Nabla operátor

A nabla operátor a matematikában, azon belül pedig a vektoranalízisben alkalmazott differenciáloperátor. A ∇ (nabla) szimbólum jelöli, melynek HTML-kódja: ∇, Unicode-ban pedig az U+2207 kódhelyen található. A nabla operátor által egyszerűen leírhatóak olyan differenciáloperátorok, mint a gradiens, a divergencia és a rotáció. Egyben vektoroperátor is, melynek komponensei megfelelnek egy adott koordináta-rendszerben a parciális deriváltakat reprezentáló operátoroknak.

Nevét egy föníciai eredetű húros hangszerről kapta, legkorábbi használata az 1870-re tehető.^[1][2]

Definíció

Egy ${\displaystyle n}$-dimenziós Descartes-féle koordináta-rendszerben (${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$), melynek koordinátái ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ és bázisa ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}$, a nabla-operátor ${\displaystyle \nabla }$ a következő:

${\displaystyle \nabla =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}=\left({\partial \over \partial x_{1}},\ldots ,{\partial \over \partial x_{n}}\right)}$.

A definíció háromdimenziós térben, melynek koordinátái (${\displaystyle x,y,z}$), egységvektorainak halmaza pedig ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}\}}$, a következőképp egyszerűsödik le:

${\displaystyle \nabla =\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}=\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)}$

A nabla operátor kiterjeszthető más koordinátarendszerekre is, mint például gömbi- vagy hengerkoordinátákra, viszont ezek konkrét megadásához érdemes ismerni a mezőt is, melyen az operátor hat.

Azonosságok

A következő egyenletekben ${\displaystyle f}$ és ${\displaystyle g}$ skalármezők, míg ${\displaystyle \mathbf {u} }$ és ${\displaystyle \mathbf {v} }$ vektormezők. A műveletek közül ${\displaystyle \cdot }$ a skaláris szorzatot, ${\displaystyle \times }$ pedig a vektoriális szorzatot jelöli.

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (fg)&=f\nabla g+g\nabla f\\\nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} \\\nabla \cdot (f\mathbf {v} )&=f(\nabla \cdot \mathbf {v} )+\mathbf {v} \cdot (\nabla f)\\\nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {v} \cdot (\nabla \times \mathbf {u} )-\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (f\mathbf {v} )&=(\nabla f)\times \mathbf {v} +f(\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \,(\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} \,(\nabla \cdot \mathbf {u} )+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\,\mathbf {v} \end{aligned}}}$

Mátrixanalízisben a következő azonosság is gyakran használt, ahol a ${\displaystyle \mathbf {u} }$ és ${\displaystyle \mathbf {v} }$ skaláris szorzata ${\displaystyle \mathbf {u} ^{\text{T}}\mathbf {v} }$-ként is írható:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {A} \nabla \right)^{\text{T}}\mathbf {u} &=\nabla ^{\text{T}}\left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\mathbf {u} \right)-\left(\nabla ^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)\mathbf {u} \end{aligned}}}$

Nablával kifejezhető operátorok

A nabla vektoroperátor jellege lehetővé teszi, hogy skalármezőkre és vektormezőkre is tud hatni, így alkalmazhatósága sokszínű. Egy skalármezőre hatva megkapjuk a gradienst, vektormezőre skaláris szorzattal hatva a divergencia, míg vektoriális szorzattal hatva a rotáció definiálható. A nabla operátort többször alkalmazva olyan magasabb rendű parciális deriváltakat szerepeltető operátorokat fejezhetünk ki, mint a Laplace-operátor vagy a Hesse-mátrix.

Gradiens

Bővebben: Gradiens

Háromdimenziós euklideszi térben adott ${\displaystyle f(x,y,z)}$ skalármező gradiense kényelmesen kifejezhető a nabla operátorral:

${\displaystyle \operatorname {grad} f={\partial f \over \partial x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\partial f \over \partial y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\partial f \over \partial z}{\hat {\mathbf {z} }}=\nabla f.}$

Az ${\displaystyle f}$ mező gradiense adott pontban a legnagyobb meredekség irányába mutat és nagysága meghatározza a meredekség nagyságát. Például, ha egy dombot ${\displaystyle x}$ és ${\displaystyle y}$ koordináták szerinti ${\displaystyle h(x,y)}$ magasságfüggvénnyel írunk le, a magasságfüggvény gradiense adott pontban egy olyan vektor az ${\displaystyle xy}$ síkon, mely a legnagyobb meredekség irányába mutat, a vektor hossza pedig a meredekség konkrét nagyságát adja meg.

Adott ${\displaystyle f}$ és ${\displaystyle g}$ skalármezők szorzatának gradiense a szorzatszabály szerint kiszámolható:

${\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f.}$

Mindazonáltal, ${\displaystyle \mathbf {u} }$ és ${\displaystyle \mathbf {v} }$ vektormezők skaláris szorzatának gradiensét bonyolultabb azonossággal lehet általánosan kifejezni:

${\displaystyle \nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )=(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} ).}$

Amennyiben ${\displaystyle f(\rho ,\varphi ,z)}$ hengerkoordinátákkal van kifejezve, gradiense a következő:

${\displaystyle \nabla f={\partial f \over \partial \rho }{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+{1 \over \rho }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\partial f \over \partial z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$

Továbbá, egy gömbi koordináta-rendszerben definiált ${\displaystyle f(r,\varphi ,\theta )}$ gradiense a következőképp írható le:

${\displaystyle \nabla f={\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}.}$

Divergencia

Bővebben: Divergencia (vektoranalízis)

Adott ${\displaystyle v(x,y,z)=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$ vektormező divergenciája egy skalármező, mely kifejezhető a nabla operátor vektormezővel vett skaláris szorzatával:

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {v} ={\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}=\nabla \cdot \mathbf {v} .}$

Egy vektormező divergenciája azt fejezi ki, hogy adott pontban a vektormező mennyire "terjed ki" vagy "összpontosul". Egy intuitív példa lehet egy fűrészporral beszórt vízfelszín vizsgálata. A kétdimenziós vektormező itt a víz sebessége. Ha egy adott pontba szórt fűrészpor kiterjed a vízfelszínen, akkor a vízsebesség által meghatározott vektormező divergenciája abban a pontban pozitív. Ellenkezőleg, ha egy adott pontban azt észleljük, hogy a fűrészpor elkezd inkább összegyűlni, akkor abban a pontban a vektormező divergenciája negatív. Ebből következik, hogy a divergencia rendkívül hasznos operátor az áramlástan területén, legyen szó akár folyadékokról, akár elektromos áramról.

Egy adott ${\displaystyle f}$ skalármező és ${\displaystyle \mathbf {v} }$ vektormező szorzata szintén egy vektormező, divergenciája pedig

${\displaystyle \nabla \cdot (f\mathbf {v} )=(\nabla f)\cdot \mathbf {v} +f(\nabla \cdot \mathbf {v} ).}$

Két vektormező vektoriális szorzatának divergenciája a következőképp fejezhető ki:

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(\nabla \times \mathbf {u} )\cdot \mathbf {v} -\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} ).}$

Amennyiben a ${\displaystyle \mathbf {v} (\rho ,\varphi ,z)=v_{\rho }{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+v_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$ vektormező hengerkoordinátákban van megadva, a divergenciája a következő:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} ={1 \over \rho }{\partial \left(\rho v_{\rho }\right) \over \partial \rho }+{1 \over \rho }{\partial v_{\varphi } \over \partial \varphi }+{\partial v_{z} \over \partial z}.}$

Továbbá ha ${\displaystyle \mathbf {v} (r,\varphi ,\theta )=v_{r}{\hat {\mathbf {r} }}+v_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+v_{\theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ gömbi koordinátákon van definiálva, a divergenciája a következőképp fejezhető ki:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} ={1 \over r^{2}}{\partial \left(r^{2}v_{r}\right) \over \partial r}+{1 \over r\sin \theta }{\partial v_{\varphi } \over \partial \varphi }+{1 \over r\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(v_{\theta }\sin \theta \right).}$

Rotáció

Bővebben: Rotáció

Adott ${\displaystyle \mathbf {v} }$ vektormező rotációja a következőképp fejezhető ki a nabla operátorral egy derékszögű koordináta-rendszerben:

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {v} =\left({\partial v_{z} \over \partial y}-{\partial v_{y} \over \partial z}\right){\hat {\mathbf {x} }}+\left({\partial v_{x} \over \partial z}-{\partial v_{z} \over \partial x}\right){\hat {\mathbf {y} }}+\left({\partial v_{y} \over \partial x}-{\partial v_{x} \over \partial y}\right){\hat {\mathbf {z} }}=\nabla \times \mathbf {v} .}$

A ${\displaystyle \times }$ a vektoriális szorzatot jelenti, ami vizualizálható egy determináns formájában is:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\left|{\begin{matrix}{\hat {\mathbf {x} }}&{\hat {\mathbf {y} }}&{\hat {\mathbf {z} }}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{matrix}}\right|.}$

A rotáció, nevéből adódóan, azt írja le, hogy egy vektormező mennyire "forog" egy adott pont körül.

Adott ${\displaystyle f}$ skalármező és ${\displaystyle \mathbf {v} }$ vektormező szorzatának rotációja a következőképp adható meg:

${\displaystyle \nabla \times (f\mathbf {v} )=(\nabla f)\times \mathbf {v} +f(\nabla \times \mathbf {v} ),}$

két vektormező vektoriális szorzatának rotációja pedig

${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \,(\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} \,(\nabla \cdot \mathbf {u} )+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\,\mathbf {v} .}$

Hengerkoordinátákban a ${\displaystyle \mathbf {v} (\rho ,\varphi ,z)=v_{\rho }{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+v_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$ vektormező rotációja a következő:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial v_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial z}}\right){\hat {\boldsymbol {\rho }}}+\left({\frac {\partial v_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial \rho }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \left(\rho v_{\varphi }\right)}{\partial \rho }}-{\frac {\partial v_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\hat {\mathbf {z} }}.}$

Gömbi koordinátákban megadott ${\displaystyle \mathbf {v} (r,\varphi ,\theta )=v_{r}{\hat {\mathbf {r} }}+v_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+v_{\theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ vektormező rotációja pedig:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(v_{\varphi }\sin \theta \right)-{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \varphi }}\right){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial v_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rv_{\varphi }\right)\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}\left(rv_{\theta }\right)-{\frac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}.}$

Laplace-operátor

Bővebben: Laplace-operátor

A nabla operátor önmagával vett skaláris szorzatának eredménye a Laplace-operátor ${\displaystyle \Delta }$:

${\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}=\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}.}$

Egy skalármezőre a Laplace-operátort alkalmazva ismét egy skalármezőt kapunk. Vektormezőkön is alkalmazható a Laplace-operátor, ott minden komponensére hat.

A Laplace-operátor ${\displaystyle f}$ skalármezőn kiértékelve hengerkoordinátákban

${\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}},}$

gömbi koordinátákban pedig

${\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\!\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\!\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\!\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}.}$

Hesse-operátor

Bővebben: Hesse-mátrix

A Hesse-mátrix egy adott skalármező (vagy többváltozós függvény) második deriváltjait tartalmazza, így leírható a nabla operátor segítségével:

${\displaystyle \mathbf {H} ^{f}(x)=(\nabla \cdot \nabla ^{T})f(x).}$

Ebben az egyenletben a ${\displaystyle \cdot }$ a közönséges mátrixszorzatot jelöli, például egy ${\displaystyle n}$ dimenziós euklidészi térben a ${\displaystyle \nabla }$ egy ${\displaystyle (n\times 1)}$-es mátrix, míg ${\displaystyle \nabla ^{T}}$ egy ${\displaystyle (1\times n)}$-es mátrix, így a szorzatuk egy ${\displaystyle (n\times n)}$-es mátrix, ami ${\displaystyle f}$ skalármezőn kiértékelve a mező (vagy függvény) Hesse-mátrixával egyenlő.

Nablával kifejezhető operátorok azonosságai

Amennyiben ${\displaystyle f}$ és ${\displaystyle \mathbf {v} }$ tetszőlegesen sokszor differenciálható, a következő azonosságok teljesülnek:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rot} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)=0\\\operatorname {div} (\operatorname {rot} \mathbf {v} )&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )=0\end{aligned}}}$

${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f}$

${\displaystyle \operatorname {rot} (\operatorname {rot} \mathbf {v} )=\operatorname {grad} (\operatorname {div} \mathbf {v} )-\Delta \mathbf {v} .}$