Független valószínűségi változók

A valószínűségszámításban és statisztikában a valószínűségi változók függetlenek, ha ha az egyik értékének ismeretéből semmi információt sem lehet nyerni a másik lehetséges értékére. Formálisan, adva legyenek az ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ valószínűségi tér, ${\displaystyle (E_{1},\Sigma _{1})}$ és ${\displaystyle (E_{2},\Sigma _{2})}$ mértékterek, ekkor az

${\displaystyle X_{1}:(\Omega ,{\mathcal {A}},P)\to (E_{1},\Sigma _{1})}$

és

${\displaystyle X_{2}:(\Omega ,{\mathcal {A}},P)\to (E_{2},\Sigma _{2})}$

valószínűségi változók függetlenek, ha minden ${\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1}}$ és ${\displaystyle B_{2}\in \Sigma _{2}}$ esetén

${\displaystyle P(\{\omega \in \Omega \colon X_{1}(\omega )\in B_{1}\,{\text{,}}\,X_{2}(\omega )\in B_{2}\})=P(\{\omega \in \Omega \colon X_{1}(\omega )\in B_{1}\})\cdot P(\{\omega \in \Omega \colon X_{2}(\omega )\in B_{2}\})}$.

A definíció több változóra is kiterjeszthető.

A valószínűségi változók függetlensége a valószínűségszámítás és statisztika lényegi eleme, ami események függetlensége és halmazrendszerek függetlenségét általánosítja. Több tétel, mint például a centrális határeloszlás tétele is elvárja. Vannak tételek, amelyekhez az összes valószínűségi változónak függetlennek kell lennie, de néhányhoz elég a páronkénti függetlenség.

Jelölések, alternatív definíció

A halmazokat többnyire kompaktabban jelölik, azaz ${\displaystyle \{\omega \in \Omega \colon X_{2}(\omega )\in B_{2}\}}$ helyett inkább az ${\displaystyle \{X_{2}\in B_{2}\}}$ kifejezést írják. Ezzel a fenti definíció:

${\displaystyle P(\{X_{1}\in B_{1},\,X_{2}\in B_{2}\})=P(\{X_{1}\in B_{1}\})\cdot P(\{X_{2}\in B_{2}\})}$

minden ${\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1},\,B_{2}\in \Sigma _{2}}$ halmazra.

Alternatív definíció adható független események segítségével. Ekkor

${\displaystyle A_{B_{1}}^{1}=\{\omega \in \Omega \colon X_{1}(\omega )\in B_{1}\}}$

${\displaystyle A_{B_{2}}^{2}=\{\omega \in \Omega \colon X_{2}(\omega )\in B_{2}\}}$.

Azaz ha ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ valószínűségi változók, akkor függetlenek, ha minden ${\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}}$ halmazra ${\displaystyle A_{B_{1}}^{1}}$ és ${\displaystyle A_{B_{2}}^{2}}$ független események, tehát

${\displaystyle P(A_{B_{1}}^{1}\cap A_{B_{2}}^{2})=P(A_{B_{1}}^{1})P(A_{B_{2}}^{2})}$

Példa

Legyen ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ eseménytér, ahol ${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4\}}$ mint alaphalmaz, ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\Omega )}$ σ-algebra, és a valószínűségi mérték az egyenletes eloszlás. Legyen továbbá ${\displaystyle E_{1}=E_{2}=\{0,1\}}$ és ${\displaystyle \Sigma _{1}=\Sigma _{2}={\mathcal {P}}(\{0,1\})}$. Állítjuk, hogy az

${\displaystyle X_{1}(\omega )={\begin{cases}1&{\text{ ha }}\omega \in \{1,2\}\\0&{\text{ ha }}\omega \in \{3,4\}\end{cases}}}$

${\displaystyle X_{2}(\omega )={\begin{cases}1&{\text{ ha }}\omega \in \{2,3\}\\0&{\text{ ha }}\omega \in \{1,4\}\end{cases}}}$.

valószínűségi változók függetlenek.

Mindkét σ-algebrának négy eleme van: ${\displaystyle \emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\}}$, emiatt 16 kombinációt kellene megvizsgálni. Könnyen elintézhetők azok az esetek, amikor az egyik halmaz tartalmazza a másikat, hiszen minden halmaz független ezektől. Marad további négy lehetőség, ezekben ${\displaystyle B_{1}=\{0\}}$ vagy ${\displaystyle B_{1}=\{1\}}$ kombinálódik a következőkkel.

1. Legyen ${\displaystyle B_{1}=B_{2}=\{0\}}$. Ekkor ${\displaystyle A_{B_{1}}^{1}=\{3,4\}}$ és ${\displaystyle A_{B_{2}}^{2}=\{1,4\}}$ továbbá ${\displaystyle A_{B_{1}}^{1}\cap A_{B_{2}}^{2}=\{4\}}$. Ezek az események függetlenek, mivel ${\displaystyle P(\{4\})={\tfrac {1}{4}}=P(\{3,4\})P(\{1,4\})}$:
2. Legyen ${\displaystyle B_{1}=B_{2}=\{1\}}$. Ekkor ${\displaystyle A_{B_{1}}^{1}=\{1,2\}}$ és ${\displaystyle A_{B_{2}}^{2}=\{2,3\}}$ továbbá ${\displaystyle A_{B_{1}}^{1}\cap A_{B_{2}}^{2}=\{2\}}$. Ezek az események függetlenek, mivel ${\displaystyle P(\{2\})={\tfrac {1}{4}}=P(\{1,2\})P(\{2,3\})}$.
3. Legyen ${\displaystyle B_{1}=\{1\}}$ és ${\displaystyle B_{2}=\{0\}}$. Ekkor ${\displaystyle A_{B_{1}}^{1}=\{1,2\}}$ és ${\displaystyle A_{B_{2}}^{2}=\{1,4\}}$ továbbá ${\displaystyle A_{B_{1}}^{1}\cap A_{B_{2}}^{2}=\{1\}}$. Ezek az események függetlenek, mivel ${\displaystyle P(\{1\})={\tfrac {1}{4}}=P(\{1,2\})P(\{1,4\})}$.
4. Legyen ${\displaystyle B_{1}=\{0\}}$ és ${\displaystyle B_{2}=\{1\}}$. Ekkor ${\displaystyle A_{B_{1}}^{1}=\{3,4\}}$ és ${\displaystyle A_{B_{2}}^{2}=\{2,3\}}$ továbbá ${\displaystyle A_{B_{1}}^{1}\cap A_{B_{2}}^{2}=\{3\}}$. Ezek az események függetlenek, mivel ${\displaystyle P(\{3\})={\tfrac {1}{4}}=P(\{3,4\})P(\{2,3\})}$.

Ezzel minden esemény független, tehát a valószínűségi változók is.

Általános eset

Valószínűségi változók ${\displaystyle X_{i}\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},P)\rightarrow (E_{i},\Sigma _{i})}$ egy családja, ahol ${\displaystyle i\in I}$ tetszőleges indexhalmazzal ${\displaystyle I}$ független, ha teljesül indexek minden ${\displaystyle J}$ részhalmazára, hogy

${\displaystyle P\left(\bigcap _{j\in J}\{X_{j}\in B_{j}\}\right)=\prod _{j\in J}P(X_{j}\in B_{j})}$

minden ${\displaystyle B_{j}\in \Sigma _{j}}$ esetén.

Halmazrendszerek függetlenségével is kiterjeszthető a definíció több változóra: Valószínűségi változók egy családja független, ha σ-algebráik függetlenek. Ez a definíció a valószínűségi vektorváltozókra (amelyek ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ értékűek) is alkalmazható.^[1] Nincsenek további követelmények a komponensekre.

Kritériumok

Generátorrendszerek

A vizsgált halmazok száma csökkenthető, ha van ismert generátor. Ha minden σ-algebrához van ${\displaystyle \Sigma _{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}}$ metszetstabil generátor, akkor ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {E}}_{i})=\Sigma _{i}}$, tehát elegendő a generátorok függetlenségét vizsgálni. A kritérium így a következőre redukálódik:

${\displaystyle P\left(\bigcap _{j\in J}\{X_{j}\in B_{j}\}\right)=\prod _{j\in J}P(X_{j}\in B_{j})}$

minden ${\displaystyle B_{j}\in {\mathcal {E}}_{j}}$ halmazra és minden ${\displaystyle J}$ véges részhalmazára ${\displaystyle I}$-nek. Diszkrét valószínűségi terekben a generátorok többnyire a pontok, valós valószínűségi változók esetén a Borel-féle σ-algebra generátorai, a félig nyílt intervallumok.

Véges családok

Ha a valószínűségi változók, így indexhalmazuk is véges, például ha az indexhalmaz ${\displaystyle I=\{1,\dots ,n\}}$, akkor elegendő, hogy

${\displaystyle P\left(\bigcap _{i\in I}\{X_{i}\in B_{i}\}\right)=\prod _{i\in I}P(X_{i}\in B_{i})}$

minden ${\displaystyle B_{i}\in \Sigma _{i}}$ halmatra. Le lehet mondani a ${\displaystyle J\subset I}$ részhalmazok vizsgálatáról. Ez következik abból, hogy ${\displaystyle \{X_{i}\in E_{i}\}=\Omega }$. A ${\displaystyle J\subsetneqq I}$ eset automatikusan következik a fentiből, ha ${\displaystyle i\in I\setminus J}$-t helyettesítünk, ekkor ${\displaystyle B_{i}=E_{i}}$ így a kijelentés a kisebb indexhalmazra is igaz.

Diszkrét valószínűségi változók véges családjai

A fenti két kritérium együtt is vizsgálható, amennyiben diszkrét valószínűségi változók véges családjairól van szó. Legyen ${\displaystyle I=\{1,\dots ,n\}}$ és legyenek az ${\displaystyle X_{i}}$ valószínűségi változók ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$-beliek, és diszkrétek ${\displaystyle (E_{i},\Sigma _{i})}$ szerint, tehát véges vagy megszámlálható végtelen számosságúak. Ekkor a valószínűségi változók függetlenek, ha

${\displaystyle P(X_{1}=x_{1},\dots ,X_{n}=x_{n})=\prod _{i=1}^{n}P(X_{i}=x_{i})}$

minden ${\displaystyle x_{i}\in E_{i}}$ esetén.

Valós valószínűségi változók diszkrét családjai

Valós értékű valószínűségi változók véges családjaira a következő kritérium adódik: Az ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ valószínűségi változók függetlenek, ha

${\displaystyle P(X_{1}\leq x_{1},\dots ,X_{n}\leq x_{n})=\prod _{i=1}^{n}P(X_{i}\leq x_{i})}$

minden ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$ esetén. Ha az ${\displaystyle F_{X_{i}}(x)=P(X_{i}\leq x)}$ függvények az ${\displaystyle X_{i}}$ valószínűségi változók eloszlásfüggvényei, akkor ${\displaystyle F_{I}(x_{1},\dots ,x_{n}):=P(X_{1}\leq x_{1},\dots ,X_{n}\leq x_{n})}$ a közös eloszlásfüggvény, akkor az ${\displaystyle X_{i}}$ valószínűségi változók függetlenek, ha

${\displaystyle F_{I}(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}F_{X_{i}}(x_{i})}$

teljesül. Ha az ${\displaystyle X_{i}}$ valószínűségi változóknak van közös ${\displaystyle f_{I}}$ sűrűségfüggvénye, akkor éppen akkor függetlenek, ha

${\displaystyle f_{I}(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}f_{X_{i}}(x_{i})}$.

Ahol ${\displaystyle f_{X_{i}}}$ az ${\displaystyle X_{i}}$ szerinti peremsűrűség.

Létezés

Véletlen valószínűségi változók véges családjai számára adódik a kérdés, hogy van-e egy elég nagy valószínűségi tér, amiben a teljes család független erre a térre. Nem nyilvánvaló, hogy ez lehetséges; alternatívája lenne, hogy ha elég sokan vannak, akkor σ-algebráik mindig összefüggnek.

A kérdés a szorzatmértékek segítségével igenlően megválaszolható. A

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{\infty }\Omega _{i},\bigotimes _{i=1}^{\infty }{\mathcal {A}}_{i},\bigotimes _{i=1}^{\infty }P_{i}\right)}$

szorzatmodellt tekintve az i-edik komponens ${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }=(\pi _{i})_{i\in \mathbb {N} }}$, azaz éppen az i indexű vetület. Így a szorzatmodell és a szorzatmérték definíciója miatt a család független, és a ${\displaystyle \pi _{i}}$ vetületek eloszlása megegyezik ${\displaystyle P_{i}}$ eloszlásával a ${\displaystyle (\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i})}$ eseménytéren. A szorzatmodell elég nagy ahhoz, hogy tartalmazza független valószínűségi változók egy családját. A végtelen sok független valószínűségi változó létezését végtelen szorzatmérték létezésére vezettük vissza, ami nem magától értetődő. Ez belátható tetszőleges indexhalmazra például az Andersen-Jessen-tétellel, megszámlálható esetre alkalmazhsató az Ionescu-Tulcea-tétel, Borel-terekre Kolmogorov kiterjesztési tétele.

Korrelálatlanság és függetlenség

Ha ${\displaystyle X,Y}$ valószínűségi változók, akkor ${\displaystyle X,Y}$ korrelálatlan, ha kovarinaciájuk nulla.

${\displaystyle X,Y}$ függetlenségéből következik korrelálatlanságuk. Ugyanis függetlenség esetén a várható értékekre teljesül, hogy ${\displaystyle \operatorname {E} (XY)=\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)}$; így

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)=0}$.

Az első egyenlőség a kovariancia eltolástételéből, a második a függetlenségből és a várható értékekre vonatkozó fenti egyenlőségből következik.

Megfordítva azonban a korrelálatlanságból nem következik a függetlenség. Legyen az ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó egyenletes eloszlású az ${\displaystyle [-1,1]}$ intervallumon, és ${\displaystyle Y=X^{2}}$. Ekkor

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} (X^{3})-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (X^{2})=0-0\cdot \operatorname {E} (X^{2})=0}$,

tehát a valószínűségi változók korrelálatlanok. De nem függetlenek, hiszen például

${\displaystyle P(\{X\in [0,{\tfrac {1}{2}}],\,Y\in [0,{\tfrac {1}{9}}]\})=P([0,{\tfrac {1}{2}}]\cap [-{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}}])={\frac {1}{6}}}$

és

${\displaystyle P(\{X\in [0,{\tfrac {1}{2}}]\})=P([0,{\tfrac {1}{2}}])={\frac {1}{4}}{\text{ s }}P(\{Y\in [0,{\tfrac {1}{9}}]\})=P([-{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}}])={\frac {1}{3}}}$.

A függés adódik abból, hogy ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\cdot {\tfrac {1}{3}}\neq {\tfrac {1}{6}}}$.

Analízis függetlenségre

A függetlenségi analízis a korrelációt vizsgálja, ha ez nem nulla, akkor a függetlenségről szóló hipotézis elvehető. Másrészt azonban ez még nem jelent biztos függetlenséget, mert ez csak a lineáris kapcsolatot mutatja ki. Viszont például, ha a közös eloszlás normális, akkor a függetlenség igazolva van. Végezhetők további tesztek is.

Valószínűségi változók és halmazrendszerek függetlensége

A feltételes várható értékre hagyatkozva definiálható valószínűségi változó és halmazrendszer függetlensége is. Legyen ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó, és ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ halmazrendszer. Függetlenek, ha ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ és az ${\displaystyle X}$ által generált σ-algebra független.

Általánosítások

Hasonlóan definiálható a feltételes várható érték felhasználásával halmazrendszerek és valószínűségi változók feltételes függetlensége.

Jegyzetek

1. Norbert Kusolitsch. Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie; Eine Einführung, 2., átdolgozott és bővített, Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 95. o. (2014). ISBN 978-3-642-45386-1

Források

• Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6
• Ulrich Krengel. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik; Für Studium, Berufspraxis und Lehramt, 8., Wiesbaden: Vieweg (2005). ISBN 3-8348-0063-5
• Hans-Otto Georgii. Stochastik; Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009). ISBN 978-3-11-021526-7
• Christian Hesse. Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, 1., Wiesbaden: Vieweg (2003). ISBN 3-528-03183-2
• A. M. Prochorow: Independence. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 ().