Valószínűségi vektorváltozó

A valószínűségszámításban a valószínűségi vektorváltozó egy többdimenziós valószínűségi változó. Lényegét tekintve egy valószínűségi mezőn definiált mérhető függvény, ami értékeit ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-ben veszi fel. A közönséges egydimenziós valószínűségi változók több tulajdonsága közvetlenül vagy kis módosítással átvihető valószínűségi vektorváltozókra.

Nem tévesztendők össze a sztochasztikus vagy valószínűségi vektorokkal, amelyek koordinátái pozitívok és összegük egy. A valószínűségi vektorváltozókra nincs ilyen megkötés, kimenetelük bármilyen vektor lehet.

Definíció

Jelölje ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cdot )}$ a Borel-σ-algebrát. Legyen ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ valószínűségi mező, ${\displaystyle m}$ természetes szám, ami legalább kettő. Ekkor egy ${\displaystyle m}$ dimenziós valószínűségi vektorváltozó egy ${\displaystyle X\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},P)\to (\mathbb {R} ^{m},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{m}))}$-leképezés, amire ${\displaystyle X^{-1}({\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{m}))\subset {\mathcal {A}}}$.

Ekvivalens definíciók:

• ${\displaystyle X}$ mérhető függvény egy ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ alaphalmazú, Borel-σ-algebrával ellátott valószínűségi mezőn.
• Legyen ${\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{m})}$, ahol ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{m}}$ valós valószínűségi változók egy ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ valószínűségi mezőn. Ez a definíció azt használja ki, hogy egy ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$-be menő leképezés pontosan akkor mérhető, ha koordinátafüggvényei is.

Tulajdonságok

Momentumok

Ha a komponensei integrálhatók, akkor egy ${\displaystyle X}$ valószínűségi vektorváltozó várható értéke

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=(\operatorname {E} (X_{1}),\operatorname {E} (X_{2}),\dots ,\operatorname {E} (X_{m}))}$,

azaz a komponenseinek várható értékeinek vektora.^[1]

Ha a komponensek négyzetesen integrálhatók, akkor a második momentuma a kovarianciamátrixa. Ez egy ${\displaystyle m\times m}$ méretű mátrix, ahol az ${\displaystyle i}$-edik sor és a ${\displaystyle j}$-edik oszlop metszetében ${\displaystyle X_{i}}$ és ${\displaystyle X_{j}}$ kovarianciája áll, azaz

${\displaystyle a_{i,j}:=\operatorname {Cov} (X_{i};X_{j})}$.

Függetlenség

Legyenek ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ valószínűségi vektorváltozók ugyanazon a valószínűségi mezőn. Függetlenségüket az egydimenziós esethez hasonlóan a ${\displaystyle \sigma (X)}$ és ${\displaystyle \sigma (Y)}$ generált σ-algebrák segítségével értelmezzük, ahol ${\displaystyle \sigma (X)}$ és ${\displaystyle \sigma (Y)}$ kezdeti σ-algebrák.^[2]

Eloszlás

A valószínűségi vektorváltozó eloszlása többdimenziós valószínűségeloszlás, és valószínűségi mérték ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$-en. Pontosan ugyanaz, mint komponenseinek közös eloszlása.

A valószínűségi vektorváltozókhoz is rendelhető eloszlásfüggvény. Többdimenziós valószínűségeloszlásnak nevezik.

Folytonos és diszkrét valószínűségi vektorváltozók

A valós értékű vaklószínűségi változókhoz hasonlóan, ha egy valószínűségi vektorváltozónak van sűrűségfüggvénye, akkor abszolút folytonos vagy egyszerűen folytonos valószínűségi változó.^[3] Ha egy valószínűségi vektorváltozó legfeljebb megszámlálható végtelen értéket vesz fel, akkor diszkrét.^[4]

Konvergencia

Az eloszlásbeli konvergencia, a valószínűségbeli konvergencia és a majdnem biztos konvergencia problémamentesen átvihető, mivel ezek szeparábilis metrikus tereken vannak értelmezve, így ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$-re is érvényesek.

Az eloszlásfüggvény szerinti konvergencia nem megy át; viszont Lévy folytonossági tétele továbbra is használható.

Cramér-Wold-tétel

A Cramér-Wold-tétel lehetővé teszi, hogy az ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-beli eloszlásbeli konvergenciát redukáljuk ${\displaystyle \mathbb {R} }$-beli eloszlásbeli konvergenciára.

Jelölje ${\displaystyle \langle \cdot$ ;\cdot \rangle } a skaláris szorzatot. Legyen ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ valószínűségi vektorváltozók sorozata ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$-ben. A következő állítások ekvivalensek:^[5]

• Az ${\displaystyle X_{n}}$ sorozat eloszlásban tart ${\displaystyle X}$-hez
• Minden ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ^{m}}$ esetén létezik egy ${\displaystyle X^{c}}$ valós valószínűségi változó úgy, hogy ${\displaystyle \langle c;X_{n}\rangle }$ eloszlásban tart ${\displaystyle X^{c}}$-hez.

Ha a két ekvivalens kifejezés teljesül, akkor ${\displaystyle X^{c}}$ eloszlása minden ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ^{m}}$-re ugyanaz, mint ${\displaystyle \langle c;X\rangle }$.

Általánosítások

Egy lehetséges további általánosítás a véletlen mátrix avagy valószínűségi mátrixváltozó. Ez mátrix értékű valószínűségi változó, mely mátrixváltozós valószínűségi eloszlásból származik.

Jegyzetek

1. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 130.
2. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 95.
3. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 178.
4. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 96.
5. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 335.

Források

• Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6
• Norbert Kusolitsch. Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung, 2., átdolgozott és bővített, Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2014). ISBN 978-3-642-45386-1
• David Meintrup, Stefan Schäffler. Stochastik. Theorie und Anwendungen. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag (2005). ISBN 978-3-540-21676-6

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Zufallsvektor című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.