Negatív binomiális eloszlás

Az X valószínűségi változó r rendű és p paraméterű negatív binomiális eloszlást követ – vagy rövidebben negatív binomiális eloszlású – pontosan akkor, ha

${\displaystyle \mathbf {P} (X=r+k)={\binom {k+r-1}{r-1}}p^{r}(1-p)^{k},\quad k=0,1,2,...\quad ,}$

ahol 0 < p ≤ 1.

Azt, hogy az X valószínűségi változó r rendű p paraméterű negatív binomiális eloszlást követ, néha következő módon jelölik: X ∼ NB(r,q) ahol q = 1 – p.

Speciálisan, ha X ∼ NB(1,q), akkor X-et geometriai eloszlásúnak nevezzük.

A binomiális eloszlású valószínűségi változóval az a véletlen esemény ragadható meg, amikor visszatevéses mintavétel mellett addig ismételjük a mintavételt, amíg r-szer tapasztalunk egy előre meghatározott eredményt. A binomiális eloszlású valószínűségi változó azt mutatja meg, hogy mi a valószínűsége annak, hogy pont k-szor kell megismételni a mintavételt ahhoz, hogy r-szer forduljon elő a meghatározott eredmény.

A negatív binomiális eloszlást jellemző függvények

Karakterisztikus függvénye

${\displaystyle \varphi (t)=\left({\frac {p}{1-(1-p)e^{it}}}\right)^{r}}$

Generátorfüggvénye

${\displaystyle G(z)=\left({\frac {p}{1-(1-p)z}}\right)^{r}\,}$

A negatív binomiális eloszlást jellemző számok

Várható értéke

${\displaystyle \mathbf {E} (X)={\frac {r}{p}}}$

Szórása

${\displaystyle \mathbf {D} (X)={\frac {\sqrt {r(1-p)}}{p}}}$

Momentumai

Ferdesége

${\displaystyle \beta _{1}(X)={\frac {2-p}{\sqrt {r(1-p)}}}}$

Lapultsága

${\displaystyle \beta _{2}(X)={\frac {1+4(1-p)+(1-p)^{2}}{r(1-p)}}}$

Negatív binomiális eloszlású valószínűségi változók néhány fontosabb tulajdonsága

• Negatív binomiális eloszlású független valószínűségi változók összege is negatív binomiális eloszlású – ha azonos a p paraméterük. Pontosabban ha X₁ ∼ NB(r₁, 1 – p) és X₂ ∼ NB(r₂, 1 – p) független valószínűségi változók, akkor X₁ + X₂ ∼ NB(r₁ + r₂, 1 – p).

Források

• Arató M. (2001): Nem-élet biztosítási matematika. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest.
• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap