Թվերի տեսություն

Թվերի տեսություն, կամ ավելի վաղ օգտագործմամբ թվաբանություն, մաքուր մաթեմատիկայի ճյուղ է, որ հիմնականում նվիրված է ամբողջ թվերի ուսումնասիրությանը։ Մաթեմատիկայում ունեցած հիմնարար դերի համար, այն երբեմն անվանում են "Մաթեմատիկայի թագուհի"։ Թվերի տեսաբանները ուսումնասիրում են ինչպես պարզ թվերը, այնպես էլ ամբողջ թվերից կառուցված (այսինքն, ռացիոնալ թվերը) կամ որպես ամբողջ թվերի ընդհանրացումներից սահմանված օբյեկտների (այսինքն, հանրահաշվական թվեր) հատկությունները։

Լեհմերի մաղ, որը պարզունակ թվայի հաշվիչ է, որն օգտագործվել է պարզ թվերի հայտնաբերման և պարզ Դիոֆանտյան հավասարումների լուծման համար։

Ամբողջ թվերը կարող են դիտարկվել ինքնուրույն կամ հավասարումների լուծումներ (Դիոֆանտյան երկրաչափություն)։ Թվերի տեսության հարցերը հաճախ ավելի լավ են հասկացվում կոմպլեքս անալիզի օբյեկտներն (այսինքն, Ռիմանի զետա ֆունկցիա) ուսումնասիրելու միջոցով, որոնք ինչ որ ձևով (վերլուծական թվերի տեսություն) ծածկագրում են ամբողջ թվերի, պարզ թվերի կամ այլ թվային տեսական օբյեկտների հատկությունները։ Կարելի է նաև ուսումնասիրել իրական թվերը կապված ռացիոնալ թվերի հետ, օրինակ, ինչպես մոտարկվել էր վերջին դեպքում (Դիոֆանտյան մոտարկում)։

Թվերի տեսության վաղ տերմինը թվաբանություն էր։ Քսաներորդ դարի սկզբներին այն փոխարինվեց "թվերի տեսությամբ"^{[Ն 1]}։ "Թվաբանություն" բառը լայն հասարակության կողմից օգտագործվում է "տարրական հաշվարկների" իմաստով, ինչպես նաև ձեռք է բերել այլ իմաստներ մաթեմատիկական տրամաբանության, որպես Պեանոյի թվաբանություն, և կոմպյուտերային գիտության, ինչպես լողացող ստորակետով թվաբանության մեջ։ Թվերի տեսության համար թվաբանություն տերմինի օգտագործումը որոշակի հիմք ձեռք բերեց 20-րդ դարի երկրորդ կեսում, հնարավոր է մասնակիորեն ֆրաննսիական ազդեցության տակ^{[Ն 2]}։

Պատմություն

Ծագում

Թվաբանության արշալույս

Թվաբանական բնույթի առաջին գտածոն սեղանի բեկոր է, կոտրված կավե կտոր պլիմպտոն 322 (Լարսա, Միջագետք, մոտ․ մ․թ․ա․ 1800 թվական) պարունակում է "Պյութագորյան եռյակների" ցուցակ, այսինքն, ${\displaystyle (a,b,c)}$ այնպիսի ամբողջ թվեր, որ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$։ Եռյակները չափազանց շատ են և չափազանց մեծ, որպեսզի ստացվեն կոպիտ ուժի մեթոդով։ Առաջին սյունի վերնագիրն ասում է․ "The takiltum of the diagonal which has been subtracted such that the width..."^[1]։

Պլիմպտոն 322 աղյուսակը

Աղյուսակի դասավորությունը ենթադրում է^[2], որ այդ քանակության միջոցով այն կառուցվել է արտահայտելու, ժամանակակից լեզվով, հետևյալ հավասարությունը.

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2}+1=\left({\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2}}$,

որը սովորական էր հին բաբելոնյան վարժություններում^[3]։ Եթե այլ մեթոդ է օգտագործվել^[4], սկզբում եռյակներն են ձևավորել և այնուհետ վերադասավորել ըստ ${\displaystyle c/a}$, ենթադրաբար որպես «աղյուսակ» իրական օգտագործման համար, այսինքն, կիրառությունների տեսանկյունից։

Հայտնի չէ, թե ինչ կիրառություններ էին դրանք, կամ արդյոք եղել են, Բաբելոնյան աստղագիտությունը, օրինակ իրականում ոտքի կանգնեց ավելի ուշ։ Դրա փոխարեն ենթադրվում էր, որ աղյուսակը դպրոցական խնդիրների թվային օրինակներ էին^{[5][Ն 3]}։

Բաբելոնյան թվերի տեսությունը կամ ինչ փրկվել է Բաբելոնյան մաթեմատիկայից, բաղկացած է այս միակ ապշեցուցիչ Բաբելոնլան հանրահաշիվ (երկրորդական դպրոցի "հանրահաշիվ") հատվածից^[6]։ Ավելի ուշ Նեոպլատոնիկ աղբյուրները^[7] հավաստում են, որ state that Պյութագորասը մաթեմատիկա է սովորել Բաբելոնացիներից։ Շատ ավելի վաղ աղբյուրները^[8] հավաստում են, որ Թալեսը և Պյութագորասը ճամփորդել և սովորել են Եգիպտոսում։

Էվկլիդեսը IX 21—34 ամենայն հավանականությամբ պյութագորիական էր^[9], դա շատ պարզ նյութ էր ("կենտ անգամ զույգ զույգ է", "Եթե զույգ թիվը բաժանվում է կենտ թվի, ապա դրա կեսը նույնպես բաժանվում է այդ կենտ թվին"), սա այն ամենն է, որ անհրաժեշտ է ապացուցելու, որ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ իռացիոնալ թիվ է^[10]։ Պյութագորյան միստիկները մեծ կարևորություն էին տալիս կենտ և զույգ թվերին^[11] ։ Բացահայտումը, որ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ իռացիոնալ է, վերագվում է վաղ պյութագորականներին (մինչ Թեոդորուսը)^[12]։ Հայտնաբերումը, որ թվերը կարող է նաև իռացիոնալ լինել, մաթեմատիկայի պատմության մեջ կարծես թե առաջացրել է առաջին հիմնարար ճգնաժամը, դրա ապացույցը երբեմն վերագրում են Հիպասուսին, ով հեռացվել կամ պառակտվել է Պյութագորյան աղանդից^[13]։ Դա ստիպեց տարանջատել մի կողմից թվերը (ամբողջ թվերը և ռացիոնալ թվերը՝ թվաբանության օբյեկտները), և մյուս կողմից երկարություններն ու համամասնությունները (որը մենք կստանանք իրական թվերով, ռացիոնալ կամ ոչ)։

Պյութագորյան ավանդույթը խոսում էր նաև այսպես կոչված բազմանկյան կամ ձևական թվերից։ Քառակուսի թվեր, խորանարդ թվեր և այլն, ավելի բնական են դիտվում, քան եռանկյուն թվեր, հնգանկյուն թվեր և այլն, ^[14], եռանկյուն և հնգանկյուն թվերի գումարների ուսումնասիրությունը արդյունավետ էին նոր ժամանակների վաղ շրջանում (17-րդ մինչև վաղ 19-րդ դար)։

Հին եգիպտական կամ Վեդայի աղբյուրներում ակնհայտ մաթեմատիկական նյութեր չկան, չնայած երկուսում էլ կա մի փոքր հանրահաշիվ։ Չինական մնացորդների թեորեմը ներկայացված է^[15] Sunzi Suanjing (մեր թվարկության 3-րդ, 4-րդ կամ -րդ դար)^[16]

Չինական մաթեմատիկայում կա նաև թվանշանային միստիցիզմ^{[Ն 4]}, բայց ի տարբերություն Պյութագորականների, այն ոչ մի տեղ չի տանում։ Պյութագորյան կատարյալ թվերի նման, մոգական քառակուսիները սնահավատությունից անցել են թարմացման։

Դասական Հունաստանը և վաղ Հելենիստական ժամանակաշրջանը

Բացի մի փոքր հատվածից, Դասական Հունաստանի մաթեմատիկան մեզ հայտնի է վաղ Հելլենիստական ժամանակաշրջանի կամ ոչ մաթեմատիկոս ժամանակակիցների հիշատակումներից ինչու ոչ նաև մաթեմատիկական աշխատանքների միջոցով^[17]։ Թվերի տեսության դեպքում, հիմնականում համապատասխանաբար Պլատոյի և Էվկլիդեսի կողմից։

Թեև ասիական մաթեմատիկան ազդել է հունական և հելլենիստական ուսուցման վրա, կարծես թե հունական մաթեմատիկան նաև տեղական ավանդույթ է։

Եվսեբիոսը, PE X, 4-րդ գլխում հիշատակում է Պյութագորասին։

"Փաստացի Պյութագորասը, ջանաբար ուսումնասիրելով յուրաքանչյուր ազգի իմաստությունը, այցելել է Բաբելոնը, Եգիպտոսը և ողջ Պարսկաստանը, սովորել է մոգերի և քահանաների օգնությամբ․ ի հավելումն նա կապված է եղել և սովորել բրահմանների (հնդիկ փիլիսոփաներ) մոտ և մի մասից նա հուսանել է աստղագիտություն, ուրիշներից երկրաչափություն, երրորդներից թվաբանություն և երաժշտություն, և տարբեր բաներ, տարբեր ազգերից, և միայն հույն իմաստուն մարդկանցից ոչինչ չի ստացել՝ քանի որ նրանք իմաստության պակաս ունեին, այսպիսով, նա ինքն է դառնում հույներին կրթելու հեղինակը, տարածելով իր կողմից արտասահմանում ձեռք բերածը։"^[18]

Արիստոտելը հավաստում է, որ Պլատոյի փիլիսոփայությունը սերտորեն հետևում էր Պյութագորյան սկզբունքներին^[19], և Ցիցերոնն էլ հաստատել է այս հայտարարությունը ("Նրանք ասում են, որ Պլատոն ամեն ինչ սովորել է Պյութագորասից")^[20]։

Պլատոն հափշտակված էր մաթեմատիկայով և հստակ տարանջատում էր թվաբանությունն ու հաշիվը։ Թվաբանության տակ նա ավելի շուտ հասկանում էր թվերի տեսականացում, քան այն ինչ թվաբանությունը կամ թվերի տեսությունը նշանակում էին։ Պլատոյի երկխոսություններից մեկի՝, իսկ ավելի կոնկրետ Theaetetus—ի հետ, որից մենք գիտենք, որ Թեոդորուսը ապացուցել է, որ ${\displaystyle {\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\dots ,{\sqrt {17}}}$ իռացիոնալ է։ Թեատետուսը, Պլատոյի նման, Թեոդորուսի աշակերտն էր։ Նա աշխատում էր տարբեր տիպի անհամատեղելիության տարբերակման վրա, հետևաբար, հնարավոր է թվային համակարգերի ուսումնասիրության մեջ առաջինը լիներ։ Պապուսի կողմից գրված Էվկլիդյան տարրեր X գրքում հիմնականում նկարագրված է Թեատետուսի աշխատանքը։

Էվկլիդեսը իր Տարրեր աշխատության մի մասը հատկացրել է պարզ թվերին և բաժանելիությանը, թեմաներ, որ միարժեքորեն վերաբերում են թվերի տեսությանը և հիմնական դեր ունեն (Գիրք VII - IX, Էվկլիդյան տարրեր)։ Մասնավորապես, նա տվեց երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու ալգորիթմը (Էվկլիդյան ալգորիթմ; Ta88e8, Prop. VII.2) և պարզ թվերի անվերջության առաջին հայտնի ապացույցը (Տարրեր, Prop. IX.20)։

1773 թվականին, Գոտհոլդ Լեսսինգը մակագիր հրատարակեց, որը նա գտել էր գրադանում աշխատելու ընթացքում, աշխատանքի ընթացքում։ Դա Արքիմեդեսի նամակն էր Էրատոսթենեսին^[21][22]։ Մակագիրը առաջարկել է այն, ինչը հետագայում հայտնի դարձավ, որպես Արքիմեդեսի խոշոր եղջերավոր անասունների խնդիր։ Դրա լուծումը (բացակայում է ձեռագրից) պահանջում է լուծել անորոշ քառակուսի հավասարում, որը հետագայում սխալմամբ անվանվեց Պելլի հավասարում։ Որքանով հայտնի է, այդպիսի հավասարումները առաջինը հաջողությամբ ուսումնասիրվել են հնդկական մաթեմատիկական դպրոցի կողմից։ Հայտնի չէ, արդյոք Արքիմեդեսն ինքը լուծման մեթոդն ուներ։

Դիոֆանտուս

Դիաֆանտուսի Թվաբանություն գրքի կազմը 1621 թվականի հրատարակություն

Դիոֆանտուսի մասին շատ քիչ բան է հայտնի, հավանաբար նա ապրել է մեր թվարկության երրորդ դարում, այսինքն Էվկլիդեսից հինգ դար հետո։ Դիոֆանտուսի Թվաբանություն տասներեք գրքերից հունարեն բնօրինակով պահպանվել են վեցը, արաբական թարգմանությամբ՝ չորսը։ Թվաբանությունը մշակված խնդիրների հավաքածու է, որտեղ խնդիրը սովորաբար ${\displaystyle f(x,y)=z^{2}}$ կամ ${\displaystyle f(x,y,z)=w^{2}}$ տեսքի բազմանդամային հավասարումների համակարգի ռացիոնալ լուծումներ գտնելն է։ Այսպիսով, այսօր երբ մենք խոսում ենք Դիոֆանտյան հավասարումների մասին, ապա նկատի ունենք բազմանդամային հավասարումներ, որոնց համար պետք է գտնվեն ռացիոնալ կամ ամբողջ լուծումներ։

Կարելի է ասել Դիֆանտուսը ուսումնասիրում էր ռացիոնալ կետերը, այսինքն, կետերը, որոնց կոորդինատները ռացիոնալ են կորերի և հանրահաշվական բազմազանությունների վրա։ Ի տարբերություն դասական շրջանի հույների, ովքեր ստեղծեցին այն, ինչը երկրաչափական տերմիններով այժմ անվանում ենք երկրաչափական տերմիններով հիմնարար, Դիոֆանտուսը արեց այն, որը այսօր անվանում ենք հիմնարար հանրահաշվական երկրաչափություն։ Ժամանակակից լեզվով ասած ինչ Դիոֆանտուսն էր անում, դա բազմազանությունների համար ռացիոնալ պարամետրիզացիա գտնելն է, այսինքն, տրված ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0}$, հավասարման համար,նրա նպատակն էր գտնել երեք ռացիոնալ ֆունկցիաներ ${\displaystyle g_{1},g_{2},g_{3}}$ այնպիսիք, որ ${\displaystyle r}$ և ${\displaystyle s}$, բոլոր արժեքների համար, որ ${\displaystyle x_{i}=g_{i}(r,s)}$, ${\displaystyle i=1,2,3}$ տալիս է լուծում ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0.}$

Դիոֆանտուսը ուսոմնասիրել է նաև որոշ ոչ ռացիոնալ կորերի հավասարումներ, որոնց համար ոչ ռացիոնալ պարամետրիզացիան հնարավոր է։ Նա կարողացել է այդ կորերի վրա որոշ ռացիոնալ կետեր գտնել, որոնց միջոցով ստացվում է շոշափող կառուցվածք՝ փախակերպելով կոորդինատային երկրաչափության (որը Դիոֆանտուսի ժամանակ գոյություն չուներ), նրա մեթոդը կարելի է պատկերացնել որպես հայտնի ռացիոնալ կետում կորին շոշափող տանելև շոշափողի և կորի հատման այլ ռացիոնալ նոր կետ գտնել։ Դիոֆանտուսը դիմում է նաև այսպես կոչված հատող կոնստրուկցիայի մասնավոր դեպքին։

Հիմնականում զբաղված լինելով ռացիոնալ լուծումներով, նա ամբողջ թվերի հետ կապված որոշ արդյունքներ գրանցեց, մասնավորապես, որ յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ չորս ամբողջ թվերի քառակուսիների գումար է (չնայած նա երբեք այդքան հստակ չէր ձևակերպել)։

Արիաբհատա, Բրահմագումպտա, Բհասկարա

Թեև հունական աստղագիտությունը հավանաբար ազդել է հնդկական ուսուցման վրա, մինչև իսկ եռանկյունաչափության ստեղծման է բերել,^[23] սակայն թվում է, հնդկական մաթեմատիկան ինքնին տեղական ավանդույթ է^[24], մասնավորապես, չկա որևէ ապացույց, որ Էվկլիդյան տարրերը Հնդկաստան են հասել մինչև 18-րդ դար։^[25]

Արիաբհատան (մ․թ․ 476–550) ցույց է տվել, որ միաժամանակյա նմանությունների զույգերը ${\displaystyle n\equiv a_{1}{\bmod {m}}_{1}}$, ${\displaystyle n\equiv a_{2}{\bmod {m}}_{2}}$ կարող են լուծվել կուտակա, կամ պուլվիրիզատոր մեթոդներով^[26], այս եղանակը մոտ է (ընդհանրացված) Էվկլիդյան ալգորիթմին, որը հավանաբար անկախ հայտնագործվել է Հնդկաստանում։^[27] Թվում է, Արիաբհատան նկատի ուներ աստղագիտական հաշվարկների կիրառությունները։^[23]

Բրահմագումպտան (մ․թ․ 628) սկսեց անորոշ քառակուսի հավասարումների ուսումնասիրությունը՝ մասնավորապես, սխալ անվանված Պելլի հավասարումը, որում առաջինը Արքիմեդեսն էր հետաքրքրված, և որը արևմուտքում մինչ Ֆերմայի և Էյլերի ժամանակները չէին սկսել լուծել։ Ավելի ուշ սանսկրիտ հեղինակները կհետևեն օգտագործելով Բրահմագումպտայի տեխնիկական տերմինաբանությունը։ Պելլի հավասարման լուծման ընդհանուր եղանակը (Չակրավալայի կամ "ցիկլիկ մեթոդ") վերջնականապես գտել է Ջավադևան (հիշատակվել է տասնմեկերորդ դարում, հակառակ դեպքում նրա գործը կանհետանար); վաղ պահպանված ցուցանմուշը հիշատակված է Բհասկարա II-ի Bīja-gaṇita աշխատությունում (տասներկուերորդ դար)։^[28]

Հնդկական մաթեմատիկան մինչև տասնութերորդ դարը հիմնականում անհայտ էր Եվրոպայում։^[29]1817 թվականին Հենրի Քոլբրուկը Բրահմագուպտայի և Բհասկարայի աշխատանքները թարգմանեց անգլերեն։^[30]

Մաթեմատիկան իսլամական ոսկե դարում

Ալ-Հայսամը ըստ արևմուտքի․ Selenographia-ի կազմը, որ ցույց է տալիս Ալհասենին [sic], գիտելիքը բանականության միջոցով ներկայացնող և Գալիլեյը, գիտելիքը զգացմունքների միջոցով ներկայացնող։

Իններորդ դարի սկզբներում խալիֆ Ալ-Մամունը հրահանգեց թարգմանել հույն մաթեմատիկոսների շատ աշխատանքներ և գոնե մի սանսկրիտ աշխատանք (Sindhind, որը կարող է^[31] կամ չի կարող^[32] Բրահմագուպտայի աշխատանքը լինել)։ Դիոֆանտուսի գլխավոր Թվաբանություն աշխատանքը արաբերեն էր թարգմանվել Քուստա իբն Լուկայի կողմից։ (820–912). al-Fakhri աշխատության մի մասը (Ալ-Կարաջի, 953 – 1029) ինչ որ չափով հիմնվում է դրա վրա։ Համաձայն Ռաշեդ Ռոշդիի, Ալ-Կարաջիի ժամանակակից Իբն ալ-Հայսամը գիտեր ^[33] ավելի ուշ կանվանվեր Վիլսոնի թեորեմ։

Արևմտյան Եվրոպան միջին դարերում

Բացի Ֆիբոնաչիի՝ ով կրթության տարիներին (1175–1200), ապրել և սովորել է հյուսիսային Աֆրիկայում և Կոնստանդնուպոլսում թվաբանական պրոգրեսիայի քառակուսիների աշխատությունից, Արևմտյան Եվրոպայում միջին դարերում թվերի տեսության բնագավառում ոչինչ չի արվել։ Եվրոպայում իրավիճակը սկսեց փոխվել ուշ Վերածննդի ժամանակաշրջանում, շնորհիվ հունական անտիկ գործերի նորացված ուսումնասիրության։ Դիոֆանտուսի Թվաբանություն գործի տեքստի ուղղումները և թարգմանությունը լատիներենի կատալիզատոր հանդիսացավ։

Վաղ ժամանակակից թվերի տեսություն

Ֆերմա

Պիեռ դե Ֆերմա

Պիեռ դե Ֆերման (1601–1665) երբեք չի հրատարակել իր գրառումները, մասնավորապես, թվերի տեսությանը վերաբերող նրա աշխատանքները համարյա ամբողջությամբ ներառված են մաթեմատիկոսներին ուղղված նրա նամակներում և մասնավոր մարգինալ նշումներում^[34]։ Թվերի տեսության մեջ գրեթե ոչ մի ապացույց նա չի գրառել, այդ բնագավառում նա մոդելներ չուներ^[35]։ Նա բազմակիորեն կիրառել էր մաթեմատիկական ինդուկցիան, ներկայացնելով անվերջ անկման մեթոդը։

Ֆերմայի առաջին հետաքրքրությունների շարքում էին կատարյալ թվերը (որոնք նկարագրված են Էվկլիդեսի Տարրերում, IX դար) և բարեկամական թվերը^{[Ն 5]},։ սա նրան ուղղորդեց դեպի ամբողջ թվերի բաժանելիություն, որը նրա նամակագրությունների մաս էր կազմում հենց սկզբից։ Դա նրան կապեց ժամանակի մաթեմատիկական համայնքի հետ^[36]։ 1643 թվականին նա արդեն խորությամբ ուսումնասիրել էր Դիոֆանտուսի աշխատանքների Բաչետի հրատարակությունը, ^[37] նրա հետաքրքրությունները տեղափոխվեցին դեպի Դիոֆանտուսի խնդիրները և քառակուսիների գումարներըh ^[38] (մշակվել է նաև Դիոֆանտուսի կողմից)։

Ֆերմայի ձեռքբերումները մաթեմատիկայում ներառում են․

• Ֆերմայի փոքր թեորեմը (1640)^[39], պնդում է, եթե a-ն չի բաժանվում p պարզ թվի վրա, ապա ${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\bmod {p}}.}$^{[Ն 6]}

• Եթե a և b-ն փոխադարձ պարզ են, then ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ չի բաժանվում որևէ պարզ կոնգրուենտ −1 մոդուլ 4-ով;^[40] և 1 մոդուլ 4-ի յուրաքանչյուր պարզ կոնգրուենտ կարող է ներկայացվել ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ տեսքով։^[41] Այս երկու պնդումները կատարվել են 1640 թվականին, 1659 թվականին Ֆերման Հույգենսին հայտնել է, որ վերջին պնդումը ինքն ապացուցել է անվերջ անկման մեթոդի միջոցով։^[42] Ֆերման և Ֆրենիկլը միասին կատարել են որոշ աշխատանքներ քառակուսի ձևերի վրա (մի քանիսը սխալներով)^[43]։
• Ֆերման անգլիացի մաթեմատիկոսներին որպես մարտահրավեր առաջ քաշեց ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1}$ հավասարման լուծման խնդիրըխնդիրը (1657)։ Խնդիրը մի քանի ամսում լուծեցին Ուոլիսը և Բրունքերը։^[44] Ֆերման նրանց լուծումը հիմնավորված համարեց, սակայն նշեց, որ նրանք տրամադրեցին ալգորիթմ առանց ապացույցի։ Նա հայտարարեց, որ ապացույցը կարող է արվել անկման եղանակով։
• Ֆերման զարգացրեց կորերի վրա 0 և 1 դասի կետերի հայտնաբերման մեթոդները։ Ինչպես Դիոֆանդուսում գոյություն ունեն բազմաթիվ հատուկ եղանակներ, որ դասվում են շոշափողների, այլ ոչ հատողների կառուցման եղանակներին։^[45]
• Դեոֆանտուսի դիտարկումների հավելվածում ֆերման պնդում և ապացուցում է (անկմամբ) (Obs. XLV)^[46] որ ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{4}}$ ամբողջ թվերի մեջ տրիվիալ լուծում չունի։ Ֆերման նաև հիշեցնում է իրեն հետևողներին, որ ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}}$ ոչ տրիվիալ լուծումներ ունեն, և դա կարող է ապացուցվել անկման միչոցով։^[47] Առաջին հայտնի ապացույցն արվել է Էյլերի կողմից (1753; իսկապես անկմամբ)։^[48]

Ֆերմայի պնդումը ("Ֆերմայի վերջին թեորեմ") ցույց է տալիս, որ ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ հավասարումը բոլոր ${\displaystyle n\geq 3}$ լուծումներ գոյություն չունեն, միայն երևում է նրա սղագրություններում Դիոֆանտուսի նրա կրկնօրինակի լուսանցքներում։

Էյլեր

Լեոնարդ Էյլեր

Թվերի տեսությամբ Լեոնարդ Էյլերի (1707–1783) հետաքրքրությունը շարժվեց 1729 թվականին, երբ նրա ընկեր, սիրողական մաթեմատիկոս^{[Ն 7]} Գոլդբախը նրա ուշադրությունն է հրավիրում այդ հարցերի վերաբերյալ Ֆերմայի աշխատանքների վրա։^[49][50] Այն անվանում էին Թվերի տեսության "վերածնունդ",^[37] Ֆերմայի հարաբերական անհաջողություններից հետո առարկային ժամանակակիցների ուշադրությանն հրավիրելու համար^[51]։ Թվերի տեսության Էյլերի աշխատանքը ներառում է․^[52]

• Ֆերմայի պնդումների ապացույցներ Սա ներառում է Ֆերմայի փոքր թեորեմը (Էյլերի կողմից ընդհանրացված մինչև ոչ պարզ մոդուլ), փաստը, որ ${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$ այն և միայն այն դեպքում, երբ ${\displaystyle p\equiv 1{\bmod {4}}}$, սկզբնական աշխատանք, որ հաստատում է այն փաստը, որ յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ չորս քառակուսիների գումար է (առաջին ամբողջական ապացույցը տրվել է Ժոզեֆ Լուի Լագրանժի կողմից (1770), շուտով բարելավվել էր հենց Էյլերի կողմից^[53]), ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{2}}$ հավասարման ոչ զրոյական ամբողջ լուծումների բացակայությունը (նկատի ունենալով Ֆերմայի վերջին թեորեմի n=4, n=3 դեպքը, որը Էյլերն ապացուցեց համապատասխան մեթոդով)։
• Պելլի հավասարում, առաջին անգամ սխալ անվանում է ստացել Էյլերի կողմից^[54]։ նա գրել էր շարունակական կոտորակների և Պելլի հավասարման միջև։^[55]
• Թվերի անալիտիկ տեսություն։ Նրա չորս քառակուսիների գումարներ, թվերի տրոհում, հնգանկյուն թվեր և բաշխում գործում, Էյլերն առաջին անգամ օգտագործում է ինչը կարող է դիտարկվել որպես վերլուծություն (մասնավորապես, անվերջ շարքեր) թվերի տեսության մեջ։ Քանի որ նա ապրել է կոմպլեքս անալիզի զարգացումից առաջ, նրա աշխատանքների մեծ մասը սահմանափակված են աստիճանային շարքերի ֆորմալ մանիպուլացիայով։ Այնուամենայնիվ, նա շատ ուշագրավ աշխատանք է արել (չնայած ոչ լիովին խիստ), որը հետագայում կոչվելու է Ռիմանի զետա ֆունկցիա^[56]։
• Քառակուսային ձևեր։ Էյլերը, Ֆերմային հետևելով, շարունակեց հետազոտությունը այն հարցի շուրջ, թե որ պարզ թվերը կարելի է ներկայացնել ${\displaystyle x^{2}+Ny^{2}}$ տեսքով, դրանցից որոշները քառակուսային փոխադարձություն են ենթադրում։^{[57] [58][59]}
• Դիոֆանտային հավասարումներ։ Էյլերն աշխատել է 0 և1 դասերի Դիոֆանտյան հավասարումների վրա։^[60][61] Մասնավորապես, նա ուսումնասիրել է Դիոֆանտուսի աշխատանքը, փորձել է այն համակարգել, սակայն այդպիսի ջանքերի համար ժամանակը դեռևս չէր հասունացել՝ հանրահաշվական երկրաչափությունը դեռևս սաղմնային վիճակում էր։^[62] Նա նկատել էր, որ գոյություն ունի կապ Դիոֆանտյան խնդրի և էլիպսային ինտեգրալների միջև,^[62] որոնց հետազոտությունը ինք սկսեց։

Լագրանժ, Լեժանդր և Գաուս

Կառլ Գաուսի Թվաբանական հայտարարություններ, առաջին հրատարակություն

Ժոզեֆ Լուի Լագրանժը (1736–1813) առաջինն էր, որ Ֆերմայի և Էյլերի որոշ աշխատանքների և դիտարկումների ամբողջական ապացույցները տվեց՝ օրինակ, Լագրանժի չորս քառակուսիների թեորեմը և Պելլի հավասարման was the first to give full proofs of some of Fermat's and Euler's work and observations – for instance, the four-square theorem and the basic theory of the misnamed "Պելլի հավասարման" հիմնական տեսությունը (որի համար ալգորիթմական լուծում գտել են Ֆերման և նրա ժամանակակիցները, ինչպես նաև Ջայադևան և Բաշկարա II-ը ավելի վաղ։) Նա քառակուսային ձևերն ուսումնասիրել է իր ողջ ընդհանրությամբ (ի տարբերություն ${\displaystyle mX^{2}+nY^{2}}$) — սահմանելով դրանց համարժեքության հարաբերությունը, ցույց տալով ինչպես դրանք կրճատել և այլն։

Ադրիեն-Մարի Լեժանդրը (1752–1833) առաջինը ներկայացրեց քառակուսային փոխադարձության օրենքը։ Նա նաև ենթադրեց, որքան կարևոր է պարզ թվերի թեորեմը և թվաբանական պրոգրեսիայի վերաբերյալ Դիրիխլեի թեորեմը։ Նա տվել է ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}$ հավասարման լիարժեք մշակումը^[63] և աշխատեց քառակուսի ձևերի երկայնքով, որ հետագայում լիարժեք զարգացվեց Գաուսի կողմից։^[64] Ծեր տարիքում, նա առաջինն ապացուցեց "Ֆերմայի վերջին թեորեմը" ${\displaystyle n=5}$-ի համար։ (ավարտին հասցնելով Պետեր Գուստավ Լըժյոն Դիրիխլե, և վերագրելով երկուսին, իրեն և Սոֆի Ժերմենին)։^[65]

Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսը (1777–1855) իր Թվաբանական հետազոտություններ (1798) գրքում, ապացուցում է քառակուսային փոխադարձության օրենքը և զարգացնում քառակուսային ձևերի տեսությունը (մասնավորապես, սահմանելով դրանց կազմը)։ Նա նաև առաջարկեց որոշ հիմնարար նշումներ (համընկնումներ) և հաշվարկային հարցերին, ներառյալ առաջնայնության թեստերը, բաժին նվիրեց։^[66] ՀետազոտոThe last section of the Հետազոտությունների վերջին բաժինը կապ ստեղծեց մեկից արմատների և թվերի տեսության միջև․

Շրջանի բաժանման տեսությունը...որը դիտարկվում է բաժին 7-ում, ինքն իրենով չի պատկանում թվաբանությանը, սակայն դրա սկզբունքները կարելի է դուրս բերել միայն բարձրագույն թվաբանությունից^[67]։

Հավանաբար այս եղանակով է Գաուսը առաջին քայլերն արել Էվարիստ Գալուայի աշխատության և հանրահաշվական թվերի տեսության հանդեպ։

Հասունությունը և բաժանումը ենթադաշտերի

Էռնստ կումմեր

Պետեր Գուստավ Լըժյոն Դիրիխլե

Տասնիններորդ դարից սկսած աստիճանաբար տեղի ունեցան հետևյալ զարգացումները․

• Թվերի տեսության (կամ բարձրագույն թվաբանության) ինքնադրսևորումը, որպես առանձին ուսումնասիրության առարկա, բարձրացավ^[68]։
• Ժամանակակից թվերի տեսության համար անհրաժեշտ են ժամանակակից մաթեմատիկայի շատ ուղղություններ՝ կոմպլեքս անալիզ, խմբերի տեսություն, Գալուայի տեսություն՝ ուղեկցվելով վերլուծություններում և աբստրակցիայով հանրահաշվում։
• Թվերի տեսության մոտավոր բաժանումը ժամանակակից ենթաճյուղերի, մասնավորապես անալիտիկ և հանրահաշվական թվերի տեսության։

Կարելի է ասել, որ հանրահաշվական թվերի տեսությունը սկսվում է փոխադարձության և արմատ մեկից խնդիրների ուսումնասիրությունից, բայց իսկապես ձևավորվեց աբստրակտ հանրահաշվի և վաղ հանրահաշվական երկրաչափության ձարգացման միջոցով։ Անալիտիկ տվյալների տեսության մեկնարկային կետը Թվաբանական պրոգրեսիաների վերաբերյալ Դիրիխլեի թեորեմն է (1837),^{[69] [70]} որի ապացույցը L-ֆունկցիաներն է մտցնում և ներառում է որոշ ասիմպտոտիկ անալիզ և իրական փոփոխականի սահմանափակման պրոցես^[71]։ Անալիտիկ գաղափարների առաջին օգտագործումը իրականում գալիս է Էյլերից (1730s),^{[72] [73]} ով օգտագործեց ձևական աստիճանային շարքերը և ոչ խիստ (կամ անորոշ) սահմանափակող արգումենտներ։ Կոմպլեքս վերլուծությունը թվերի տեսության մեջ օգտագործվեց ավելի ուշ․ Բերնհարդ Ռիմանի (1859) զետա ֆունկցիան կանոնական մեկնարկային կետ է,^[74] Յակոբի չորս քառակուսիների թեորեմը (1839), որ նախորդում է դրան, ի սկզբանե վերաբերում է ուրիշ շերտի, որն այժմ առաջատար տեղ է գրավում անալիտիկ թվերի տեսության մեջ (մոդուլյար ֆունկցիաներ)^[75]։

Յուրաքանչյուր ենթադաշտի պատմությունը համառոտ ներկայացված է ստորև, առանձին բաժնով։ Յուրաքանչյուր ոլորտում ամենահետաքրքիր հարցերից շատերը բաց են և ակտիվորեն աշխատում են։

Գլխավոր ենթաուղղություններ

Տարրական գործիքներ

Տարրական տերմինը սովորաբար նշանակում է ապացուցման մեթոդ, որ չի օգտագործում կոմպլեքս անալիզ։ Օրինակ, պարզ թվերի օրենքը սկզբում ապացուցվել է կոմպլեքս անալիզի օգտագործմամբ, 1896 թվականին, սակայն տարրական ապացույցը գտնվել է միայն 1949 թվականին, Պոլ Էրդյոշի և Աթլե Սելբերգի կողմից։^[76] Տերմինն ինքնին որոշակի չէ․ օրինակ, ապացույցները հիմնված կոմպլեքս Աբել-Տաուբերի թեորեմի վրա հաճախ դիտվում են բավականաչափ տեղեկացնող, բայց ոչ տարրական, չնայած ավելի շատ օգտագործում է Ֆուրյեր անալիզ, քան կոմպլեքս անալիզ որպես այդպիսին։ Այստեղ, ինչպես ամենուրեք, տարրական ապացույցը ընթերցողների մեծ մասի համար կարող է լինել ավելի երկար և դժվար, քան ոչ տարրականը։

Թվերի տեսությունը հայտնի է որպես բնագավառ, որի արդյունքները կարող են հասանելի լինել ոչ մասնագետի։ Միևնույն ժամանակ, այդ արդյունքների ապացույցները այդքան էլ հասանելի չեն, մասնավորապես այն պատճառով, որ այնտեղ օգտագործվող գործիքների շրջանակը որոշ չափով անհամեմատ լայն է մաթեմատիկայի ներսում^[77]։

Թվերի անալիտիկ տեսություն

Ռիմանի զետա ֆունկվիան ζ(s) կոմպլեքս հարթության մեջ։ The color of a point s կետի գույնը տակիս է ζ(s)-ի արժեքը․ մուգ գույները նշանակում են զրոյին մոտ արժեքներ և երանգը տալիս է արգումենտների արժեքները։

Մոդուլյար խմբի վարքագիծը հարթության վերի կեսում։ Մոխրագույն հատվածը ստանդարտ հիմնական տիրույթն է։

Անալիտիկ թվերի տեսությունը կարող է սահմանվել

• իր գործիքների տերմիններով, ինչպես ամբողջ թվերի ուսումնասիրությունը իրական և կոմպլեքս անալիզի գործիքների միջոցով,^[69]
• իր պրոբլեմների տերմիններով, որպես թվերի տեսության մեջ չափի և խտության գնահատականների ուսումնասիրություն, ի տարբերություն նույնությունների^[78]։

Որոշ թեմաներ սովորաբար դիտարկվում են որպես Անալիտիկ թվերի տեսության մաս, օրինակ մաղերի տեսությունը^{[Ն 8]} ավելի լավ են ներկայացված երկրորդ, քան առաջին սահմանմամբ․ մաղերի տեսության միմասն օգտագործում է փոքքր վերլուծություններ^{[Ն 9]}, սակայն այն դեռևս վերաբերում է անալիտիկ թվերի տեսությանը։

Անալիտիկ թվերի տեսության օրինակներ են․ պարզ թվի թեորեմը, the Գոլդբախի հիպոթեզը (կամ երկվորյակները, կամ Հարրդի-Լիթլվուդի հիպոթեզը), Վարինգի պրոբլեմը և Ռիմանի հիպոթեզը։ Անալիտիկ թվերի տեսության որոշ կարևոր գործիքներ են շրջանաձև մեթոդը, մաղի մեթոդը և L-ֆունկցիաները (կամ, ավելի շուտ դրանց հատկությունների ուսումնասիրությունը)։ Մոդուլյար ձևերի (և ավելի ընդհանուր ավտոմորֆիկ ձևերի) տեսությունը նույնպես գնալով ավելի կենտրոնական տեղ են զբաղեցնում անալիտիկ թվերի տեսության գործիքաշարում^[79]։

Հանրահաշվական թվերի մասին կարելի է վերլուծական հարցեր տալ և կարելի է անալիտիկ գործիքներն օգտագործել այդպիսի հարցերի պատասխանելու համար, այսպիսով հանրահաշվական թվերի տեսությունն ու անալիտիկ թվերի տեսությունները հատվում են։ Օրինակ, կարելի է սահմանել պարզ իդեալ (պարզ թվերի ընդհանրացումը հանրահաշվական թվերի տիրույթում) և հարցնել մինչև որոշակի չափսի քանի պարզ իդեալ գոյություն ունի։ Այս հարցին կարելի է պատասխանել Դեդեկինդի զետա ֆունկցիայի, որը Ռիմանի զետա ֆունկցիայի, ընդհանրացումն է, հետազոտության միջացով^[80]։ Սա անալիտիկ թվերի տեսության ընդհանուր ընթացակարգի՝ ճիշտ կառուցված կոմպլեքսարժեքով ֆունկցիայի անալիտիկ վարքագծից հաջորդականության բաշխման մասին տեղեկություն ստանալու օրինակ է (այստեղ, պարզ իդեալներ կամ պարզ թվեր)^[81]։

Հանրահաշվական թվերի տեսություն

Հանրահաշվական թիվը, դա կոմպլեքս թիվ է, որը ռացիոնալ գործակիցներով որևէ բազմանդամային հավասարման՝ ${\displaystyle f(x)=0}$ լուծում է, օրինակ, ${\displaystyle x^{5}+(11/2)x^{3}-7x^{2}+9=0}$ հավասարման յուրաքանչյուր լուծում հանրահաշվական թիվ է։ Հանրահաշվական թվերի դաշտերը նույնպես անվանվում են հանրահաշվական թիվ դաշտեր, կամ կարճ թիվ դաշտեր։ Հանրահաշվկան թվերի տեսությունը ուսումնասիրում է հանրահաշվական թիվ դաշտեր^[82]։ Այսպիսով, անալիտիկ և հանրահաշվական թվերի տեսությունը կարող է և համընկնում են՝ առաջինը որոշվում է իր մեթոդներով, երկրորդը՝ իր ուսումնասիրության օբյեկտներով։

Կարելի է պնդել, որ պարզագույն տեսակի թվային դաշտերը (քառակուսային դաշտ) ուսումնասիրվել են Գաուսի կողմից, քանի որ քառակուսային ձևերի քննարկումները Disquisitiones arithmeticae աշխատությունում կարելի է վերաձևակերպել իդեալների և նորմերի տերմիններով քառակուսային դաշտերում։ Քառակուսային դաշտը բաղկացած է ${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}}$ տեսքի բոլոր թվերից, որտեղ ${\displaystyle a}$ և ${\displaystyle b}$ ռացիոնալ թվեր են, իսկ ${\displaystyle d}$-ն ֆիքսված ռացիոնալ թիվ է, որի քառակուսի արմատը ռացիոնալ չէ։ Այդ առումով տասնմեկերորդ դարի չակրավալա մեթոդը ժամանակակից տերմիններով բերվում է իրական քառակուսային դաշտից միավորներ գտներու ալգորիթմին։ Այնուամենայնիվ ոչ Բասկարան, ոչ Գաուսը չգիտեին թվերի դաշտերի մասին որպես այդպիսիք։

Առարկայի հիմքերը դրվել են տասնիններորդ դարի վերջում, երբ իդեալ թվերը, իդեալների տեսությունը և գնահատման տեսությունը ստեղծվեցին, դրանք հանրահաշվական թվերի դաշտերի յուրահատուկ ֆակտորիզացիայի բացակայության դեմ պայքարի երեք փոխադարձ լրացնող եղանակներ են։ Օրինակ, ռացիոնալներով և ${\displaystyle {\sqrt {-5}}}$ թվով գեներացված դաշտում, ${\displaystyle 6}$ թիվը կարող է ներկայացվել երկու եղանակով, որպես ${\displaystyle 6=2\cdot 3}$ և ${\displaystyle 6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$, ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle 1+{\sqrt {-5}}}$ և ${\displaystyle 1-{\sqrt {-5}}}$ փոխադարձաբար պարզ են և դա ավելի պաչզ ասած նման է պարզ թվերին ամբողջ թվերի մեջ)։ Իդեալ թվերի առաջացման սկզբնական խթանը (ըստ Կումմերի) կարծես թե գալիս է բարձրագույն փոխադարձության օրենքների ուսումնասիրություննից,^[83]i.e., քառակուսային փոխադարձության ընդհանրացումից։

Թվային դաշտերը հաճախ ուսումնասիրվում են որպես ավելի փոքր դաշտերի ընդլայնումներ։ L դաշտը կանվանենք K դաշտի ընդլայնում, եթե L-ը պարունակում է K-ն (օրինակ, C կոմպլեքս թվերը R իրական թվերի ընդլայնումն է, և R իրական թվերը Qռացիոնալ թվերի ընդլայնումն է)։ Տված թվերի դաշտի հնարավոր ընդլայնումների դասակարգումը բարդ է և մասնակիորեն բաց խնդիր է։ Աբելյան ընդլայնումը, այսինքն K-ի L ընդլայնումը, որոնց համար Գալուայի խումբը^{[Ն 10]} Gal(L/K) L-ը K-ի վրա դա Աբելյան խումբ է։ Իրենց դասակարգումը եղել է դասերի դասակարգման տեսության ծրագրի օբյեկտը, որը սկսվել է ուսումնասիրվել 19-րդ դարի վերջերում (մասնակի Կրոնեկերի և Այզենշտայնի կողմից) արդեն նոր 1900—1950 թվականներին խորացված հետազոտվել է։

Հանրահաշվական թվերի տեսության մեջ հետազոտությունների շրջանակ է Իվասավայի տեսությունը։ Լեգլադսի ծրագիրը համարվում է հիմնական լայնամաշտաբ հետազոտված ծրագիրն է մաթեմատիկայում։

Դիոֆանտյան երկրաչափություն

Դիոֆանտյան երկրաչափություն հիմնական խնդիրն է գտնել, թե երբ լուծում ունի Դիոֆանտինի հավասարումը և նրանց քանակը։ Ընտրված մոտեցումը հավասարման լուծումները դիտարկում է, որպես երկրաչափական օբյեկտ։

Էլիպսաձև կորերի երկու օրինակ, այսինքն, 1 տիպի կոր, որն առնվազն մեկ ռացիոնալ կետ ունի (ցանկացած գրաֆիկ կարելի է դիտել որպես տորոիդի հատույթ քառաչափ տարածությունում)

Օրինակ, երկու փոփոխականով հավասարումը ներկայացնում է կորը հարթության մեջ։ Ավելի ընդհանուր, հավասարումը կամ հավասարումների համակարգը երկու կամ ավելի փոփոխականներով սահմանում է կոր, մակերևույթ կամ այլ օբյեկտ n-չափանի տարածությունում։ Դիոֆանտյան երկրաչափության խնդիրներից է, թե արդյոք գոյություն ունեն կորի կամ մակերևույթի վրա ռացիոնալ կամ ամբողջ թվային կորդինատներով կետեր։ Եթե գույություն ունեն, քանիսն են նրանք և ինչպես են բաշխված։ Այնուհետև հարց է ծագում վերջավոր են արդյո՞ք այդպիսի կետերը։

Քննարկենք Պյութագորասի հավասարումը ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ մեզ հետաքրքրում է նրա ռացիոնալ լուծումները, այսինքն գտնել այնպիսի ${\displaystyle (x,y)}$, որ x և y լինեն ռացիոնալ։ Նույն է, եթե քննարկենք ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ հավասարման ամբողջ լուծոիմները։ Վերջին հավասարման յուրաքանչյուր լուծում տալիս է նաև առաջին հավասարման լուծումները ${\displaystyle x=a/c}$, ${\displaystyle y=b/c}$։ Նաև այդ լուծումները համընկնում են ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$(շրջանագիծ) հավասարումով ներկայացված կորի վրա ռացիոնալ կորդինատների հետ։

Վերաձևակերպելով հավասարման հարցերը կորերի վրա կետերի կերպով այն դարձնում է ավելի հարմար։ Ռացիոնալ կամ ամբողջ թվերի վերջավոր լինելը կամ չպատկանելը կորին լուծում են հանդիսանում ${\displaystyle f(x,y)=0}$ հավասարման համար, որտեղ ${\displaystyle f}$-ը երկու փոփոխականով բազմանդամ է և էապես կախված է կորի տեսակից։ Տեսակը կորշենք հետևյալ կերպ^{[Ն 11]}՝ ${\displaystyle f(x,y)=0}$ փոփոխականներ կարող են լինել նաև կոմպլեքս թվեր այնուհետև ${\displaystyle f(x,y)=0}$ որոշում է երկչափանի մակերևույթ քառաչափ տարածության մեջ (քանի որ երկու կոմպլեքս փոփոխականները կարող են վերլուծվել չորս իրական փոփոխականների, այսինքն քառաչափ տարածության)։ ${\displaystyle f(x,y)=0}$ տեսակով կորոշենք հարթության մեջ տորոիդի անցքերի քանակը։ Այլ երկրաչափական պատկերացումները նույնքան կարևոր են։

Վերջին մոտեցումներ և ենթադաշտեր

Հավանական թվերի տեսություն

Վերցնենք պատահական թիվ ընկած մեկի և միլիոնի միջև։ Որքանո՞վ է հավանական, որ այն կլինի պարզ թիվ։ Սա, ընդամենը, քանի պարզ թիվ կա մեկի և միլիոնի միջև, խնդիրը պարզելու ևս մեկ եղանակ է։ Այնուհետ, միջինում, քանի՞ պարզ բաժանարար այն ունի։ Քանի՞ բաժանարար այն կունենա ընդհանրապես և ի՞նչ հավանականությամբ։ Ի՞նչ հավանականությամբ այն կունենա միջինից ավել կամ պակաս պարզ բաժանարարներ։

Հավանական թվերի տեսության մեծ մասը կարելի է դիտարկել որպես փոփոխականների, որոնք գրեթե, բայց ոչ լիովին փոխադարձ անկախ են, ուսումնասիրության կարևոր հատուկ դեպք։ Օրինակ, պատահարը, որ մեկի և միլիոնի միջև ընկած թիվը երկուսի բաժանվում է և պատահարը, որ այն երեքի էլ է բաժանվում գրեթե անկախ է, բայց ոչ լիովին։

Երբեմն ասվում է, որ հավանական կոմբինատորիկան օգտագործում է այն փաստը, որ այն ինչ տեղի է ունենում ${\displaystyle 0}$-ից մեծ հավանականությամբ, երբեմն պետք է տեղի ունենա, հավասար ճշտությամբ կարելի է ասել, որ հավանական թվերի տեսության շատ կիրառություններ կախված են այն փաստից, որ ինչն անսովոր է, հազվադեպ կկատարվի։ Եթե որոշ հանրահաշվական օբյեկտներ (ասենք, որոշ հավասարումների ռացիոնալ կամ ամբողջական լուծումներ) կարող են հայտնվել որոշակի խելամիտ բաշխման շարքում, դրանից հետևում է, որ դրանք քիչ են, սա հավանականից բխող շատ որոշակի ոչ հավանական պնդում է։

Երբեմն, ոչ խիստ հավանական մոտեցումը հանգեցնում է մի շարք էվրիստիկ ալգորիթմների և բաց պրոբլեմների, մասնավորապես Կրամերի հիպոթեզին։

Թվաբանական կոմբինատորիկա

Ենթադրենք A բազմությունը բաղկացած է N ամբողջ թվերից։ Նկատենք, որ A + A = { m + n | m, n ∈ A } բազմությունը պարունակում է ցանկացած երկու էլեմենտների գումարը։ Արդյո՞ք A + A ավելի մեծ է քան A։ Արժեքները իրար մո՞տ են։ Եթե A + A արժեքը մոտ է A-ին, ապա արդյո՞ք պետք է A-ն ունենա մեծ քանակությամբ թվաբանական կառուցվածք, օրինակ, A-ն նմա՞ն է թվաբանական պրոգրեսիաային։

Եթե սկսենք բավականին "հաստ" անսահմանափակ ${\displaystyle A}$ բազմությունից, արդյոք այն թվաբանական պրոգրեսիայում պարունակում է շատ տարեր՝ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle a+b,a+2b,a+3b,\ldots ,a+10b}$։ Կարո՞ղ ենք մեծ թվերը ներկայացնել, որպես ${\displaystyle A}$-ի տարրերի գումար։

Այս հարցերը բնորոշ են թվաբանական կոմբինատորիկային։ Նա իր մեջ պարունակում է ադիտիվ թվերի տեսությունը (վերաբերվում է յուրահատուկ բազմության՝ ${\displaystyle A}$-ի, թվաբանական արժեքներին, ինչպիսիքն են պարզ թվերը կամ քառակուսիները), ներառում է նաև որոշ հատված թվերի երկրաչափությունից։ Նույնպես օգտագործվում է ադիտիվ կոմբինատորիկա տերմինը, սակայն ${\displaystyle A}$ բազմությունը անպայման չէ, որ ամբողջ թիվ լինի, ավելի շուտ ոչ կոմուտատիվ խմբի ենթաբազմություն, որոնց համար բազմապատկման նշանը ավելացման նշան չէ։ Նրանք նաև կարող են լինել օղակի ենթաբազմություն, որի դեպքում ${\displaystyle A+A}$ և ${\displaystyle A}$·${\displaystyle A}$-ի աճը համեմատելի է։

Հաշվարկներ թվերի տեսության մեջ

Քանի դեռ ալգորիթմ բառը ծանոթ էր միայն Ալ-Խորեզմի ընթերցողներին, մանրակրկիտ լուծման մեթոդների բացատրությունը հայտնի էր ավելի վաղ, քան ապացույցները, այդ մեթոդները (ալգորիթմները) այնքան հին են, որքան ցանկացած ճանաչելի մաթեմատիկոս (հին եգիպտացի, բաբելոնացի, վեդիկ, չինացի)։ Ապացույցները պատկանում են դասական ժամանակաշրջանի հույներին։

Ներկայումս մենք դա անվանում ենք Էվկլիդեսի ալգորիթմ։ Իր հիմնական ձևով (ավելի կոնկրետ, որապես ալգորիթմ ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար հաշվելու համար) նա Սկզբունքներ Գիրք VII-ում առաջարկվում է, որպես Նախադասություն 2, ճշտության ապացույցի հետ միասին։ Ամեն դեպքում, այն ձևը, որը հաճախ օգտագործվում է թվերի տեսության մեջ (ավելի կոնկրետ, որպես ալգորիթմ ամբողջ արմատներ գտնելու ${\displaystyle ax+by=c}$ հավասարությունից, կամ, ինչը նույնն է՝ գտնել արմատների քանակը, որոնց գոյությունը ապահովում է մնացորդների մասին չինական թեորեմը) առաջին անգամ ներկայացվել է Արիաբխատայի (5–6-րդ դարաշրջանում), ալգորիթմի անունը եղել է kuṭṭaka, առանց ճշտության ապացույցի։

Կա երկու հիմնական խնդիրներ՝ "կարո՞ղ ենք դա հաշվել" և "հնարավո՞ր է արագ հաշվել"։ Յուրաքանչյուրը կարող է ստուգել պարզ է թիվը, թե ոչ։ Եթե ոչ՝ բաժանել այն պարզ անդամների։ Իսկ արագ անելը, դա ուրիշ խնդիր է։ Մենք գիտենք արագ ալգորիթմ պարզությունը ստուգելու համար, չհաշված իր մեծ աշխատանքը (երկու ուղղությամբ՝ տեսական և գործնական)։ Բայց իրականում, որպես այդպիսին չկա արագ ալգորիթմ պարզությունը ստուգելու համար։

Հաշվարկման բարդությունները կարող է օգտակար լինել՝ արդի արձանագրություններում, ծածկագրման հաղորդագրության համար (օրինակ, RSA)։

Որոշ բաներ հնարավոր չէ հաշվել ընդհանրապես, իրականում ապացույցը ճիշտ է մասնակի դեպքերի համար։ Որպես մասնակի դեպք 1970 թվականին դա ապացույցվեց, Հիլբերտի 10-րդ խնդրի լուծման մեջ։ Ապացուցվեց, որ գոյություն չունի այդպիսի, Թյուրինգի մեքենա, որը կարող է լուծել բոլոր Դիոֆանտյան հավասարությունները^[84]։

Մրցանակներ

Ամերիկայի մաթեմատիկոսների միությունը պարգևատրվել է Քոուլի մրցանակով, թվերի տեսության մեջ կատարած հետազոտությունների համար։ Ավելին թվերի տեսությունը մաթեմատիկայի երեք ենթաճյուղերից մեկն է, որը պարգևատրվել է Ֆերմայի մրցանակով։

Նշումներ

1. Already in 1921, T. L. Heath had to explain: "By arithmetic, Plato meant, not arithmetic in our sense, but the science which considers numbers in themselves, in other words, what we mean by the Theory of Numbers." (Heath 1921, էջ 13)
2. Take, e.g. Serre 1973 harvnb error: no target: CITEREFSerre1973 (help). In 1952, Davenport still had to specify that he meant The Higher Arithmetic. Hardy and Wright wrote in the introduction to An Introduction to the Theory of Numbers (1938): "We proposed at one time to change [the title] to An introduction to arithmetic, a more novel and in some ways a more appropriate title; but it was pointed out that this might lead to misunderstandings about the content of the book." (Hardy & Wright 2008)
3. Robson 2001, էջ. 201 harvnb error: no target: CITEREFRobson2001 (help). This is controversial. See Plimpton 322. Robson's article is written polemically (Robson 2001, էջ 202) with a view to "perhaps [...] knocking [Plimpton 322] off its pedestal" (Robson 2001, էջ 167); at the same time, it settles to the conclusion that

   [...] the question "how was the tablet calculated?" does not have to have the same answer as the question "what problems does the tablet set?" The first can be answered most satisfactorily by reciprocal pairs, as first suggested half a century ago, and the second by some sort of right-triangle problems (Robson 2001, էջ 202).

   Robson takes issue with the notion that the scribe who produced Plimpton 322 (who had to "work for a living", and would not have belonged to a "leisured middle class") could have been motivated by his own "idle curiosity" in the absence of a "market for new mathematics".(Robson 2001, էջեր 199–200)
4. See, e.g., Sunzi Suanjing, Ch. 3, Problem 36, in Lam & Ang 2004, էջեր. 223–224 harvnb error: no target: CITEREFLamAng2004 (help):

   [36] Now there is a pregnant woman whose age is 29. If the gestation period is 9 months, determine the sex of the unborn child. Answer: Male.
   Method: Put down 49, add the gestation period and subtract the age. From the remainder take away 1 representing the heaven, 2 the earth, 3 the man, 4 the four seasons, 5 the five phases, 6 the six pitch-pipes, 7 the seven stars [of the Dipper], 8 the eight winds, and 9 the nine divisions [of China under Yu the Great]. If the remainder is odd, [the sex] is male and if the remainder is even, [the sex] is female.

   This is the last problem in Sunzi's otherwise matter-of-fact treatise.
5. Perfect and especially amicable numbers are of little or no interest nowadays. The same was not true in medieval times – whether in the West or the Arab-speaking world – due in part to the importance given to them by the Neopythagorean (and hence mystical) Nicomachus (ca. 100 CE), who wrote a primitive but influential "Introduction to Arithmetic". See van der Waerden 1961, Ch. IV harvnb error: no target: CITEREFvan_der_Waerden1961 (help)
6. Here, as usual, given two integers a and b and a non-zero integer m, we write ${\displaystyle a\equiv b{\bmod {m}}}$ (read "a is congruent to b modulo m") to mean that m divides a − b, or, what is the same, a and b leave the same residue when divided by m. This notation is actually much later than Fermat's; it first appears in section 1 of Gauss's Disquisitiones Arithmeticae. Fermat's little theorem is a consequence of the fact that the order of an element of a group divides the order of the group. The modern proof would have been within Fermat's means (and was indeed given later by Euler), even though the modern concept of a group came long after Fermat or Euler. (It helps to know that inverses exist modulo p (i.e., given a not divisible by a prime p, there is an integer x such that ${\displaystyle xa\equiv 1{\bmod {p}}}$); this fact (which, in modern language, makes the residues mod p into a group, and which was already known to Āryabhaṭa; see above) was familiar to Fermat thanks to its rediscovery by Bachet (Weil 1984, էջ 7). Weil goes on to say that Fermat would have recognised that Bachet's argument is essentially Euclid's algorithm.
7. Up to the second half of the seventeenth century, academic positions were very rare, and most mathematicians and scientists earned their living in some other way (Weil 1984, էջեր 159, 161). (There were already some recognisable features of professional practice, viz., seeking correspondents, visiting foreign colleagues, building private libraries (Weil 1984, էջեր 160–161). Matters started to shift in the late 17th century (Weil 1984, էջ 161); scientific academies were founded in England (the Royal Society, 1662) and France (the Académie des sciences, 1666) and Russia (1724). Euler was offered a position at this last one in 1726; he accepted, arriving in St. Petersburg in 1727 (Weil 1984, էջ. 163 harvnb error: no target: CITEREFWeil1984 (help) and Varadarajan 2006, էջ. 7 harvnb error: no target: CITEREFVaradarajan2006 (help)). In this context, the term amateur usually applied to Goldbach is well-defined and makes some sense: he has been described as a man of letters who earned a living as a spy (Truesdell 1984, էջ xv); cited in Varadarajan 2006, էջ. 9 harvnb error: no target: CITEREFVaradarajan2006 (help)). Notice, however, that Goldbach published some works on mathematics and sometimes held academic positions.
8. Sieve theory figures as one of the main subareas of analytic number theory in many standard treatments; see, for instance, Iwaniec & Kowalski 2004 harvnb error: no target: CITEREFIwaniecKowalski2004 (help) or Montgomery & Vaughan 2007 harvnb error: no target: CITEREFMontgomeryVaughan2007 (help)
9. This is the case for small sieves (in particular, some combinatorial sieves such as the Brun sieve) rather than for large sieves; the study of the latter now includes ideas from harmonic and functional analysis.
10. Գալուայի խմբի K/L ընդլայնումը բաղկացած է օպերացիաներից, (isomorphisms) որոնք ողարկում են L-ի էլեմենտները ուրիշ L-ի էլեմենտներին, թողնելով K-ի բոլոր տարրերը ֆիքսված։ Այդպիսով, օրինակ, Gal(C/R) բաղկացած է երկու տարրից՝ առաջինտ տարից (taking every element x + iy of C to itself) and complex conjugation (the map taking each element x + iy to x − iy). The Galois group of an extension tells us many of its crucial properties. The study of Galois groups started with Évariste Galois; in modern language, the main outcome of his work is that an equation f(x) = 0 can be solved by radicals (that is, x can be expressed in terms of the four basic operations together with square roots, cubic roots, etc.) if and only if the extension of the rationals by the roots of the equation f(x) = 0 has a Galois group that is solvable in the sense of group theory. ("Solvable", in the sense of group theory, is a simple property that can be checked easily for finite groups.)
11. Այս դեպքում օգտակար է հետևյալ օրինակը. Ասենք, ուզում ենք ուսումնասիրել ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+7}$ կորը։ Ենթադրենք` x եւ y կոմպլեքս թվեր են. ${\displaystyle (a+bi)^{2}=(c+di)^{3}+7}$։ Սա, ըստ էության, չորս փոփոխականով երկու հավասարումներ են, քանի որ յուրաքանչյուր կողմի իրական եւ ենթադրվող մասերը պետք է համընկնեն։ Արդյունքում, մենք ստանում ենք մակերևույթ (երկչափ) քառաչափ տարածությունում։ Դրանից հետո մենք ընտրում ենք հարմար հիպերպլան, որի վրա արտապատկերում ենք մակերեսը (այսինքն, օրինակ մենք նախընտրում ենք անտեսել a կոորդինատը), մենք կարող ենք պրոյեկցիայի միջոցով կառուցել մակերևույթ, որը սովորական եռաչափ տարածության մակերես է։ Այնուհետեւ պարզ է դառնում, որ արդյունքը տորոիդ է, այսինքն, փքված մակերեւույթ (որոշ չափով ձգված)։ Այդ կորավուն մակերևույթի կենտրոնում փոս է, հետեւաբար 1 կարգի է։

Ծանոթագրություններ

1. Neugebauer & Sachs 1945, էջ. 40 harvnb error: no target: CITEREFNeugebauer_&_Sachs1945 (help). The term takiltum is problematic. Robson prefers the rendering "The holding-square of the diagonal from which 1 is torn out, so that the short side comes up...".Robson 2001, էջ. 192 harvnb error: no target: CITEREFRobson2001 (help)
2. Robson 2001, էջ. 189 harvnb error: no target: CITEREFRobson2001 (help). Other sources give the modern formula ${\displaystyle (p^{2}-q^{2},2pq,p^{2}+q^{2})}$. Van der Waerden gives both the modern formula and what amounts to the form preferred by Robson.(van der Waerden 1961, էջ 79)
3. van der Waerden, 1961, էջ 184
4. Neugebauer (Neugebauer 1969, էջեր 36–40) discusses the table in detail and mentions in passing Euclid's method in modern notation (Neugebauer 1969, էջ 39).
5. Friberg, 1981, էջ 302
6. van der Waerden, 1961, էջ 43
7. Iamblichus, Life of Pythagoras,(trans. e.g. Guthrie 1987 harvnb error: no target: CITEREFGuthrie1987 (help)) cited in van der Waerden 1961, էջ. 108 harvnb error: no target: CITEREFvan_der_Waerden1961 (help). See also Porphyry, Life of Pythagoras, paragraph 6, in Guthrie 1987 harvnb error: no target: CITEREFGuthrie1987 (help) Van der Waerden (van der Waerden 1961, էջեր 87–90) sustains the view that Thales knew Babylonian mathematics.
8. Herodotus (II. 81) and Isocrates (Busiris 28), cited in: Huffman 2011 harvnb error: no target: CITEREFHuffman2011 (help). On Thales, see Eudemus ap. Proclus, 65.7, (e.g. Morrow 1992, էջ. 52 harvnb error: no target: CITEREFMorrow1992 (help)) cited in: O'Grady 2004, էջ. 1 harvnb error: no target: CITEREFO'Grady2004 (help). Proclus was using a work by Eudemus of Rhodes (now lost), the Catalogue of Geometers. See also introduction, Morrow 1992, էջ. xxx harvnb error: no target: CITEREFMorrow1992 (help) on Proclus's reliability.
9. Becker 1936, էջ. 533 harvnb error: no target: CITEREFBecker1936 (help), cited in: van der Waerden 1961, էջ. 108 harvnb error: no target: CITEREFvan_der_Waerden1961 (help).
10. Becker, 1936
11. van der Waerden, 1961, էջ 109
12. Plato, Theaetetus, p. 147 B, (e.g. Jowett 1871 harvnb error: no target: CITEREFJowett1871 (help)), cited in von Fritz 2004, էջ. 212 harvnb error: no target: CITEREFvon_Fritz2004 (help): "Theodorus was writing out for us something about roots, such as the roots of three or five, showing that they are incommensurable by the unit;..." See also Spiral of Theodorus.
13. von Fritz, 2004
14. Heath, 1921, էջ 76
15. Sunzi Suanjing, Chapter 3, Problem 26. This can be found in Lam & Ang 2004, էջեր. 219–220 harvnb error: no target: CITEREFLamAng2004 (help), which contains a full translation of the Suan Ching (based on Qian 1963 harvnb error: no target: CITEREFQian1963 (help)). See also the discussion in Lam & Ang 2004, էջեր. 138–140 harvnb error: no target: CITEREFLamAng2004 (help).
16. The date of the text has been narrowed down to 220–420 AD (Yan Dunjie) or 280–473 AD (Wang Ling) through internal evidence (= taxation systems assumed in the text). See Lam & Ang 2004, էջեր. 27–28 harvnb error: no target: CITEREFLamAng2004 (help).
17. Boyer, Merzbach, էջ 82
18. http://www.tertullian.org/fathers/eusebius_pe_10_book10.htm
19. Metaphysics, 1.6.1 (987a)
20. Tusc. Disput. 1.17.39.
21. Vardi, 1998, էջ 305–319
22. Weil, 1984, էջեր 17–24
23. Plofker, 2008, էջ 119
24. Any early contact between Babylonian and Indian mathematics remains conjectural (Plofker 2008, էջ 42).
25. Mumford, 2010, էջ 387
26. Āryabhaṭa, Āryabhatīya, Chapter 2, verses 32–33, cited in: Plofker 2008, էջեր. 134–140 harvnb error: no target: CITEREFPlofker2008 (help). See also Clark 1930, էջեր. 42–50 harvnb error: no target: CITEREFClark1930 (help). A slightly more explicit description of the kuṭṭaka was later given in Brahmagupta, Brāhmasphuṭasiddhānta, XVIII, 3–5 (in Colebrooke 1817, էջ. 325 harvnb error: no target: CITEREFColebrooke1817 (help), cited in Clark 1930, էջ. 42 harvnb error: no target: CITEREFClark1930 (help)).
27. Mumford, 2010, էջ 388
28. Plofker, 2008, էջ 194
29. Plofker, 2008, էջ 283
30. Colebrooke, 1817
31. Colebrooke 1817, էջ. lxv harvnb error: no target: CITEREFColebrooke1817 (help), cited in Hopkins 1990, էջ. 302 harvnb error: no target: CITEREFHopkins1990 (help). See also the preface in Sachau 1888 harvnb error: no target: CITEREFSachau1888 (help) cited in Smith 1958, էջեր. 168 harvnb error: no target: CITEREFSmith1958 (help)
32. Pingree 1968, էջեր. 97–125 harvnb error: no target: CITEREFPingree1968 (help), and Pingree 1970, էջեր. 103–123 harvnb error: no target: CITEREFPingree1970 (help), cited in Plofker 2008, էջ. 256 harvnb error: no target: CITEREFPlofker2008 (help).
33. Rashed, 1980, էջ 305–321
34. Weil, 1984, էջեր 45–46
35. Weil 1984, էջ. 118 harvnb error: no target: CITEREFWeil1984 (help)։ Մնացած բնագավառներում նույնիսկ ավելի սուղ էր (նշումը Mahoney 1994, էջ. 284 harvnb error: no target: CITEREFMahoney1994 (help))։ Բաչետի ապացույցները "անհեթեթություն" էին(Weil 1984, էջ 33)
36. Mahoney 1994, էջեր. 48, 53–54 harvnb error: no target: CITEREFMahoney1994 (help) Ֆերմայի նամակագրությունների սկզբնական թեմաներն էին բաժանելիությունը և թվերի տեսությունից դուրս էլի շատ թեմաներ։ Tannery & Henry 1891, Vol. II, pp. 72, 74 harvnb error: no target: CITEREFTanneryHenry1891 (help), cited in Mahoney 1994, էջ. 54 harvnb error: no target: CITEREFMahoney1994 (help)
37. Weil, 1984, էջեր 1–2
38. Weil, 1984, էջ 53
39. Tannery & Henry 1891, Vol. II, p. 209 harvnb error: no target: CITEREFTanneryHenry1891 (help), Letter XLVI from Fermat to Frenicle, 1640, cited in Weil 1984, էջ. 56 harvnb error: no target: CITEREFWeil1984 (help)
40. Tannery & Henry 1891, Vol. II, p. 204 harvnb error: no target: CITEREFTanneryHenry1891 (help), cited in Weil 1984, էջ. 63 harvnb error: no target: CITEREFWeil1984 (help). All of the following citations from Fermat's Varia Opera are taken from Weil 1984, Chap. II harvnb error: no target: CITEREFWeil1984 (help). The standard Tannery & Henry work includes a revision of Fermat's posthumous Varia Opera Mathematica originally prepared by his son (Fermat 1679).
41. Tannery, Henry, Vol. II, p. 213
42. Tannery, Henry, Vol. II, p. 423
43. Weil, 1984, էջեր 80, 91–92
44. Weil, 1984, էջ 92
45. Weil, 1984, Ch. II, sect. XV and XVI
46. Tannery, Henry, Vol. I, pp. 340–341
47. Weil, 1984, էջ 115
48. Weil, 1984, էջեր 115–116
49. Weil, 1984, էջեր 2, 172
50. Varadarajan, 2006, էջ 9
51. Weil 1984, էջ. 2 harvnb error: no target: CITEREFWeil1984 (help) and Varadarajan 2006, էջ. 37 harvnb error: no target: CITEREFVaradarajan2006 (help)
52. Varadarajan 2006, էջ. 39 harvnb error: no target: CITEREFVaradarajan2006 (help) and Weil 1984, էջեր. 176–189 harvnb error: no target: CITEREFWeil1984 (help)
53. Weil, 1984, էջեր 178–179
54. Weil 1984, էջ. 174 harvnb error: no target: CITEREFWeil1984 (help). Euler was generous in giving credit to others (Varadarajan 2006, էջ 14), not always correctly.
55. Weil, 1984, էջ 183
56. Varadarajan 2006, էջեր. 45–55 harvnb error: no target: CITEREFVaradarajan2006 (help); see also chapter III.
57. Varadarajan, 2006, էջեր 44–47
58. Weil, 1984, էջեր 177–179
59. Edwards, 1983, էջեր 285–291
60. Varadarajan, 2006, էջեր 55–56
61. Weil, 1984, էջեր 179–181
62. Weil, 1984, էջ 181
63. Weil, 1984, էջեր 327–328
64. Weil, 1984, էջեր 332–334
65. Weil, 1984, էջեր 337–338
66. Goldstein, Schappacher, էջ 14
67. From the preface of Disquisitiones Arithmeticae; the translation is taken from Goldstein & Schappacher 2007, էջ. 16 harvnb error: no target: CITEREFGoldsteinSchappacher2007 (help)
68. See the discussion in section 5 of Goldstein & Schappacher 2007 harvnb error: no target: CITEREFGoldsteinSchappacher2007 (help). Ինքնադրսևորման վաղ նշանները արդեն իսկ առկա էին Ֆերմայի նամակներում․ նրա նշումները այն մասին, թե ի՞նչ է թվերի տեսությունը, և ինչպես "Դիոֆանտուսի աշխատանքը [...] իրականում չի պատկանում դրան" (quoted in Weil 1984, էջ. 25 harvnb error: no target: CITEREFWeil1984 (help)).
69. Apostol, 1976, էջ 7
70. Davenport, Montgomery, էջ 1
71. See the proof in Davenport & Montgomery 2000, section 1 harvnb error: no target: CITEREFDavenportMontgomery2000 (help)
72. Iwaniec, Kowalski, էջ 1
73. Varadarajan, 2006, sections 2.5, 3.1 and 6.1
74. Granville, 2008, էջեր 322–348
75. See the comment on the importance of modularity in Iwaniec & Kowalski 2004, էջ. 1 harvnb error: no target: CITEREFIwaniecKowalski2004 (help)
76. Goldfeld, 2003
77. See, e.g., the initial comment in Iwaniec & Kowalski 2004, էջ. 1 harvnb error: no target: CITEREFIwaniecKowalski2004 (help).
78. Granville 2008, section 1 harvnb error: no target: CITEREFGranville2008 (help): "The main difference is that in algebraic number theory [...] one typically considers questions with answers that are given by exact formulas, whereas in analytic number theory [...] one looks for good approximations."
79. See the remarks in the introduction to Iwaniec & Kowalski 2004, էջ. 1 harvnb error: no target: CITEREFIwaniecKowalski2004 (help): "However much stronger...".
80. Granville 2008, section 3 harvnb error: no target: CITEREFGranville2008 (help): "[Riemann] defined what we now call the Riemann zeta function [...] Riemann's deep work gave birth to our subject [...]"
81. See, e.g., Montgomery & Vaughan 2007 harvnb error: no target: CITEREFMontgomeryVaughan2007 (help), p. 1.
82. CITEREFMilne2014, p. 2.
83. Edwards, 2000, էջ 79
84. Davis, Martin; Matiyasevich, Yuri; Robinson, Julia (1976). «Hilbert's Tenth Problem: Diophantine Equations: Positive Aspects of a Negative Solution». In Felix E. Browder (ed.). Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. XXVIII.2. American Mathematical Society. էջեր 323–378. ISBN 0-8218-1428-1. Zbl 0346.02026. Reprinted in The Collected Works of Julia Robinson, Solomon Feferman, editor, pp.269–378, American Mathematical Society 1996.

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Թվերի տեսություն» հոդվածին։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 225)։