Օղակ (մաթեմատիկա)

Դիցուք՝ ${\displaystyle G}$ բազմության վրա տրված են երկու գործողություն, որոնցից առաջինն անվանենք "գումարում", երկրորդը՝ "բազմապատկում"։

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Օղակ (այլ կիրառումներ)

Համապատասխանաբար օգտվենք " + " և " ${\displaystyle \cdot }$ " նշաններից։

Սահմանում

Ռիխարդ Դեդեքինդը` օղակների տեսության հիմնադիրներից մեկը։

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle +,}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle )}$ համակարգը կոչվում է օղակ, եթե՝

1. ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle )}$ համակարգը տեղափոխելի խումբ է,

2. ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle c}$ = ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle )}$ (բազմապատկումն օժտված է զուգորդականությամբ),

3․ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle c}$ = ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle c}$ + ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle c}$ և ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle )}$ = ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle b}$ + ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle c}$ (բազմապատկումն օժտված է բաշխականությամբ գումարման նկատմամբ)

Եթե տեղի ունի նաեւ լրացուցիչ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle b}$ = ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a}$ պայմանը, ապա օղակը կոչվում է տեղափոխելի (աբելյան)։

Եթե ${\displaystyle \exists \ 1\in G:\forall \ a\in G\quad a\cdot 1=1\cdot a=a}$, ապա օղակը կոչվում է միավորով, ${\displaystyle 1}$-ն էլ՝ նրա միավորը։

Օղակներ են, օրինակ, ամբողջ թվերի ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ բազմությունը, մնացքների ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ բազմությունը։

Տեղափոխելի օղակը կոչվում է դաշտ, եթե ցանկացած ոչ զրոյական տարր ունի հակադարձ ըստ բազմապատկման, այսինքն՝
${\displaystyle \forall a\neq 0~\exists b:ab=ba=1}$

Դաշտեր են, օրինակ, ${\displaystyle \mathbb {Q} ,~\mathbb {R} ,~\mathbb {C} ,~\mathbb {Q} [{\sqrt {3}}],~\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ բազմությունները պարզ ${\displaystyle p}$-երի դեպքում։

Հատկություններ

Առանց ապացույցի բերենք որոշ հայտնի դրույթներ՝ օղակների և դաշտերի վերաբերյալ^[1]՝
ա) Եթե օղակի մի քանի տարրերի արտադրյալի մեջ գոնե մի արտադրիչը 0 է, ապա այդ արտադրյալը հավասար է զրոյի։ Այնինչ հակառակ պնդումն, ընդհանրապես ասած, ճիշտ չէ, այսինքն՝ հնարավոր է, որ${\displaystyle a\neq 0}$ և ${\displaystyle b\neq 0}$, բայց ${\displaystyle ab=0}$։ Այս պարագայում ${\displaystyle a,b}$ կոչվում են զրոյի բաժանարարներ։