Az X valószínűségi változó normális eloszlás t követ – vagy rövidebben: normális eloszlású – pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye
f
(
x
)
=
1
σ
2
π
⋅
e
−
(
x
−
m
)
2
2
σ
2
,
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\cdot e^{-{\frac {(x-m)^{2}}{2\sigma ^{2}}}},}
A normális eloszlás sűrűségfüggvénye, ha
m = 0 és σ² = 0,2
m = 0 és σ² = 1 (standard normális eloszlás)
m = 0 és σ² = 5
m = –2 és σ² = 0,5
ahol a két paraméter, m és σ ∈ R , valamint σ > 0. A normális eloszlást szokták Gauss-eloszlás nak vagy néha normál eloszlás nak is nevezni.
Azt, hogy az X valószínűségi változó normális eloszlást követ, a következő módon szoktuk jelölni:
X
∼
N
(
m
,
σ
2
)
.
{\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(m,\sigma ^{2}).}
Speciálisan, ha X ~ N (0, 1), akkor X -et standard normális eloszlásúnak (vagy sztenderd normális eloszlásúnak) nevezzük.
A fenti sűrűségfüggvény grafikonját alakja miatt szokás haranggörbé nek nevezni.
Eloszlás függvénye
F
(
x
)
=
∫
−
∞
x
1
σ
2
π
⋅
e
−
(
t
−
m
)
2
2
σ
2
d
t
(
=
∫
−
∞
x
f
(
t
)
d
t
)
{\displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\cdot e^{-{\frac {(t-m)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}dt\left(=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)dt\right)}
Karakterisztikus függvénye
φ
(
t
)
=
e
i
t
m
−
σ
2
t
2
2
{\displaystyle \varphi (t)=e^{itm-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}}
Maximumhelye m (de nem emiatt lesz az eloszlás várható értéke is m , az egybeesés a szimmetriának köszönhető).
Szimmetrikus a maximumhelyére vonatkozóan.
(
∀
x
∈
R
)
f
(
x
)
>
0
{\displaystyle (\forall x\in \mathbb {R} )f(x)>0}
lim
x
→
−
∞
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=0}
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=0}
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
d
x
=
1
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1}
Folytonos függvény .
Várható értéke
E
(
X
)
=
m
{\displaystyle \mathbf {E} (X)=m}
Szórása
D
(
X
)
=
σ
{\displaystyle \mathbf {D} (X)=\sigma }
Momentumai
E
(
X
p
)
=
{
0
ha
p
páratlan,
σ
p
(
p
−
1
)
!
!
ha
p
páros.
{\displaystyle \mathrm {E} \left(X^{p}\right)={\begin{cases}0&{\text{ha }}p{\text{ páratlan,}}\\\sigma ^{p}\,(p-1)!!&{\text{ha }}p{\text{ páros.}}\end{cases}}}
Abszolút momentumai
E
(
|
X
|
p
)
=
σ
p
(
p
−
1
)
!
!
⋅
{
2
π
ha
p
páratlan
1
ha
p
páros
}
=
σ
p
⋅
2
p
2
Γ
(
p
+
1
2
)
π
{\displaystyle \operatorname {E} \left(|X|^{p}\right)=\sigma ^{p}\,(p-1)!!\cdot \left.{\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}&{\text{ha }}p{\text{ páratlan}}\\1&{\text{ha }}p{\text{ páros}}\end{cases}}\right\}=\sigma ^{p}\cdot {\frac {2^{\frac {p}{2}}\Gamma \left({\frac {p+1}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}}
Ferdesége
β
1
(
X
)
=
0
{\displaystyle \beta _{1}(X)=0\,}
Lapultsága
β
2
(
X
)
=
0
{\displaystyle \beta _{2}(X)=0\,}
Ha X ~ N (m , σ²), akkor bármilyen nullától különböző valós a és bármilyen valós b szám esetén az Y = aX + b valószínűségi változó is normális eloszlást követ, pontosabban Y ~ N (am + b , a ²σ²). Az eloszlás eme tulajdonságán alapul a standardizálás módszere: ha X ~ N (m , σ²), akkor (X –m )/σ ~ N (0, 1).
Normális eloszlású független valószínűségi változók összege is normális eloszlású. Pontosabban ha X 1 ~ N (m 1 , σ1 ²) és X 2 ~ N (m 2 , σ2 ²) független valószínűségi változók, akkor X 1 + X 2 ~ N (m 1 + m 2 , σ1 ² + σ2 ²).
Fordítva: ha X 1 és X 2 független valószínűségi változó, és X 1 + X 2 normális eloszlású, akkor X 1 is és X 2 is normális eloszlású.
1989 -ben a Német Szövetségi Bank olyan 10 márkás bankjegyet bocsátott ki, melyen Gauss képe mellett a standard normális eloszlás sűrűségfüggvényének grafikonja és képlete is látható.[1] Ez a bankjegy 2001 -ig volt forgalomban, amikor is Németország áttért az euróra .
Fazekas István (szerk.): Bevezetés a matematikai statisztikába (Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2000 )
Lukács Ottó: Matematikai statisztika (Műszaki, 2002 ) ISBN 963-16-3036-6