Generátorfüggvény

A matematikában az ${\displaystyle r_{0},r_{1},\dots ,r_{i},\dots }$ sorozat generátorfüggvénye az ${\displaystyle R(x)=\sum _{i=0}^{\infty }r_{i}x^{i}}$ hatványsor.

Több alkalmazása is lehetséges. Segítségével a sorozat további jellemzői deríthetők ki, illetve egyes jellemző mennyiségek számítását is megkönnyíti. A generátorfüggvényt használjuk a matematikai rekurzív sorozatok n-edik tagjának meghatározására, mint például a Fibonacci-számoknál.

A statisztikában és a valószínűségszámításban a diszkrét valószínűségi változók számára a sorozatokhoz hasonlóan definiálnak generátorfüggvényt:

${\displaystyle G_{\chi }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}z^{k}}$ (itt χ jelöli a valószínűségi változót, ${\displaystyle p_{k}}$ pedig a ${\displaystyle P(\chi =k)}$ valószínűséget).

A valószínűségszámításban a valószínűséggeneráló függvény segítségével meghatározhatók az eloszlás és a valószínűségi változó különféle jellemzői, illetve megkönnyíti bizonyos műveletek (független valószínűségi változók összegének jellemzése, konvolúció, összeg kiszámítása).

Tulajdonságai

• Kapcsolat a várható értékkel: ${\displaystyle G_{\chi }(z)=\mathbf {E} z^{\chi }}$
• A generátorfüggvény hatványsora abszolút konvergens a |z|<1 körben. Ebben a körben a generátorfüggvény differenciálható, a deriválás tagonként elvégezhető, és a derivált hatványsor is konvergens ezen a körön belül.
• A generátorfüggvény és az eloszlás kölcsönösen meghatározza egymást. Ez a kapcsolat folytonos. A generátorfüggvény k-adik deriváltjával:

${\displaystyle p_{k}={\frac {G_{\chi }(x)^{(k)}(0)}{k!}}}$

• Ha a hatványsor nagyobb körben is konvergál, akkor:

${\displaystyle G'_{\chi }(z)=\sum _{k=1}^{\infty }kp_{k}z^{k-1}=\sum _{k=0}^{\infty }kp_{k}z^{k-1}}$

${\displaystyle G'_{\chi }(1)=\mathbf {E} \chi }$

• Tetszőleges r-re:

${\displaystyle G_{\chi }^{(r)}(z)=\sum _{k=r}^{\infty }k(k-1)\dots (k-r+1)p_{k}z^{k-r}=\sum _{k=0}^{\infty }k(k-1)\dots (k-r+1)p_{k}z^{k-r}}$

• Ha r=2:

${\displaystyle G_{\chi }^{(2)}(z)=\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)p_{k}z^{k-2}=\sum _{k=0}^{\infty }k(k-1)p_{k}z^{k-2}}$

${\displaystyle G_{\chi }^{(2)}(1)=\mathbf {E} \chi ^{2}-\mathbf {E} \chi }$

• A generátorfüggvény r-szeri deriválhatósága balról x=1-ben ekvivalens az összes momentum létezésével egészen az r-edik momentumig.
• A generátorfüggvény és a konvolúció kapcsolata:

${\displaystyle G_{\chi +\eta }(z)=G_{\chi }(z)G_{\eta }(z)}$

Nevezetes eloszlások generátorfüggvénye

• Az (n, p) paraméterű binomiális eloszlás generátorfüggvénye:

${\displaystyle G(z)=(1-p+pz)^{n}\,}$

• A λ paraméterű Poisson-eloszlás generátorfüggvénye:

${\displaystyle G_{\chi }(z)=e^{\lambda (z-1)}\,}$

• A p paraméterű geometriai eloszlás generátorfüggvénye:

${\displaystyle G_{\chi }(z)={\frac {p}{1-(1-p)z}}={\frac {p}{1-qz}}}$ (ahol ${\displaystyle q=1-p}$)

• Az (r, p) paraméterű negatív binomiális eloszlás generátorfüggvénye:

${\displaystyle G_{\chi }(z)=\left({\frac {p}{1-(1-p)z}}\right)^{r}=\left({\frac {1-q}{1-qz}}\right)^{r}}$ (ahol ${\displaystyle q=1-p}$)

Források

• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.