Momentum (matematika)

A valószínűségszámításban egy valószínűségi változó momentumai több, a változó eloszlását jellemző számértéket is takarnak. Általánosan az X valószínűségi változó k-adik momentuma bármely k pozitív egész szám esetén az E(X^k) által felvett értékként határozható meg (feltéve, hogy ez az érték létezik), ahol E(X) az X várható értékét jelöli.

Ez a szócikk a valószínűségi változók momentumairól szól. Hasonló címmel lásd még: Momentum (egyértelműsítő lap).

Az X valószínűségi változó k-adik momentumának jelölését tekintve a szakirodalom nem egységes. Sok esetben – a várható értéktől, szórástól, ferdeségtől vagy lapultságtól eltérően – nem szoktak külön jelölést bevezetni, hanem kiírják az E(X^k)-t. Találkozhatunk helyenként a μ_k = E(X^k) jelöléssel, más könyvekben viszont a μ_k a centrális momentumot jelöli.

Az eloszlásfüggvényt momentumainak sorozata meghatározza, amennyiben a momentumgeneráló függvény konvergens. Az előre megadott momentumokkal bíró eloszlás meghatározása a momentumprobléma, ami fontos a technikai mechanikában.

Vannak eloszlások, amelyeknek csak véges sok momentuma létezik. Ide tartoznak a t-eloszlások, amelyeknek csak olyan rendű momentumai vannak, amelyek kisebbek a szabadsági fokánál. Speciálisan, a Cauchy-eloszlás esetén már első momentum, a várható érték sincs; ugyanez a helyzet a Lévy-eloszlással.

Definíció

Legyen ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó, és ${\displaystyle k}$ természetes szám. Ekkor ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$-adrendű momentuma vagy ${\displaystyle k}$-adik momentuma ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$‑-adik hatványának várható értéke, feltéve, hogy az létezik:

${\displaystyle m_{k}:=\operatorname {E} \left(X^{k}\right),}$

${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$-adik abszolút momentuma az ${\displaystyle |X|}$ abszolútérték ${\displaystyle k}$-adik hatványának várható értéke:

${\displaystyle M_{k}:=\operatorname {E} \left(\left|X\right|^{k}\right).}$

Elméleti vizsgálatokban a ${\displaystyle k}$ nem feltétlenül egész, ilyenkor ${\displaystyle \kappa }$-val jelölik. Bizonyos rendű momentumok létezése az egész eloszlást jellemzi általánosan. Az első momentum a várható érték. Gyakori jelölése: ${\displaystyle \mu }$, és az eloszlás középértékének tekinthető.

Valós valószínűségi változó momentumai

Legyen ${\displaystyle X}$ az ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ valószínűségi mezőn értelmezve és eloszlásfüggvénye ${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)}$. Ekkor a momentumok kifejezhetők Stieltjes-integrállal a várható érték definíciója alapján:

${\displaystyle m_{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{k}\,\mathrm {d} F_{X}(x)}$.

Ha ${\displaystyle X}$ abszolút folytonos valószínűségi változó, és sűrűségfüggvénye ${\displaystyle f_{X}}$, akkor:

${\displaystyle m_{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{k}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x}$,

Diszkrét valószínűségi változó esetén, aminek értékei ${\displaystyle x_{i}}$ és valószínűségei ${\displaystyle p_{i}=P(X=x_{i})}$:

${\displaystyle m_{k}=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}^{k}\cdot p_{i}}$.

A ${\displaystyle P}$ valószínégi mérték szerinti Lebesgue-integrállal ezek egységesen:

${\displaystyle m_{k}=\int _{\Omega }X^{k}\,\mathrm {d} P}$.

Centrális momentumok

A fent definiált momentumok mellett centrális momentumokat is értelmeznek, amelyek figyelembe veszik a várható értéket is.

${\displaystyle \mu _{k}:=\operatorname {E} \left(\left(X-\mu \right)^{k}\right)}$

és

${\displaystyle {\bar {\mu }}_{k}:=\operatorname {E} \left(\left|X-\mu \right|^{k}\right).}$

Az első abszolút centrális momentum a standard abszolút eltérés:

${\displaystyle {\bar {\mu }}_{1}:=\operatorname {E} \left(\left|X-\mu \right|\right).}$

A második centrális momentum a szórásnégyzet:

${\displaystyle \mu _{2}=\operatorname {E} \left(\left(X-\mu \right)^{2}\right)}$

A harmadikból és a negyedikből számítják a ferdeséget és a lapultságot. A ferdeség a szimmetrikustól való eltérést, a lapultság az eloszlás alakját jellemzi. Magasabb momentumoknak is nevezik őket.

Momentumok, karakterisztikus függvény és kumulánsok

A karakterisztikus függvény képletének többszörös deriválásával kifejezhetjük a közönséges momentumokat a karakterisztikus függvénnyel

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{k})={\frac {\varphi _{X}^{(k)}(0)}{i^{k}}}\quad (k=1,2,\dots )}$

A momentumgeneráló függvényből is megkaphatók a momentumok. A ${\displaystyle k}$-adik momentum kifejezhető az első ${\displaystyle k}$ kumuláns ${\displaystyle \kappa _{1},\dots ,\kappa _{k}}$ polinomjaként. Ez éppen a ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle k}$-adik teljes Bell-polinom:

${\displaystyle m_{k}=B_{k}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{k})}$.

Markov-egyenlőtlenség

A momentumok jelentőségét a Markov-egyenlőtlenség világítja meg:

Ha az ${\displaystyle X}$ valószínűségi változónak létezik a ${\displaystyle k}$-adik ${\displaystyle M_{k}}$ abszolút momentuma, akkor

${\displaystyle P(|X|\geq x)\leq {\frac {M_{k}}{x^{k}}}}$,

ami a nagy abszolút értékű értékekről tesz kijelentést. Speciálisan, ha ${\displaystyle k=2}$, akkor a becslés a szórásnégyzetről szól:

${\displaystyle P(|X-\operatorname {E} (X)|\geq x)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{x^{2}}}}$,

a Csebisev-egyenlőtlenség, ami a nagy eltéréseket becsli.

Közös momentumok

A momentum fogalma kiterjeszthető több valószínűségi változó esetére. Ha ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ valószínűségi változó, akkor közös momentumaik

${\displaystyle m_{k\ell }=\operatorname {E} \left(X^{k}Y^{\ell }\right)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x^{k}y^{\ell }f_{XY}(x,y)\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y}$

ahol ${\displaystyle f_{XY}}$ közös sűrűségfüggvény.

A centrális közös momentumok hasonlóan definiálhatók:

${\displaystyle \mu _{k\ell }=\operatorname {E} \left((X-\operatorname {E} (X))^{k}(Y-\operatorname {E} (Y))^{\ell }\right)}$.

Ahol ${\displaystyle \mu _{11}}$ az ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ kovarianciája.

Számítás

A momentumok számításához a first-order second-moment eljárás ad közelítő eredményt.

További momentumok

A valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában más momentumok is előfordulnak, ezek közül a legfontosabbak:

• abszolút momentum
• centrális momentum
• abszolút centrális momentum
• faktoriális momentum

A momentum speciális esete a kezdeti momentum, melyet a centrális momentum definiálása kapcsán szoktak bevezetni.

Megjegyzések

• A k-adik momentum kifejezés helyett szokás k-ad rendű momentumot is használni.

• Látható, hogy az első momentum azonos a várható értékkel, vagyis a momentum tekinthető a várható érték általánosításának is.

Források

• Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
• Medgyessy P. – Takács L. (1973): Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Michelberger P. – Szeidl L. – Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
• Athanasios Papoulis, S. Unnikrishna Pillai: Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. McGraw-Hill Publishing Co.; 4Rev Ed edition (2002), ISBN 0-07-366011-6.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Moment (Stochastik) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.