. История математики, т. III, 1972, էջ 52—56
95. История математики, т. III, 1972, էջ 61—66
96. Боэций I, 1 // Основы арифметики.
97. «Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения. Начальная школа». Федеральный государственный образовательный стандарт. Արխիվացված է օրիգինալից 2012 թ․ դեկտեմբերի 7-ին. Վերցված է 2012 թ․ դեկտեմբերի 5-ին.
98. Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения. Начальная школа / сост. Е. С. Савинов. — 4-е. — М.: Просвещение, 2013. — С. 32—35. — 223 с. — ISBN 9785090264167
99. Клейн, 1987, էջ 20—23
100. Депман, 1965, էջ 1—3, 103—109
101. Клейн, 1987, էջ 37
102. «Грамотность, математические способности и навыки решения задач в технологически развитом обществе». Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики. Արխիվացված է օրիգինալից 2012 թ․ դեկտեմբերի 7-ին. Վերցված է 2012 թ․ դեկտեմբերի 5-ին.
103. «Defining Quality in Education» (PDF) (անգլերեն). ЮНИСЕФ. Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2012 թ․ հոկտեմբերի 15-ին. Վերցված է 2012 թ․ դեկտեմբերի 5-ին.
104. «Education for All Goals» (անգլերեն). ЮНЕСКО. Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ դեկտեմբերի 7-ին. Վերցված է 2012 թ․ դեկտեմբերի 5-ին.
105. История математики, т. I, 1970, էջ 157
106. Депман, 1965, էջ 199—203
107. Депман, 1965, էջ 305
108. Депман, 1965, էջ 306
109. «Liberal Arts». Encyclopædia Britannica. Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 27-ին. Վերցված է 2012 թ․ մարտի 20-ին.(անգլ.)
110. История математики, т. I, 1970, էջ 259—260
111. История математики, т. I, 1970, էջ 67
112. История математики, т. I, 1970, էջ 88—89
113. «Семь свободных искусств». Simbolarium. Արխիվացված է օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 27-ին. Վերցված է 2012 թ․ մարտի 20-ին.
114. Меннингер, 2011, էջ 176—179
115. Арифметика, 1951, էջ 49
116. Меннингер, 2011, էջ 82

Արտաքին հղումներ

• MathWorld article about arithmetic
• The New Student's Reference Work/Arithmetic (historical)
• The Great Calculation According to the Indians, of Maximus Planudes – an early Western work on arithmetic at Convergence

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Թվաբանություն» հոդվածին։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 219)։