Bernoulli-eloszlás

A valószínűségszámításban és a statisztika területén a Bernoulli-eloszlás egy diszkrét valószínűség-eloszlás.^[1]

Ezt az eloszlást Jakob Bernoulli (1654-1705) svájci matematikusról nevezték el.

Egy Bernoulli-kísérlet kimenetele kétféle lehet, ennek megfelelően a Bernoulli-eloszlás két értéket vehet fel: ha a p valószínűségű esemény bekövetkezik, akkor 1 értékét vesz fel, ha nem következik be, akkor 0 értéket vesz fel.

Így ha X valószínűségi változó ezt az eloszlást követi, akkor:

${\displaystyle \Pr(X=1)=p{\text{ és }}\Pr(X=0)=1-p=q.\!}$

A Bernoulli-eloszlás klasszikus példája, ha feldobunk egy pénzérmét. Az érme p valószínűséggel esik le fejre, és 1-p valószínűséggel írásra.

A kísérlet akkor korrekt, ha p=0,5.

A valószínűség tömegfüggvénye:

${\displaystyle f(k;p)={\begin{cases}p&{\text{ha }}k=1,\\[6pt]1-p&{\text{ha }}k=0.\end{cases}}}$

Ezt a következőképpen is kifejezhetjük:

${\displaystyle f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\!\quad {\text{ha }}k\in \{0,1\}.}$

A Bernoulli valószínűségi változó X várható értéke ${\displaystyle E\left(X\right)=p}$, szórásnégyzete:

${\displaystyle {\textrm {var}}\left(X\right)=p\left(1-p\right).\,}$

A Bernoulli-eloszlás, a binomiális eloszlás speciális esete.^[2]

Az eloszlás lapultsága, a p alacsony, és magas értékeinél végtelenhez tart, de p=1/2 esetben, a Bernoulli eloszlás lapultsága alacsonyabb bármely más valószínűség eloszlásnál (-2). A Bernoulli-eloszlás az úgynevezett exponenciális családba tartozik.

A p maximális valószínűségi becslése az átlagos minta véletlenszerű mintáján alapul.

Kapcsolódó eloszlások

• Ha ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ független, Bernoulli-eloszlású valószínűségi változók p valószínűséggel, akkor

${\displaystyle Y=\sum _{k=1}^{n}X_{k}\sim \mathrm {Binomial} (n,p)}$ (binomiális eloszlás (n,p) paraméterekkel). A Bernoulli-eloszlás a binomiális eloszlás speciális esete: ${\displaystyle \mathrm {Binomial} (1,p)}$.

• A kategorikus eloszlás a Bernoulli-eloszlás általánosítása diszkrét értékű konstansokra.
• A béta-eloszlás a Bernoulli-eloszlás konjugált priorja.

Kapcsolódó szócikkek

• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Lapultság
• Binomiális eloszlás
• Gamma-eloszlás
• Gumbel-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Valószínűségi változó
• Kategorikus eloszlás
• Béta-eloszlás

Jegyzetek

1. Archivált másolat. [2014. március 11-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2012. április 9.)
2. Archivált másolat. [2012. március 19-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2012. április 9.)

Források

• Horváth Gézáné: Kvantitatív módszerek I. Fejezetek a valószínűségszámításból. (hely nélkül): PERFEKT ZRT. 2005. ISBN 9789633945902
• Johnson, N.L – Kotz, S – Kemp A: Univariate Discrete Distributions. 2. kiadás. (hely nélkül): Wiley. 1993. ISBN 0-471-54897-9
• Weisstein, Eric W.: Bernoulli Distribution (angol nyelven). Wolfram MathWorld

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap