Többdimenziós valószínűségeloszlás

A valószínűségszámításban a többdimenziós eloszlás egy valószínűségi vektorváltozó eloszlása, azaz egy ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-beli értékeket felvevő valószínűségi változó eloszlása. Egy ${\displaystyle X=(X_{1},\dotsc ,X_{n})}$ valószínűségi vektorváltozó eloszlása is mérhető halmazokhoz rendeli a valószínűségeket, de ezek ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-beliek. Minden ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ mérhető halmaznak van valószínűsége, ami megadja, hogy ${\displaystyle X}$ értéke mekkora eséllyel esik ebbe a részhalmazba. Az ${\displaystyle X}$ egyes ${\displaystyle X_{i}}$ koordinátáinak eloszlását peremeloszlásnak nevezzük. A többdimenziós eloszlásra példa a multinormális eloszlás, más néven a többdimenziós normális eloszlás.

Bevezető példa

Tekintjük a következő két kísérletet:

1. Szabályos dobókockával dobunk kétszer, vagy ezzel ekvivalensen egy urnakísérlet, ahol is a számozott golyót visszatesszük. A lehetséges kimenetelek száma 36, és mivel egyformán valószínűek, mindegyik esélye 1/36.

2. Urnakísérlet számozott golyókkal, de a kihúzott golyót nem tesszük vissza. Emiatt az (1,1),(2,2),…,(6,6) kimenetelek nem fordulnak elő, így a többi 30 kimenetel valószínűsége egyenként 1/30.

Jelölje rendre a két valószínűségi vektorváltozót ${\displaystyle Z_{1}}$ és ${\displaystyle Z_{2}}$. Ezek peremeloszlásai ugyanazok, mind a hat szám ugyanazzal az 1/6 valószínűséggel fordul elő.

Az első kísérletben a két húzás egymástól független, mivel a kihúzott golyót visszatesszük, de a másodikban már nem, mivel másodjára nem jöhet ki ugyanaz a szám, pedig függetlenség esetén 1/36 lenne a valószínűségük, ami a peremeloszlások valószínűségének szorzata. De a (1,1),(2,2),…,(6,6) párok valószínűsége nulla.

Emiatt habár a peremeloszlások ugyanazok, a ${\displaystyle Z_{1}}$ és ${\displaystyle Z_{2}}$ valószínűségi változók különböző eloszlásúak.

Két dimenzióban

10000 szúrópróba egy Clayton-kopulával modellezett eloszlásból, ahol ${\displaystyle \alpha =2,88}$. Az eloszlás peremeloszlásai normális eloszlásúak

Egy kétdimenziós ${\displaystyle Z=(X,Y)}$ valószínűségi vektorváltozó eloszlásfüggvénye:

${\displaystyle F_{Z}(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y).}$

Ha a ${\displaystyle Z=(X,Y)}$ valószínűségi vektorváltozó kétdimenziós sűrűségfüggvénye ${\displaystyle f_{X,Y}}$, akkor az eloszlásfüggvény:

${\displaystyle F_{Z}\left(x,y\right)=\int _{-\infty }^{y}\int _{-\infty }^{x}f_{X,Y}\left(u,v\right)\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$.

Ha az eloszlás diszkrét, akkor a közös eloszlás feltételes valószínűségekkel:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} (X=x,\ Y=y)&{}=\mathrm {P} (Y=y\mid X=x)\cdot \mathrm {P} (X=x)\\&{}=\mathrm {P} (X=x\mid Y=y)\cdot \mathrm {P} (Y=y)\end{aligned}}}$

Folytonos esetben

${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=f_{Y|X}(y|x)f_{X}(x)=f_{X|Y}(x|y)f_{Y}(y)\;}$

Itt ${\displaystyle f_{Y|X}(y|x)}$ és ${\displaystyle f_{X|Y}(x|y)}$ feltételes sűrűségfüggvények, azaz a megfelelő feltételes valószínűségi változók sűrűségfüggvényei. A feltételes valószínűségi változók: ${\displaystyle Y}$ feltéve ${\displaystyle X=x}$, és ${\displaystyle X}$ feltéve ${\displaystyle Y=y}$. Az ${\displaystyle f_{X}(x),f_{Y}(y)}$ függvények rendre ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ peremeloszlásai.

Az ábrán a koordináták közötti összefüggést kopulák jelzik. A bemutatott eloszlás példa arra, hogy ha a peremeloszlások normálisak, akkor az eloszlás nem biztos, hogy normális.

Általános eset

Ha az n-dimenziós ${\displaystyle Z=(X_{1},\dots ,X_{n})}$ valószínűségi vektorváltozónak van sűrűségfüggvénye, akkor az eloszlásfüggvény a kétdimenziós esethez hasonlóan

${\displaystyle F_{Z}\left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)=\int _{-\infty }^{x_{n}}\dots \int _{-\infty }^{x_{1}}f_{X_{1},\dots ,X_{n}}\left(u_{1},\dots ,u_{n}\right)\mathrm {d} u_{1}\dots \mathrm {d} u_{n}}$.

A dimenziók növekedéséveol több lehetőség adódik peremeloszlásokra, minden ${\displaystyle 1\leq k<n}$ alacsonyabb dimenzióhoz létezik ${\displaystyle {n \choose k}}$ peremeloszlás. Például három dimenzióban három egyváltozós és három kétváltozós peremeloszlás van.

Független valószínűségi változók közös eloszlása

Ha a diszkrét X és Y valószínűségi változókra minden x és y esetén teljesül, hogy ${\displaystyle \ P(X=x,\ Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)}$, akkor függetlenek.

Hasonlóan, ha folytonos X és Y valószínűségi változókra minden x és y esetén teljesül, hogy ${\displaystyle \ f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)}$, akkor függetlenek.

Források

• K. V. Mardia, J. T. Kent, J. M. Bibby: Multivariate Analysis. Acad. Press, New York 1979, ISBN 0-12-471250-9. (engl.)
• Ludwig Fahrmeir, Alfred Hamerle (Hrsg.): Multivariate statistische Verfahren. de Gruyter, New York 1996, ISBN 3-11-008509-7.
• Joachim Hartung, Bärbel Elpelt: Multivariate Statistik. Oldenbourg, München/ Wien 1999, ISBN 3-486-25287-9.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Multivariate Verteilung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.