A gradiens a matematikában egy skalármezőkre alkalmazható differenciáloperátor. A gradiens a kétváltozós függvényekderiválásának általánosítása többváltozós függvényekre. Ennek vektormező az eredménye, ami azt mutatja meg, hogy hogyan változik a függvény, és megadja a skalármező legnagyobb megváltozását (irányát és nagyságát).
A kék színű felülettel ábrázolt függvényhez tartozó gradiens a piros nyilak mezőjeKét skalármező szürkeárnyalatosan ábrázolva (a sötétebb árnyalat nagyobb függvényértéknek felel meg). A kék nyilak a gradienseket jelzik.
Példaként tekintsünk egy térképet, amely megadja a magasságokat a h(x, y) függvénnyel: h(x, y) a tengerszint feletti magasság értéke az (x, y) pontban. Így egy skalármezőt definiáltunk. Ekkor h ℝ²→ℝ kétváltozós függvény gradiense egy olyan új ℝ²→ℝ² függvény, ami minden (x, y) ponthoz azt a vektort rendeli, ami az adott magasságban legnagyobb meredekség irányába mutat, és hossza a legnagyobb meredekség.
A gradiens a szintvonalakra merőleges, normája pedig a skalármezőnek mint függvénynek a gradiens iránya menti deriváltja.
A skalármező gradiensét a parciális deriváltak vektoraként definiálják. Csak azokban a pontokban értelmezhető, ahol az összes parciális derivált létezik. Jelölése vagy . Itt a nabla operátor szimbóluma, és a gradiens függvényszimbóluma.
Az n-dimenziós euklideszi térben és derékszögű koordináta-rendszerben
A gradiens sor- és oszlopvektorként is írható, a további felhasználásnak megfelelően.
A képletekben az koordinátának megfelelő irányú egység hosszú vektort jelöli.
Geometriai értelmezése
Egy skalármező gradiense egy pontban megadja a legnagyobb meredekség irányát és a legnagyobb meredekség nagyságát. Egy lokális minimumban, egy lokális maximumban vagy egy nyeregpontban a gradiens nulla, feltéve, hogy ezek a pontok az értelmezési tartomány belsejében vannak.
A gradiens segítségével tetszőleges irányú meredekség meghatározható. Ez a meredekség éppen az irány menti derivált.
Iránymenti derivált
Az iránymenti derivált az adott irány által kimetszett függvény deriváltja. Közelebbről
.
Ha differenciálható egy környezetében, akkor az iránymenti derivált az adott irányú normált vektor és a gradiens skalárszorzata:
A parciális deriváltak vektora vektorértékű függvényekre is definiálható. Ha vektor értékű függvény, és koordinátafüggvényei rendre , akkor
.
Ekkor deriváltja az (sorvektor) gradiensek oszlopvektoraként definiálható. Ennek a mezőnek a vektorgradiense a Jacobi-mátrix:
A derékszögű koordinátákban vett gradiens a nabla operátorral:
További példák
Ha egy test részei különböző hőmérsékletűek, akkor a melegebb helyről hő áramlik a hidegebb helyek felé. Ha a testen belül a hővezetés képessége állandó, akkor a hőáramlás a hőmérsékleti gradiens konstansszorosa.