Valószínűségi változó

A valószínűségi változó a valószínűségszámítás egyik legfontosabb fogalma. Lényegében olyan jelenségek matematikai megfogalmazására, modellezésére alkalmas, melyek véletlentől függő értéket vesznek fel.^[1] Ilyen lehet például egy kockadobás eredménye, egy folyó vízállása vagy az utcán szembe jövő emberek testmagassága. Formálisan, a valószínűségi változó egy kimenetelt jellemez, nem feltétlenül számszerűen.^[2] Nem számszerű véletlen változó lehet mozgásirány, permutáció vagy gráf is, vagy akármilyen más matematikai objektum. Egy kimenetelhez különféle valószínűségi változó rendelhető, amit realizációnak, sztochasztikus folyamat esetén útnak neveznek.^[3]

Bár a valószínűségi változó szemléletes jelentése viszonylag könnyen megragadható, a precíz matematikai meghatározás a huszadik századig váratott magára, és egészen komoly függvénytani illetve mértékelméleti eszközöket használ fel.

Matematikai definíció

Az ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ valószínűségi mező ${\displaystyle \Omega }$ eseményterén értelmezett valós értékű ${\displaystyle X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ függvény pontosan akkor valószínűségi változó, ha

${\displaystyle \left\{\omega \in \Omega :X(\omega )\leq x\right\}\in {\mathcal {A}}\qquad \forall x\in \mathbb {R} }$^[4]

A mértékelmélet kifejezéseivel élve ez úgy fogalmazható meg, hogy ha a valószínűségi mezőt mint mértékteret tekintjük, akkor a valószínűségi változók pontosan az A-mérhető függvények.

Tulajdonképp a definíció azt követeli meg, hogy úgy rendeljünk számokat az eseménytér elemeihez – azaz az elemi eseményekhez – hogy az így kapott függvény "jól viselkedjen" a ${\displaystyle P}$ valószínűségi mérték szerinti integrálás szempontjából. Ez a követelmény ahhoz kell, hogy a valószínűségi változó viselkedésének leírásában, vizsgálatában lehessen kamatoztatni a függvénytan olyan eszközeit, mint az integrál- vagy a differenciálszámítás. A definíció egyenes következménye, hogy a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a megszokott módon definiálható.

Megjegyzések

Általában csak szövegesen adják meg a konkrét adatokat, vagy alapértelmezettnek vesznek néhány dolgot (például: véges esetben szimmetria, az eseményalgebra a hatványhalmaz; folytonos eset: események a Borel-halmazok).

Diszkrét esetben, ha az eseményalgebra a hatványhalmaz, akkor minden függvény mérhető, ezért a mérhetőséggel nem kell foglalkozni. Folytonos esetben azonban már kell a mérhetőséget vizsgálni.

Egyes speciális eseteket mértékelméleti definíció helyett másként is be lehet vezetni.

Valós valószínűségi változók

Valós valószínűségi változók esetén az eseménytér ${\displaystyle \mathbb {R} }$, események a Borel-halmazok. Ezzel az általános definíció így alakul:

A valós valószínűségi változó egy ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ függvény, ami ${\displaystyle \Omega }$ minden ${\displaystyle \omega }$ kimeneteléhez hozzárendel egy valós számot, továbbá teljesíti a mérhetőségi kikötést:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R}$ :\ \lbrace \omega \mid X(\omega )\leq x\rbrace \in \Sigma }

Szavakkal, ez azt fejezi ki, hogy azoknak a kimeneteleknek a halmaza, amelyek realizációja egy érték alá esik, esemény.

A példában ilyen a két kockával dobás ${\displaystyle X_{1}}$, ${\displaystyle X_{2}}$ és ${\displaystyle S}$ valószínűségi változó.

Valószínűségi vektorváltozók

Egy valószínűségi vektorváltozó egy ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ leképezés, ahol ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ dimenzió. Ekkor ${\displaystyle X=(X_{1},\dotsc ,X_{n})}$ koordinátái ${\displaystyle X_{i}\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ valószínűségi változók, amelyek ugyanazon az eseménytéren vannak definiálva. Ekkor ${\displaystyle X}$ eloszlása többdimenziós, és az ${\displaystyle X_{i}}$ koordináták eloszlása peremeloszlás. A várható érték és a szórásnégyzet (vigyázat, nem szórás!) megfelelői többdimenziós eloszlás esetén a várható értékek vektora és a kovarianciamátrix.

A példában ${\displaystyle X=(X_{1},X_{2})}$ kétdimenziós eloszlású valószínűségi változó.

A valószínűségi vektorváltozók nem tévesztendők össze a valószínűségi vektorral. A valószínűségi vektorok adott ${\displaystyle n}$ esetén ${\displaystyle n}$ elemű halmaz elemei közötti átmenetek valószínűségeit írják le; ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ elemei, minden koordinátájuk pozitív, és összegük 1.

Komplex valószínűségi változók

A komplex eset nem különbözik lényegesen a valós kétdimenziós esettől. A képtér ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ezen az események a ${\displaystyle \mathbb {C} }$ és ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ kanonikus megfeleltetésből adódó Borel-halmazok. ${\displaystyle X}$ komplex valószínűségi változó, ha ${\displaystyle \operatorname {Re} (X)}$ és ${\displaystyle \operatorname {Im} (X)}$ is valós valószínűségi változó.

Példák

Pénzfeldobás

A pénzfeldobást leíró valószínűségi változó valószínűségi mezeje a következő:

• az ${\displaystyle \Omega }$ eseménytér a fej és az írás elemekből áll:

${\displaystyle \Omega =\left\{F,I\right\}}$,

• az események ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ σ-algebrája az ${\displaystyle \Omega }$ összes részhalmazából (vagyis az ${\displaystyle \Omega }$ hatványhalmazából) áll:

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\left\{\emptyset ,\Omega ,\left\{F\right\},\left\{I\right\}\right\}}$

• a ${\displaystyle P}$ valószínűségi mérték a következő:

${\displaystyle P(\emptyset )=0;\qquad P\left(\left\{F\right\}\right)=1/2;\qquad P\left(\left\{I\right\}\right)=1/2;\qquad P\left(\left\{F,I\right\}\right)=1.}$

Ekkor valószínűségi változó például a következő ${\displaystyle X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ függvény:

${\displaystyle X(\omega )={\begin{cases}1,&{\text{ha }}\omega =F,\\2,&{\text{ha }}\omega =I\end{cases}}}$

Ez a valószínűségi változó az 1 értéket veszi fel, ha fejet dobunk és a 2 értéket, ha írást.

Kockadobás

Hasonlóan a kockadobást leíró valószínűségi változó valószínűségi mezeje a következő:

• az ${\displaystyle \Omega }$ eseménytér 6 elemből áll, az egyes dobásból, a kettes dobásból, … a hatos dobásból
• az események ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ σ-algebrája most is az ${\displaystyle \Omega }$ összes részhalmazából áll,
• a ${\displaystyle P}$ valószínűségi mérték most a következő: bármely ${\displaystyle H\subseteq \Omega }$ esetén

${\displaystyle P(H)={\frac {\left|H\right|}{6}}}$

vagyis a ${\displaystyle P}$ minden elemi eseményhez 1/6 valószínűséget rendel, és az olyan ${\displaystyle H}$ eseményekhez, melyek ${\displaystyle n}$ elemi eseményt tartalmaznak, ${\displaystyle n/6}$-ot.

A kockadobást leíró valószínűségi változót kapunk a következő függvénnyel: ${\displaystyle X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ olyan, hogy az "egyes dobás" elemi eseményéhez az 1-es számot, a "kettes dobás" elemi eseményéhez a 2-es számot stb. a "hatos dobás" elemi eseményéhez a 6-os számot rendeli.

Ez a valószínűségi változó mindig azt az egész számot veszi fel, amit dobtunk. Azt is lehet látni, hogy ha nem pont az {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmaz lenne az értékkészlete X-nek, hanem például a {2, 4, 6, 8, 10, 12} akkor is a kockadobás véletlen kimeneteit modellezné csak más értékekkel.

Dobás két kockával

Két kockán dobott számok összege:${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P){\xrightarrow {S}}(\Omega ',\Sigma ',P^{S})}$

Két, egymástól megkülönböztethető kockával való dobás modellezhető a következő ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ valószínűségi térrel:

• ${\displaystyle \Omega }$ a 36 kimenetel: ${\displaystyle \Omega =\{(1,1),(1,2),\dotsc ,(6,5),(6,6)\}}$
• ${\displaystyle \Sigma }$ az ${\displaystyle \Omega }$ hatványhalmaza
• Ha feltesszük, hogy a kockák szabályosak, akkor az összes kimenetel valószínűsége ugyanaz. Ekkor a valószínűségi mérték ${\displaystyle P\left(\{(n_{1},n_{2})\}\right)={\tfrac {1}{36}}}$ ha ${\displaystyle n_{1},n_{2}\in \{1,2,3,4,5,6\}}$.

A következőkben az ${\displaystyle X_{1}}$ az első, ${\displaystyle X_{2}}$ a második kockával dobott szám, ${\displaystyle S}$ pedig az összegük. Ezek definíciója a következő:

1. ${\displaystyle X_{1}\colon \Omega \to \mathbb {R}$ ;\quad \left(n_{1},n_{2}\right)\mapsto n_{1},}
2. ${\displaystyle X_{2}\colon \Omega \to \mathbb {R}$ ;\quad \left(n_{1},n_{2}\right)\mapsto n_{2},} és
3. ${\displaystyle S\colon \Omega \to \mathbb {R}$ ;\quad \left(n_{1},n_{2}\right)\mapsto n_{1}+n_{2},}

ahol ${\displaystyle \Sigma '}$ a valós számokon értelmezett Borel-algebra.

Eloszlás

A valószínűségi változóhoz kapcsolódik a képtéren indukált valószínűségi eloszlás. A két fogalmat szinonímaként is használják. Formálisan, ha ${\displaystyle X\;}$ valószínűségi változó, akkor ${\displaystyle \;P^{X}}$ eloszlását mint a ${\displaystyle P\;}$ valószínűség képmértékét értelmezik, azaz

${\displaystyle \;P^{X}(A)=P\left(X^{-1}(A)\right)}$ minden ${\displaystyle A\in \Sigma '}$ esetén,

ahol ${\displaystyle \Sigma '}$ az ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó képterében adott σ-algebra is. A ${\displaystyle \;P^{X}}$ jelölés mellett előfordul ${\displaystyle P_{X},X(P)\;}$ és ${\displaystyle P\circ X^{-1}}$ is.

Például ha normális eloszlású valószínűségi változóról van szó, akkor azzal egy valós értékű valószínűségi változóra gondolnak, aminek eloszlása egy normális eloszlásnak felel meg.

A valószínűségi tulajdonságok kifejezhetők csak a valószínűségi változók közös eloszlása alapján. Nem szükséges ehhez ismerni a valószínűségi mezőt, amin a valószínűségi változók definiálva vannak.

Gyakran eloszlás- vagy sűrűségfüggvényükkel adják meg a valószínűségi változókat, háttérben hagyva a valószínűségi mezőt. Ez a felfogás megengedett a matematikában, mindaddig, amíg valóban létezik az adott eloszláshoz valószínűségi mező. Azonban a konkrét eloszlás ismeretében konstruálható ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ valószínűségi mező, ahol ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }$, ${\displaystyle \Sigma }$ a Borel-halmazok σ-algebrája, és ${\displaystyle P}$ az eloszlásfüggvény által generált Lebesgue-Stieltjes-mérték. A valószínűségi változó az ${\displaystyle X\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ identikus leképezés: ${\displaystyle X(\omega )=\omega }$.^[5]

Több, de véges sok valószínűségi változó esetén is elég a közös eloszlásfüggvényt megadni, a valószínűségi mezőt háttérben hagyva. Megszámlálható végtelen sereget megadva elég véges halmazok közös eloszlásfüggvényeit megadni. Maga a valószínűségi mező kevésbé kérdéses, mint az, hogy létezik-e közös valószínűségi mező megszámlálható végtelen esetben. Független esetben a kérdést Émile Borel oldotta meg, az egységintervallum és a Lebesgue-mérték felhasználásával. Egy lehetséges bizonyítás a kettes számrendszerben írt számok kettedesjegyeit egymásba skatulyázott Bernoulli-folyamatoknak tekinti (a Hilbert-hotelhez hasonlóan).^[6]

Az eloszlás a valószínűségi változó egyik legfontosabb függvénye, ami arról tájékoztat, hogy az milyen értéket milyen valószínűséggel vesz fel, vagy hogy egy megadott intervallumba esésnek mekkora a valószínűsége, például hogy kockával legfeljebb négyest dobunk.

Folytonos valószínűségi változó esetén a sűrűségfüggvény megkönnyíti annak kiszámítását, hogy mekkora annak a valószínűsége, hogy a változó egy adott intervallumba esik. További jellemző értékek a várható érték, a szórás és a magasabb rendű momentumok.

A valószínűségi változók két nagy osztálya

A valószínűségi változók két leggyakrabban emlegetett fajtája a diszkrét és a folytonos valószínűségi változó. Szemléletesen a diszkrét valószínűségi változó olyan, ami elkülönült értékeket tud csak felvenni, a folytonos pedig olyan, ami – legalább egy intervallumon – bármilyen értéket felvehet. Diszkrét valószínűségi változó például az, ami egy kockadobás eredményét írja le, vagy azt, hogy egy üzletbe következőnek betoppanó 8 vendég közül hány férfi. Ezzel szemben folytonosnak tekinthető az a valószínűségi változó, ami azt írja le, hogy az ugyanebbe az üzletbe betoppanó következő vevő milyen magas, vagy hogy egy fáról leszüretelt őszibarack mekkora súlyú, hisz ezek a változók – legalábbis egy intervallumon – akármilyen értéket felvehetnek. (Ez a bekezdés csak szemlélteti a folytonos valószínűségi változók fogalmát, és nem teljesen pontos. A precíz matematikai meghatározás a bekezdés alján megadott szócikkben található.) A konstans valószínűségi változó is diszkrét (elfajult eloszlású): ${\displaystyle X(\omega )=c}$ minden ${\displaystyle \omega }$ esetén.

Fontos megjegyezni, hogy nem csak diszkrét és folytonos valószínűségi változók vannak, tehát ez a két osztály nem adja a valószínűségi változók osztályának partícióját. Se nem folytonos, se nem diszkrét például az a valószínűségi változó, ami a következő kísérletet írja le: feldobunk egy pénzérmét, ha az eredmény fej, akkor a valószínűségi változó értéke legyen 2 ha írás, akkor a valószínűségi változó vegyen fel egy számot véletlenszerűen a [0,1] intervallumon (egyenletes eloszlás szerint).

A folytonos és a diszkrét valószínűségi változókat azért érdemes elkülöníteni a valószínűségi változók nagy osztályából, mert ez a két osztály sok szempontból nagyon jól – és egymástól nagyon eltérően – viselkedik. A várható érték kiszámítására például a diszkrét valószínűségi változók esetében speciális és könnyen számolható képlet adódik, sűrűségfüggvénye pedig csak folytonos valószínűségi változónak lehet.

A pontos matematikai definíciókat az alábbi szócikkek tartalmazzák:

• folytonos valószínűségi változó
• diszkrét valószínűségi változó

Valószínűségi változó további tulajdonságai

Folytonosság

Egy valószínűségi változót több okból nevezhetnek folytonosnak.

• Ha van sűrűségfüggvénye. Ez azt jelenti, hogy eloszlásfüggvénye abszolút folytonos a Lebesgue-mérték szerint.^[7]
• Ha eloszlásfüggvénye folytonos.^[8] Ez azt jelenti, hogy minden ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ valószínűsége nulla, ${\displaystyle P(\{X=x\})=0}$

Mérhetőség

Ha ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó az ${\displaystyle \Omega }$ eseménytéren, és adva van a ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ mérhető függvény, akkor ${\displaystyle Y=g(X)}$ is valószínűségi változó az ${\displaystyle \Omega }$ eseménytéren, mivel mérhető függvények kompozíciója szintén mérhető. A ${\displaystyle g(X)}$ függvényt ${\displaystyle X}$ transzformációjának nevezik.

Ekkor ${\displaystyle Y}$ eloszlásfüggvénye

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y)}$.

Az ${\displaystyle ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}$ valószínűségi mezőn értelmezett ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó várható értéke:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X(\omega )\mathrm {d} P(\omega )\,}$.

Integrálhatóság és kvázi-integrálhatóság

Egy valószínűségi változó integrálható, ha várható értéke létezik és véges. Kvázi-integrálható, ha van várható értéke, de ennek nem kell végesnek lennie. Az integrálható változó kvázi-integrálható is.

Példa a transzformációra

Legyen ${\displaystyle X}$ valós, folytonos eloszlású valószínűségi változó, és ${\displaystyle Y=X^{2}}$. Ekkor

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}\leq y).}$

Esetszétválasztás ${\displaystyle y}$ szerint:

${\displaystyle y<0:}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&&\operatorname {P} (X^{2}\leq y)&=0\\&\Rightarrow &F_{Y}(y)&=0\end{alignedat}}}$

${\displaystyle y\geq 0:}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&&\operatorname {P} \left(X^{2}\leq y\right)&=\operatorname {P} \left(|X|\leq {\sqrt {y}}\right)\\&&&=\operatorname {P} \left(-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}}\right)\\&\Rightarrow &F_{Y}\left(y\right)&=F_{X}\left({\sqrt {y}}\right)-F_{X}\left(-{\sqrt {y}}\right)\end{alignedat}}}$

Standardizálás

Egy valószínűségi változó standardizált, ha várható értéke 0 és szórása 1. Egy ${\displaystyle Y}$ valószínűségi változó standardizáltja:

${\displaystyle Z={\frac {Y-\operatorname {E} (Y)}{\sqrt {\operatorname {Var} (Y)}}}}$

Ez az ${\displaystyle Y}$ valószínűségi változót standard valószínűségi változóvá való transzformálása.

Egyebek

• Időben összefüggő valószínűségi változók sztochasztikus folyamatként foghatók fel.
• Egy valószínűségi változó realizációinak sorozatát véletlen sorozat.
• Egy ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ valószínűségi változó generálja az ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}({\mathcal {B}}):=\{X^{-1}(B)|B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})\}}$ σ-algebrát, ahol ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$ az ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ tér Borel-algebrája.

Több valószínűségi változó kapcsolata

Függetlenség

Két valószínűségi változó, ${\displaystyle X,Y}$ független, ha bármely két intervallum, ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]}$ és ${\displaystyle [a_{2},b_{2}]}$ esetén az ${\displaystyle E_{X}:=\{\omega |X(\omega )\in [a_{1},b_{1}]\}}$ és ${\displaystyle E_{Y}:=\{\omega |Y(\omega )\in [a_{2},b_{2}]\}}$ események függetlenek. Ekkor ${\displaystyle P(E_{X}\cap E_{Y})=P(E_{X})P(E_{Y})}$.

A két kockával dobást bemutató példában ${\displaystyle X_{1}}$ és ${\displaystyle X_{2}}$ függetlenek, de ${\displaystyle X_{1}}$ és ${\displaystyle S}$ nem. Például, ha ${\displaystyle X_{1}=4,}$ akkor ${\displaystyle S}$ nem lehet 2 vagy 3.

Több valószínűségi változó, ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}}$ függetlensége azt jelenti, hogy az ${\displaystyle X=\left(X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}\right)}$ valószínűségi vektorváltozó valószínűsége megfelel a ${\displaystyle P_{X_{1}},P_{X_{2}},\dotsc ,P_{X_{n}}}$ szorzatmértékének.^[9]

Például a három kockával való dobás esetén értelmezhető az ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ valószínűségi mező mint:

${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}^{3}}$,

${\displaystyle \Sigma }$ az ${\displaystyle \Omega }$ hatványhalmaza és

${\displaystyle P\left(\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)\right)={\frac {1}{6^{3}}}={\frac {1}{216}}}$

Ekkor a ${\displaystyle k}$-adik kockával dobás eredménye

${\displaystyle X_{k}\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)=n_{k}}$ ha ${\displaystyle k\in \{1,2,3\}}$.

Szintén lehetséges konstruálni adott eloszlású független valószínűségi változók tetszőleges családjának megfelelő valószínűségi mezőt.^[10]

Azonos eloszlás

Két vagy több valószínűségi változó azonos eloszlású, ha indukált valószínűségeloszlásaik megegyeznek. A két kockával való dobás ${\displaystyle X_{1}}$, ${\displaystyle X_{2}}$ valószínűségi változói azonos eloszlásúak, de ${\displaystyle X_{1}}$ és ${\displaystyle S}$ nem.

Függetlenség és azonos eloszlás

Gyakran vizsgálják valószínűségi változók sorozatát, amelyek függetlenek és azonos eloszlásúak; ezeket független azonos eloszlású valószínűségi változóknak nevezik.

Három kockával való dobáskor ${\displaystyle X_{1}}$, ${\displaystyle X_{2}}$ és ${\displaystyle X_{3}}$ független azonos eloszlású valószínűségi változók. Az első két kockával dobás összege ${\displaystyle S_{1,2}=X_{1}+X_{2}}$ és a második és harmadik kockával dobás összege ${\displaystyle S_{2,3}=X_{2}+X_{3}}$ azonos eloszlású, de nem független. Ezzel szemben ${\displaystyle S_{1,2}}$ és ${\displaystyle X_{3}}$ független, de nem azonos eloszlású.

Felcserélhetőség

Valószínűségi változók felcserélhető családjai azok a családok, ahol az eloszlások változatlanok maradnak, ha a családban véges sok valószínűségi változót felcserélnek. Ez megköveteli az azonos eloszlást, de a függetlenséget nem.

A valószínűségi változót jellemző függvények

• eloszlásfüggvény
• sűrűségfüggvény
• karakterisztikus függvény
• generátorfüggvény

A valószínűségi változót jellemző értékek

• várható érték
• szórás
• kvantilisek
• momentumok
• ferdeség
• lapultság (csúcsosság)
• medián
• módusz

Fontosabb valószínűségi eloszlások

• Bernoulli-eloszlás
• Béta-eloszlás
• Binomiális eloszlás
• Borel-eloszlás (Borel-Tanner-eloszlás)
• Breit–Wigner-eloszlás
• Cauchy-eloszlás
• Dirichlet-eloszlás
• Egyenletes eloszlás
• elfajult eloszlás
• Erlang-eloszlás
• Exponenciális eloszlás
• F-eloszlás
• Gamma-eloszlás (Γ-eloszlás)
• Gauss-eloszlás
• Geometriai eloszlás
• Hiperexponenciális eloszlás
• Hipergeometrikus eloszlás
• Indikátor eloszlás
• Karakterisztikus eloszlás
• Khí-négyzet eloszlás (χ²-eloszlás)
• Logisztikus eloszlás
• Lognormális eloszlás (logaritmikusan normális eloszlás, logaritmiko-normális eloszlás)
• Markov-Pólya-Eggenberger-eloszlás
• Negatív binomiális eloszlás
• Normális eloszlás (normál eloszlás)
• Pareto-eloszlás
• Pascal-eloszlás
• Pearson-féle eloszlások
• Poisson-eloszlás
• Polihipergeometrikus eloszlás
• Polinomiális eloszlás
• Student-eloszlás
• t-eloszlás
• valódi eloszlás
• Weibull-eloszlás (Weibull-Gnedenko-eloszlás)

Jegyzetek

1. Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Vieweg+Teubner Verlag, 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, doi:10.1007/978-3-8348-9351-2, S. 12.
2. Jörg Bewersdorff. [korlátozott előnézet a Google Könyvekben Glück, Logik und Bluff. Mathematik im Spiel - Methoden, Ergebnisse und Grenzen], 6., Wiesbaden: Springer Spektrum (2012). ISBN 978-3-8348-1923-9
3. David Meintrup, Stefan Schäffler. Stochastik. Theorie und Anwendungen. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag (2005). ISBN 978-3-540-21676-6
4. Karl Hinderer: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin 1980, ISBN 3-540-07309-4 (nicht überprüft)
5. Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3, Definition 5.6.2.
6. Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. 2. Ausgabe. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95313-2, S. 55.
7. Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 11. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, Definition 2.3.3.
8. Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3, S. 210.
9. Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3 (Definition 5.8.1)
10. Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3, Kapitel 11.4.

Források

• Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
• Jánossy L. (1965): A valószínűségelmélet alapjai és néhány alkalmazása. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Kleinrock L. (1979): Sorbanállás, kiszolgálás. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.
• Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.
• Medgyessy P. – Takács L. (1973): Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Michaletzky Gy. – Mogyoródi J. (1995): Matematikai statisztika, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.
• Michelberger P. – Szeidl L. – Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
• Vargha A. (2000): Matematikai statisztika pszichológiai, nyelvészeti és biológiai alkalmazásokkal. Pólya Kiadó, Budapest.
• Vetier A. (1991): Szemléletes mérték- és valószínűségelmélet. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Karl Hinderer: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 1980, ISBN 3-540-07309-4.
• Erich Härtter: Wahrscheinlichkeitsrechnung für Wirtschafts- und Naturwissenschaftler. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974, ISBN 3-525-03114-9.
• Michel Loève: Probability Theory I. 4. Auflage. Springer, 1977, ISBN 0-387-90210-4.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Zufallsvariable című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

Kapcsolódó szócikkek

• Bienaymé-formula