Weibull-eloszlás

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a Weibull-eloszlás egy folytonos valószínűség-eloszlás.

Ezt az eloszlást Waloddi Weibullról nevezték el, aki 1951-ben írta le részletesen.

Az eloszlást Maurice Fréchet (1927) fedezte fel, és 1933-ban alkalmazták először granulált részecskék (granulátumok) eloszlására.

Meghatározás

A Weibull x valószínűségi változó valószínűség-sűrűségfüggvénye:^[1]

${\displaystyle f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}}$

ahol k > 0 az alakparaméter és λ > 0 a skálaparaméter. A komplementer kumulatív eloszlásfüggvénye a nyújtott exponenciális függvény. A Weibull-eloszlás több más valószínűségi eloszlással is kapcsolatos, különösen az exponenciális eloszlással (k = 1), és a Rayleigh-eloszlással (k = 2). A Weibull-eloszlás ez utóbbi kettő közötti interpolációjának tekinthető. Ha x az az érték, mely a meghibásodásig eltelt időt jelzi, akkor a Weibull-eloszlás az idővel arányos meghibásodási gyakoriságot jelzi. A k alakparaméter értelmezése a következő:

• k<1 azt jelenti, hogy a meghibásodási gyakoriság idővel csökken. Ez akkor fordul elő, ha a kezdeti meghibásodás jelentős, és idővel ezért csökken a meghibásodás, mert a potenciálisan hibás elemek már kiestek a rendszerből.
• k=1 esetén a meghibásodási gyakoriság időben állandó. Ez azt jelenti, hogy a hibákat véletlenszerű külső események okozzák.
• k>1 azt jelzi, hogy a meghibásodási gyakoriság időben növekszik. Ez akkor fordulhat elő, amikor a vizsgálat tárgya az öregedési tartományba kerül, a rendszer alkotóelemei az elöregedés, és az elhasználódás miatt egyre gyakrabban hibásodnak meg.

Az anyagtudományok területén a k alakparaméter Weibull-modulusként ismert.

Tulajdonságok

Sűrűségfüggvény

Valószínűség-sűrűségfüggvény (2 paraméteres)

Kumulatíveloszlás-függvény (2 paraméteres)

A Weibull-eloszlás sűrűségfüggvénye drasztikusan változik a k értéktől függően.

0 < k < 1 tartományban a sűrűségfüggvény ∞ felé tart, ha x tart a zéróhoz.

k = 1 esetében a sűrűségfüggvény az 1/λ felé tart, amikor x közelít a zéróhoz.

k > 1 esetén a sűrűségfüggvény zéróhoz tart, ha x zéróhoz tart, és monoton nő a maximumig, majd csökkenni kezd. Érdemes megjegyezni, hogy a sűrűségfüggvény negatív meredekségű x=0-nál, ha 0 < k < 1; monoton pozitív meredekségű x= 0-nál, ha 1 < k < 2, és lapos x= 0-nál, ha k > 2.

k= 2 esetén a sűrűség monoton pozitív meredekségű x=0-nál.

Ha k tart a végtelenbe, a Weibull-eloszlás a Dirac delta eloszláshoz konvergál x= λ középértékkel.

Eloszlásfüggvény

A Weibull-eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye:

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\,}$

x ≥ 0, és F(x; k; λ) = 0 x < 0 esetén. A meghibásodási gyakoriság h (vagy hazárd ráta):

${\displaystyle h(x;k,\lambda )=e^{-\left({x \over \lambda }\right)^{k}}{k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.}$

Momentumok

A Weibull-eloszlású valószínűségi változók logaritmusának a momentum-generáló függvénye:^[2]

${\displaystyle E\left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right)}$

ahol ${\displaystyle \Gamma }$ a gamma-függvény. Hasonlóan a log X karakterisztikus függvénye:

${\displaystyle E\left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k}}+1\right).}$

Az X n-edik nyers momentuma:

${\displaystyle m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}$

Egy Weibull valószínűségi változó középértéke és szórásnégyzete:

${\displaystyle \mathrm {E} (X)=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}$

és

${\displaystyle {\textrm {var}}(X)=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma ^{2}\left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]\,.}$

A ferdeség:

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$

ahol ${\displaystyle \mu }$ a középérték és ${\displaystyle \sigma }$ a szórás. A többletlapultság:

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}}}$

ahol ${\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)}$. A lapultság még kifejezhető így is:

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3}$

Momentum-generáló függvény

Számos kifejezés ismert a X momentum-generáló függvényre: sorozatként:

${\displaystyle E\left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}$

Integrálként:

${\displaystyle E\left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.}$

Ha k racionális szám, k = p/q, ahol p és q egész, akkor ezt az integrál analitikus módon kiértékelhető.^[3] Ha t–t helyettesítjük t-vel, akkor:

${\displaystyle E\left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {p-k}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right)}$

ahol G a Meijer G-függvény. A karakterisztikus függvény is kiszámítható Muraleedharan és társai által kidolgozott módon.^[4]

Az információ entrópiája

Az információ entrópiája (Shannon-entrópiafüggvény):

${\displaystyle H=\gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1}$

ahol ${\displaystyle \gamma }$ az Euler–Mascheroni állandó.

Weibull-plot

A Weibull-eloszlást vizuálisan a Weibull-plot jelenítheti meg.^[5] A Weibull-plot a tapasztalati kumulatív eloszlásfüggvény megjelenítése. Egy Q-Q plot-ban speciális tengelyeket használva az ${\displaystyle {\hat {F}}(x)}$ adat ábrázolható. A tengelyek ${\displaystyle \ln(-\ln(1-{\hat {F}}(x)))}$ és ${\displaystyle \ln(x)}$. A változók megváltozástatásának az oka a kumulatív eloszlásfüggvény linearizálása:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\\-\ln(1-F(x))&=(x/\lambda )^{k}\\\underbrace {\ln(-\ln(1-F(x)))} _{\textrm {'y'}}&=\underbrace {k\ln x} _{\textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{aligned}}}$

Ha az adat a Weibull-eloszlásból származik, akkor a Weibull-plotban egy közel egyenes vonal várható. Számos megközelítés létezik arra, amikor a tapasztalati eloszlásfüggvény generálása történik. Az egyik módszer, amikor minden egyes pont függőleges koordinátája a következő összefüggésből származik: ${\displaystyle {\hat {F}}={\frac {i-0.3}{n+0.4}}}$ ahol ${\displaystyle i}$ az adat rangsora és ${\displaystyle n}$ az adatpontok száma.^[6] A Weibull-eloszlás paramétereinek kiértékeléséhez a lineáris regresszió módszere is alkalmazható. A gradiens a ${\displaystyle k}$ alak paraméterről ad információt közvetlenül, és a ${\displaystyle \lambda }$ paraméterre is lehet következtetni.

Alkalmazás

A Weibull-eloszlást a következő területeken alkalmazzák:

• Túlélés-analízis^[7]
• Hibananalizis
• Megbízhatósági számítások
• Ipari termelésnél (szállítási idők stb.)
• Időjárás-előrejelzés (szélsebesség-eloszlás)^[8]
• Extrémérték-elmélet
• Kommunikációban (radar képek kiértékelésénél, mobil kommunikációban a csatornák áthallás vizsgálatánál)
• Általános (nem élet-) biztosításoknál
• Technológiaváltozásoknál
• Hidrológiában (egynapos esők maximális mennyisége, folyó áradások becslése)
• Granulált részecskék méretének becslésénél

Kapcsolódó eloszlások

A kiegészített Weibull-eloszlás egy járulékos paramétert tartalmaz.^[2]

Ennek a valószínűség-sűrűségfüggvénye:

${\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}\,}$

${\displaystyle x\geq \theta }$ és f(x; k, λ, θ) = 0 x < θ-re, ahol ${\displaystyle k>0}$ is az alakparaméter, ${\displaystyle \lambda >0}$ a skálaparameter és a ${\displaystyle \theta }$ a helyparaméter. Ha θ=0, akkor ez 2 paraméteres eloszlásra redukálja az eloszlást.

A Weibull-eloszlás úgy is jellemezhető, mint egy X valószínűségi változó eloszlása:

${\displaystyle Y=\left({\frac {X}{\lambda }}\right)^{k}}$

mely az exponenciális eloszlás 1 intenzitással.^[2]

A Weibull-eloszlás egy interpoláció az exponenciális eloszlás (1/λ intenzitással, ha k = 1) és a Rayleigh-eloszlás között, amikor a Rayleigh eloszlásnál ${\displaystyle \sigma =\lambda /{\sqrt {2}}}$ ha k = 2. A Weibull-eloszlás jellemezhető az állandó eloszlással is. Ha X eloszlása állandó (0,1),tartományban, akkor a valószínűségi változó ${\displaystyle \lambda (-\ln(X))^{1/k}\,}$ Weibull-eloszlású k és λ paraméterekkel. Ez egy egyszerűen implementálható numerikus sémát ad a Weibull-eloszlás szimulációjára.

A Weibull-eloszlás a három paraméteres hatványozott Weibull-eloszlás egy speciális esete, ahol a járulékos kitevő =1. A hatványozott Weibull-eloszláshoz tartozik az „unimodális fürdőkádgörbe” és a monoton hiba ráta.^[9]

A Weibull-eloszlás az általánosított extrémérték-eloszlás egy speciális esete. Ebben a kapcsolatban azonosította először Maurice Fréchet 1927-ben a Weibull-eloszlást. Az ezzel szoros kapcsolatban lévő Fréchet-eloszlás (Fréchet-ről elnevezve), a következő valószínűség sűrűség eloszlással rendelkezik:

${\displaystyle f_{\rm {Frechet}}(x;k,\lambda )={\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{-1-k}e^{-(x/\lambda )^{-k}}=*f_{\rm {Weibull}}(x;-k,\lambda ).}$

A Weibull-eloszlást a 3 paraméteres hatványozott Weibull-eloszlásra is lehet általánosítani. Ez az az eset, amikor a meghibásodási ráta több tényezőtől függ, és időnként nő, máskor meg csökken (lásd: fürdőkádgörbe). Azt az eloszlást, melyet minimálisan több valószínűségi változó határoz meg, és mindegyiknek különböző Weibull-eloszlása van, azt poli-Weibull-eloszlásnak hívják.

Irodalom

• Obádovics J. Gyula: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. (hely nélkül): Scolar Kft. 2009. 334. o. ISBN 9789632440675
• Fréchet, Maurice: Sur la loi de probabilité de l'écart maximum. (hely nélkül): Annales de la Société Polonaise de Mathematique. 1927. 93–116. o.
• Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N: Continuous univariate distributions. Vol. 1, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (2nd ed.). (hely nélkül): New York: John Wiley & Sons. 1994. ISBN 978-0-471-58495-7
• Weibull, Waloddi: A statistical distribution function of wide applicability. (hely nélkül): J. Appl. Mech.-Trans. ASME 18 (3). 1951. 293–297. o.

Kapcsolódó szócikkek

• Fisher–Tippett–Gnedenko elmélet
• Statisztika
• Rayleigh-fading
• Normális eloszlás
• Exponenciális eloszlás
• Gamma-eloszlás
• Shannon-entrópiafüggvény
• Entrópia
• Lapultság
• Fürdőkádgörbe
• poli-Weibull-eloszlás
• Fréchet-eloszlás
• Általánosított extrémérték-eloszlás
• Hatványozott Weibull-eloszlás
• Extrémérték-elmélet
• Nyújtott exponenciális függvény

Források

1. Papoulis, Pillai, "Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 4th Edition
2. Johnson, Kotz & Balakrishnan 1994
3. See (Cheng, Tellambura & Beaulieu 2004) for the case when k is an integer, and (Sagias & Karagiannidis 2005) for the rational case.
4. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378383907000452
5. The Weibull plot
6. Wayne Nelson (2004) Applied Life Data Analysis. Wiley-Blackwell ISBN 0471644625
7. Survival/Failure Time Analysis. [2012. január 5-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2011. december 24.)
8. http://www.reuk.co.uk/Wind-Speed-Distribution-Weibull.htm Wind Speed Distribution Weibull
9. System evolution and reliability of systems. Sysev (Belgium), 2010. január 1.

• Adatok
• A Weibull-eloszlás
• Egy PDF-fájl

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap