Indikátor eloszlás

Legyen ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ valószínűségi mező és ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ tetszőleges esemény, ha ${\displaystyle X:\Omega \rightarrow \{0,1\}}$ olyan valószínűségi változó, amely minden ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ esetén

${\displaystyle X(\omega )={\begin{cases}1&{\text{ha }}\omega \in A\\0&{\text{ha }}\omega \notin A{\text{,}}\end{cases}}}$

akkor az ${\displaystyle X}$ valószínűségi változót az ${\displaystyle A}$ esemény indikátorának nevezzük. Ha ${\displaystyle P(A)=p}$, akkor ${\displaystyle P(X=1)=p}$ és ${\displaystyle P(X=0)=1-p}$, mivel ${\displaystyle X=1}$ pontosan akkor teljesül, ha ${\displaystyle X\in A}$, ezért ${\displaystyle P(X=1)=P(X\in A)=P(A)=p}$. Hasonlóan, ${\displaystyle X=0}$ pontosan akkor teljesül, ha ${\displaystyle X\in {\overline {A}}}$, ezért ${\displaystyle P(X=0)=P(X\in {\overline {A}})=P(X\in \Omega \setminus A)=P(X\in \Omega )-P(X\in A)=1-P(A)=1-p}$. Ekkor ${\displaystyle X\sim Ind(p)}$ eloszlású valószínűségi változó.

Az indikátor eloszlást jellemző számok

Várható értéke

${\displaystyle E(X)=p}$

Szórása

${\displaystyle D(X)={\sqrt {p(1-p)}}}$

Momentumai

${\displaystyle E(X^{n})=p}$

Források

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap