Variancia

A variancia avagy szórásnégyzet a valószínűségszámításban egy valószínűségi változó eloszlását jellemző szóródási mérőszám.^[1] A szórásnégyzet megmutatja, hogy egy valószínűségi változó milyen mértékben szóródik a várható érték (középérték) körül. A szórásnégyzet a valószínűségi változó második centrális momentuma, gyakran használják ezt a paramétert a sokféle eloszlás megkülönböztetésére, valamint elméleti számításoknál.

A szórást és az abszolút eltérést egyaránt használják eloszlások jellemzésére. A szórás jobban jellemző, mint az abszolút eltérés, valamint együtt a szórásnégyzettel és a kovarianciával alkalmazzák az elméleti statisztikában. Az abszolút eltérés robusztusabb és kevésbé érzékeny a nagy eltérésekre, melyek mérési anomáliákból származnak.

A szórásnégyzet a valószínűségi változó változásainak a mértéke, tekintetbe véve az összes lehetséges értéket és annak valószínűségeit.

Definíció

Ha egy X valószínűségi változó várható értéke (középértéke) μ = E[X], akkor az X szórásnégyzete az X saját magával vett kovarianciája:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {Cov} (X,X)\\&=\operatorname {E} \left[(X-\mu )(X-\mu )\right]\\&=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right].\end{aligned}}}$

Azaz a szórásnégyzet a változó és a várható értéke közötti különbség négyzetének várható értéke. A kovariancia megfelelő kifejezéséből kiterjesztve:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {Cov} (X,X)\\&=\operatorname {E} \left[XX\right]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-(\operatorname {E} [X])^{2}.\end{aligned}}}$

A leggyakrabban használt levezetés a várható értékből:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} (X^{2}-2\,X\,\operatorname {E} (X)+(\operatorname {E} (X))^{2})\\&=\operatorname {E} (X^{2})-2(\operatorname {E} (X))^{2}+(\operatorname {E} (X))^{2}\\&=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}.\end{aligned}}}$

Példa

Tekintsünk egy hatoldalú szabályos dobókockát. A dobás után a várható érték:

${\displaystyle {\frac {1}{6}}(1+2+3+4+5+6)=3.5.}$

A várható abszolút eltérés (az azonosan valószínű abszolút eltérések várható értéke a középértéktől):

${\displaystyle {\frac {1}{6}}(|1-3.5|+|2-3.5|+|3-3.5|+|4-3.5|+|5-3.5|+|6-3.5|)={\frac {1}{6}}(2.5+1.5+0.5+0.5+1.5+2.5)=1.5.}$

A várható négyzetes eltérés, a szórásnégyzet:

${\displaystyle {\frac {1}{6}}(2.5^{2}+1.5^{2}+0.5^{2}+0.5^{2}+1.5^{2}+2.5^{2})=17.5/6\approx 2.9.}$

Folytonos valószínűségi változó esete

Ha X egy folytonos valószínűségi változó f(x) sűrűségfüggvénnyel, akkor a szórásnégyzet egyenlő a második centrális momentummal:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}=\int (x-\mu )^{2}\,f(x)\,dx\,=\int x^{2}\,f(x)\,dx\,-\mu ^{2}}$

ahol ${\displaystyle \mu }$, a várható érték,

${\displaystyle \mu =\int x\,f(x)\,dx\,}$

Az integrál határozott integrál. Ha a folytonos eloszlásnak nincs várható értéke, mint a Cauchy-eloszlás esetében, akkor szórásnégyzete sincs. Több más eloszlásnak sincs szórásnégyzete, ha nem létezik várható értéke.

Diszkrét valószínűségi változó esete

Ha X egy diszkrét valószínűségi változó, ${\displaystyle x_{1}\mapsto p_{1},x_{2}\mapsto p_{2},\ldots ,x_{n}\mapsto p_{n}}$ tömegfüggvénnyel, akkor

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}(p_{i}\cdot (x_{i}-\mu )^{2})=\sum _{i=1}^{n}(p_{i}\cdot x_{i}^{2})-\mu ^{2}}$

ahol ${\displaystyle \mu }$, a várható érték:

${\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot x_{i}}$ .

Exponenciális eloszlás

Az exponenciális eloszlás ${\displaystyle \lambda }$ paraméterrel, egy folytonos eloszlás ${\displaystyle \left[0,\infty \right)}$ tartományban, a sűrűségfüggvénye:

${\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\,}$

a várható érték: ${\displaystyle \mu ={\frac {1}{\lambda }}}$, és így a szórásnégyzet:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)(x-\mu )^{2}\,dx=\int _{0}^{\infty }\lambda e^{-\lambda x}(x-\lambda ^{-1})^{2}\,dx=\lambda ^{-2}.\,}$

σ² = μ².

Főbb tulajdonságok

A szórásnégyzet nem lehet negatív:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)\geq 0.}$

Egy állandó változó szórásnégyzete zéró, és ha a szórásnégyzet zéró, akkor 1 valószínűséggel állandó a változó:

${\displaystyle P(X=a)=1\Leftrightarrow \operatorname {Var} (X)=0.}$

A szórásnégyzet invariáns a helyparaméter változásaira, ha egy állandót adunk hozzá a változóhoz, a szórásnégyzet nem változik:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X+a)=\operatorname {Var} (X).}$

Ha a változót megszorozzuk egy konstanssal, a szórásnégyzet a konstans négyzetével változik.

${\displaystyle \operatorname {Var} (aX)=a^{2}\operatorname {Var} (X).}$

Irodalom

• Goodman, Leo A: On the exact variance of products. (hely nélkül): Journal of the American Statistical Association. 1960. 708–713. o. ISBN 978-963-279-026-8

Kapcsolódó szócikkek

• Valószínűség-eloszlások listája
• Normális eloszlás
• Bernoulli-eloszlás
• Binomiális eloszlás
• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Gumbel-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Burr-eloszlás
• Lapultság
• Módusz
• Binomiális eloszlás
• Negatív binomiális eloszlás
• Geometriai eloszlás
• Hipergeometrikus eloszlás
• Béta-binomiális eloszlás
• Kategorikus-eloszlás
• Multinomiális eloszlás
• Többváltozós hipergeometrikus eloszlás
• Poisson-eloszlás
• Exponenciális eloszlás
• Khí-négyzet eloszlás
• T-eloszlás
• F-eloszlás
• Bayes-tétel
• Béta-eloszlás
• Gamma-eloszlás
• Dirichlet-eloszlás
• Wishart-eloszlás

Jegyzetek

1. Montgomery, D. C. and Runger, G. C. (1994) Applied statistics and probability for engineers, page 201. John Wiley & Sons New York