Կոմպլեքս թիվ

Կոմպլեքս թիվը (կեղծ թիվը) իրական թվերի դաշտի ընդլայնումն է։ Ֆորմալ ձևով այն առաջացել է քառակուսի հավասարումներ լուծելու ժամանակ, որում հավասարման արմատի քառակուսին պետք է լինի բացասական թիվ։
Հետագայում գտել են, որ կոմպլեքս թվերի օգտագործումը հնարավորություն է տալիս հարմար և կոմպակտ ձևով ներկայացնել բազմաթիվ մաթեմատիկական մոդելներ, որոնք օգտագործվում են մաթեմատիկական ֆիզիկայում և այլ բնական գիտություններում /էլեկտրոտեխնիկա, հիդրոդինամիկա, քարտեզագրություն, քվանտային մեխանիկա, տատանումների տեսությունում, քաոսների տեսությունում և այլն.../։
Կոմպլեքս թվերի բազմությունը սովորաբար նշանակում են ${\displaystyle \mathbb {C} }$-ով /լատին․՝ Complex - կոմպլեքս բառից/։

Կոմպլեքս թվերի մեկ այլ տեսակ է Անոիսիեսը(հունարենից թարգմանաբար նշանակում է անիմաստություն ανοησίες) : Նշանակում ենք ψ(փսի)) ψ=a/0 որտեղ aն կամայական հաստատուն թիվ է։ Գիտնականները տասնյակ հազարամյակներ շարունակ չեն կարողացել գտնել այս սահմանումը, սակայն 21րդ դարի գիտնական Գոռը գտավ այն, ով նաև հանդիսանում է Արիստոտելի կրտսեր ծոռը։ Նրա գրական կեղծանունն է Գլաֆիրա(որը թարգմանաբար նշանակում է բարեկազմ, նրբագեղ

Սահմանում

Կոմպլեքս թվերի դաշտը կարելի է հասկանալ որպես իրական թվերի դաշտի այնպիսի ընդլայնում, որում հավասարումը, որտեղ անհայտի քառակուսին բացասական է (օրինակ,${\displaystyle \ z^{2}\ =-1}$ ), ունի լուծում։ Այլ ձևով կարելի է ասել, որ իրական թվերի դաշտը լրացվում է բացասական մեծությունների արմատներով, որոնք կոչվել են կեղծ թվեր։
Ցանկացած այսպիսի կեղծ թիվ կարելի է ներկայացնել երկու իրական թվերի և պարզ կեղծ արտադրիչի օգնությամբ՝ ${\displaystyle \ x+iy}$, որտեղ ${\displaystyle \ x}$-ը և ${\displaystyle \ y}$-ը իրական թվեր են, իսկ ${\displaystyle \ i}$-ն՝ կեղծ միավոր։ Հիմք ընդունելով սա, կեղծ թիվը այժմ հաճախ անվանում են կոմպլեքս։ Կոմպլեքս թվի այսպիսի ներկայացումը կոչվում է հանրահաշվական։ Գոյություն ունեն կոմպլեքս թվերի ներկայացման այլ ձևեր։
Հաջորդ երկու պարզ մոդելները ցույց են տալիս, որ թվերի նման չհակասող համակարգի ստեղծումը հնարավոր է։ Բերված երկու սահմանումները բերում են իրական թվերի դաշտի ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ընդլայնման իզոմորֆությանը, ինչպես և ${\displaystyle \ z^{2}+1}$ բազմանդամի դաշտերի այլ կառուցվածքներ։ Կոմպլեքս թվերը ստեղծում են հանրահաշվորեն փակ դաշտ, ինչը նշանակում է, որ կոմպլեքս գործակիցներով ${\displaystyle \ n}$ աստիճանի բազմանդամը ունի ճիշտ ${\displaystyle \ n}$ կոմպլեքս արմատներ (հանրահաշվի հիմնական թեորեմը)։ Սա հիմնական պատճառն է մաթեմատիկական հետազոտություններում կոմպլեքս թվերի լայն կիրառման համար։

Ստանդարտ մոդել

${\displaystyle \ z}$ կարելի է արտահայտել որպես երկու իրական թվերի զույգ՝ ${\displaystyle \ (x,y)}$։ Ներմուծենք այդպիսի զույգերի գումարման և բազմապատկման գործողությունները հետևյալ ձևով՝

• ${\displaystyle \ (x,\;y)+(x',\;y')=(x+x',\;y+y')}$,
• ${\displaystyle \ (x,\;y)\cdot (x',\;y')=(xx'-yy',\;xy'+yx')}$։

Այս մոդելում իրական թվերը հանդիսանում են կոմպլեքս թվերի ենթաբազմություն և ներկայացվում են ${\displaystyle \ (x;0)}$ զույգի տեսքով, ընդ որում այդպիսի զույգերի հետ գործողությունները համընկնում են իրական թվերի գումարման և բազմապատկման գործողությունների հետ։ Զրոն ներկայացվում է ${\displaystyle \ 0=(0;0)}$ զույգով, իսկ մեկը՝ ${\displaystyle \ 1=(1;0)}$ զույգով, իսկ կեղծ միավորը՝ ${\displaystyle \ i=(0;1)}$ զույգով։ Կոմպլեքս թվերի բազմությունում զրոն և մեկը ունեն նույն հատկությունները, ինչպես իրական թվերի բազմությունում, իսկ կեղծ թվի քառակուսին, ինչպես կարելի է ճշտել, հավասար է ${\displaystyle \ (-1;0)}$, այսինքն՝ ${\displaystyle \ -1}$։
Դժվար չէ ցույց տալ, որ վերևում նշված գործողություններն ունեն նույն հատկությունները, ինչ որ նմանատիպ գործողություններն իրական թվերի հետ։ Բացառություն են կազմում միայն հատկությունները, որոնք կապված են կարգերի համեմատման հետ (մեծ-փոքր), որովհետև հնարավոր չէ ընդլայնել միայնակ թվերի կարգը, նրանում ընդգրկելով թվերի զույգերի կարգավորումը, որպեսզի կարգերի համեմատման գործողությունները նախկինի պես լինեն համաձայնեցված։

Մատրիցային մոդել

Կոմպլեքս թվերը կարելի է ներկայացնել նաև իրական մատրիցայի ընտանիքի տեսքով՝
${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}}}$
պարզ մատրիցային գումարումով և արտադրյալով։
Իրական միավորին կհամապատասխանի՝
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$,
կեղծ միավորին՝
${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$։
Նման մատրիցային ներկայացում գոյություն ունի ցանկացած վերջավոր ընդլայնման համար։

Գործողություններ կոմպլեքս թվերի հետ

• Համեմատում՝

${\displaystyle \ a+bi=c+di}$ համեմատումը նշանակում է, որ ${\displaystyle \ a=c}$ և ${\displaystyle \ b=d}$ (երկու կոմպլեքս թվեր հավասար են մեկը մյուսին այն և միայն այն դեպքում, երբ հավասար են նրանց իրական և կեղծ մասերը)։

• Գումարում՝

${\displaystyle \ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}$։

• Հանում՝

${\displaystyle \ (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}$։

• Բազմապատկում՝

${\displaystyle \ (a+bi)\cdot (c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i}$։

• Բաժանում՝

${\displaystyle \ {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+\left({\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\right)i}$։

• Մասնավորապես,՝

${\displaystyle \ {\frac {1}{a+bi}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-\left({\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\right)i}$։

Երկրաչափական մոդել

Նկ. 1 Կոմպլեքս թվի երկրաչափական մոդելը

Հարթության վրա դիտարկենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը։ Յուրաքանչյուր կոմպլեքս թվին ${\displaystyle \ z=x+iy}$ հարթության վրա համապատասխանեցնենք ${\displaystyle \ (x,y)}$ կոորդինատներով կետը (ինչպես նաև շառավիղ-վեկտորը, որը միացնում է կոորդինատների սկզբնակետը այդ կետի հետ)։ Այդպիսի հարթությունը կոչվում է կոմպլեքս (կամ Արգանի հարթություն)։ Նրանում իրական թվերը զբաղեցնում են հորիզոնական հարթությունը, իսկ կեղծ միավորը պատկերվում է ուղղահայաց առանցքի միավորին՝ այդ պատճառով հորիզոնական և ուղղահայաց առանցքները կոչվում են համապատասխանաբար իրական և կեղծ առանցքներ։
Հաճախ հարմար է դիտարկել նաև կոմպլեքս հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը, որում կետի կոորդինատները հանդիսանում են կոորդինատի սկզբնակետից հեռավորությունը (մոդուլը) և կետի շառավիղ-վեկտորի անկյունը (նկարում ցույց է տրված կապույտ սլաքով) հորիզոնական առանցքի նկատմամբ (արգումենտ)։
Այս ներկայացման ձևում կոմպլեքս թվերի գումարը համապատասխանում է շառավիղ-վեկտորների վեկտորային գումարին։ Կոմպլեքս թվերի արտադրյալի ժամանակ նրանց մոդուլները բազմապատկվում են, իսկ արգումենտները գումարվում։ Եթե երկրորդ արտադրիչի մոդուլը հավասար է 1-ի, նրան բազմապատկելը երկրաչափորեն նշանակում է առաջին թվի շառավիղ-վեկտորի պտույտը անկյունով, որն հավասար է երկրորդ թվի արգումենտին։ Այս փաստը ցույց է տալիս տատանումների տեսությունում կոմպլեքս ներկայացման լայն ներկայացումը, որտեղ <մոդուլ> և <արգումենտ> տերմինների փոխարեն օգտագործվում է <ամպլիտուդա> և <փուլ> տերմինները։
Հարթության վրա կոմպլեքս թվերը որպես կետեր ներկայացնելը, իսկ կոմպլեքս թվի վրա բազմապատկելը որպես այդ հարթության գծային ձևափոխություն հնարավոր է այն պատճառով, որ կոմպլեքս թիվը հանդիսանում է երկչափ հանրահաշիվ իրական թվերի դաշտի վրա։
Կոմպլեքս թվի երկրաչափական մոդելը լայնորեն օգտագործվում է հարթաչափությունում, բազմաթիվ հարթաչափական թեորեմաներ կարելի է ապացուցել որպես որոշակի կոմպլեքսային նույնություններ։ Հաճախ այս մեթոդը տալիս է ավելի պարզ ապացույց^[1]։

Ծանոթագրություններ

1. Կուրոշ, Ա․. Բարձրագույն հանրահաշվի դասընթաց. Արխիվացված է օրիգինալից 2021 թ․ օգոստոսի 21-ին. Վերցված է 2021 թ․ օգոստոսի 21-ին.

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 5, էջ 545)։