Gamma-függvény

A Γ-függvény (gamma-függvény) a következő képlettel definiált komplex változós függvény:

${\displaystyle \Gamma (s):=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}e^{-t}\ dt.}$

A Γ-függvény grafikonja a valós számegyenes mentén

Mivel az ${\displaystyle e^{-t}}$ nagyon gyorsan 0-hoz tart, az integrál minden valós s > 0-ra sőt minden pozitív valós részű komplex s esetén létezik. Parciális integrálással adódik, hogy ha s valós része 1-nél nagyobb, akkor

${\displaystyle \Gamma (s)=(s-1)\Gamma (s-1)\,}$

is teljesül. Emiatt a tulajdonsága miatt teljesül rá hogy ha n pozitív egész, akkor Γ(n) = (n − 1)!, azaz a gamma-függvény tekinthető a faktoriális művelet általánosításának −1 feletti valós számokra.

A faktoriálisnak léteznek más általánosításai is, de ez a legnépszerűbb és a legtöbb területen használt. A gamma-függvényt gyakran alkalmazzák a valószínűségszámítás területén, az analitikus számelméletben, s a Taylor-sorok elméletében és gyakorlatában is igen hasznos könnyítéseket lehet vele tenni. A gamma-függvény segítségével definiálható a béta-függvény és számos fontos valószínűség-eloszlás, például a gamma-eloszlás, a χ²-eloszlás, a Student-féle t-eloszlás (t-eloszlás) és az F-eloszlás.

Tulajdonságai

• A Gauss-féle definíció:

${\displaystyle \Gamma (x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!n^{x}}{x(x+1)\cdots (x+n)}}}$

• A Weierstrass-féle szorzatalak:

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (x)}}=xe^{\gamma x}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)e^{-{\frac {x}{n}}},}$

ahol γ az Euler-állandó.

• A Gauss-féle sokszorozási formula:

${\displaystyle n^{nx-1}\Gamma (x)\Gamma \left(x+{\frac {1}{n}}\right)\cdots \Gamma \left(x+{\frac {n-1}{n}}\right)={\frac {(2\pi )^{\frac {n-1}{2}}}{\sqrt {n}}}\Gamma (nx)}$

• Ha x nem egész szám, akkor

${\displaystyle \Gamma (x)\cdot \Gamma (1-x)={\frac {\pi }{\sin \pi x}}}$

Speciálisan ${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$.

• A gamma-függvény az egyetlen, az egész komplex síkon értelmezett meromorf f(s) függvény, ami egyszerre elégíti ki az alábbi három feltételt:

${\displaystyle (1)\quad f(s+1)=s\cdot f(s)}$

${\displaystyle (2)\quad f(1)=1}$

${\displaystyle (3)\quad ln(f(s))}$ konvex a valós egyenes (0, +∞) és a [(–k, –k+1), k pozitív egész] intervallumain.^[1]

• Hölder tétele: a ${\displaystyle \Gamma }$-függvény nem megoldása semmilyen algebrai differenciálegyenletnek, ahol az együtthatók racionális törtfüggvények.

• A Γ-függvény sehol sem veszi fel a nulla értéket, ezért a reciproka, az ${\displaystyle 1/\Gamma }$ holomorf függvény. A Γ-függvény megfelel a Mellin-transzformált reciprok exponenciális függvénynek:

${\displaystyle \Gamma (z)=\{{\mathcal {M}}e^{-x}\}(z).}$

Aszimptotikák

A gamma-függvényt nagy ${\displaystyle z}$ értékekre a Stirling-formula segítségével közelíthetjük meg:

${\displaystyle \Gamma \left(z\right)=z^{z-{\frac {1}{2}}}e^{-z}{\sqrt {2\pi }}\left({1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z}}\right)}\right),}$

illetve

${\displaystyle \Gamma \left(z\right)\sim z^{z-{\frac {1}{2}}}e^{-z}{\sqrt {2\pi }}\left({1+{\frac {1}{12}}z^{-1}+{\frac {1}{288}}z^{-2}-{\frac {139}{51840}}z^{-3}-\ldots }\right).}$

Logaritmusának aszimptotikus hatványsora:

${\displaystyle \ln \Gamma \left(z\right)\sim \left({z-{\frac {1}{2}}}\right)\ln z-z+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{12z}}-{\frac {1}{360z^{3}}}+{\frac {1}{1260z^{5}}}-\ldots \,.}$

Hányados aszimptotikus előállítása:

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({x+a}\right)}{\Gamma \left({x+b}\right)}}\sim x^{a-b}\left({1+{\frac {1}{2x}}\left({a-b}\right)\left({a+b-1}\right)+{\frac {1}{24x^{2}}}\left({a-b}\right)\left({a-b-1}\right)\left({3\left({a+b-1}\right)^{2}-a+b-1}\right)+\ldots }\right).}$