리 대수

리 대수(Lie代數, 영어: Lie algebra)는 리 군의 국소적 구조를 나타내는 대수 구조이다. 좀 더 엄밀히 말하면, 리 괄호라 부르는, 야코비 항등식을 만족하는 교대 쌍선형 이항 연산을 지닌 벡터 공간이다.

정의

가환환 ${\displaystyle K}$ 위에 정의된 리 대수 ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ])}$는 ${\displaystyle K}$-가군 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$와 다음을 만족하는 선형 변환 ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$로 이루어진다.

• (쌍선형성) 모든 ${\displaystyle x,y,z\in {\mathfrak {g}}}$와 ${\displaystyle a,b\in K}$에 대해 ${\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}$이다.
• (교대성) 모든 ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$에 대하여 ${\displaystyle [x,x]=0}$이다.
• (야코비 항등식) 모든 ${\displaystyle x,y,z\in {\mathfrak {g}}}$에 대해 ${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}$이다.

이 이항 연산은 리 괄호(Lie括弧, 영어: Lie bracket)로 불린다. 리 대수의 준동형은 리 괄호를 보존하는 선형 변환이다.

만약 ${\displaystyle K}$에서 2의 역원 ${\displaystyle 2^{-1}}$이 존재한다면 (예를 들어, ${\displaystyle K}$가 표수가 2가 아닌 체라면), 교대성을 반대칭성, 즉 모든 ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$에 대하여 ${\displaystyle [x,y]+[y,x]=0}$인 성질로 대체할 수 있다. (2가 가역원이 아니라면, 교대성이 반대칭성보다 더 강한 조건이다.)

통상적으로 리 대수는 흑자체 소문자 ${\displaystyle {\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}}$ 등으로 나타낸다.

정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 위의 리 대수를 리 환(Lie環, 영어: Lie ring)이라고 부르기도 한다. 이름과 달리 리 환은 (곱셈 결합 법칙을 따르는) 환을 이루지 않는다.

부분 대수와 아이디얼

 이 부분의 본문은 리 대수 아이디얼입니다.

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 부분 리 대수(영어: Lie subalgebra) ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$는 리 괄호에 대하여 닫힌 ${\displaystyle K}$-부분 가군이다. 즉, ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$이며 ${\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subseteq {\mathfrak {h}}}$이다.

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 리 대수 아이디얼 ${\displaystyle I\subset {\mathfrak {g}}}$는 ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},I]\subseteq I}$를 만족하는 ${\displaystyle K}$-부분 가군이다. 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수다. 이는 군론의 정규 부분군이나 환론의 아이디얼에 대응하는 개념으로, 마찬가지로 몫 리 대수(영어: quotient Lie algebra) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/I}$를 정의할 수 있다. 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

등급 리 대수

환의 개념에 등급을 붙여 등급환을 정의할 수 있는 것처럼, 등급 리 대수(等級Lie代數, 영어: graded Lie algebra)의 개념을 정의할 수 있다. 가환 모노이드 ${\displaystyle (D,+)}$가 주어졌다고 하자. 가환환 ${\displaystyle K}$ 위의, ${\displaystyle D}$ 등급을 갖는 등급 리 대수 ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ])}$는 다음과 같이, 등급이 붙어 있고, 리 괄호가 등급을 보존하는 리 대수이다. 즉,

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus _{d\in D}{\mathfrak {g}}_{d}}$

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}_{d}\times {\mathfrak {g}}_{d'}\to {\mathfrak {g}}_{d+d'}}$

이다.

성질

리 군론적 성질

 이 부분의 본문은 리 대응입니다.

리 군론에서, 실수체 또는 복소수체 위의 리 대수는 실수 또는 복소수 리 군과 밀접한 관계를 가진다. 모든 리 군에 대하여, 그 왼쪽 불변 벡터장들은 유한 차원 실수 리 대수를 이루며, 반대로 모든 유한 차원 실수 리 대수는 유일한 연결 단일 연결 리 군의 동형류에 표준적으로 대응한다.

통상적으로, 주어진 리 군의 리 대수는 리 군의 이름의 흑자체 소문자로 쓴다. 예를 들어 SO(5)의 리 대수는 ${\displaystyle \operatorname {Lie} (\operatorname {SO} (5))={\mathfrak {so}}(5)}$이다.

보편 대수학적 성질

리 군과 달리, 주어진 체 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 이 대수 구조 다양체는 다음과 같은 연산을 갖는다.

• 0항 연산:
  • 0 (덧셈 항등원)
• 1항 연산:
  • − (덧셈 역원)
  • 임의의 ${\displaystyle a\in K}$에 대하여, 스칼라곱 ${\displaystyle a\cdot }$
• 2항 연산:
  • + (덧셈)
  • ${\displaystyle [-,-]}$ (리 괄호)

이는 ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간의 대수 구조에 리 괄호를 추가한 것이다. 이에 따라 자유 리 대수의 개념이나 리 대수의 직접곱을 정의할 수 있다. 유한 개의 리 대수의 직접곱은 직합과 같다.

이 밖에도, 다음과 같은 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다.

• 아벨 리 대수. 이는 항등식 ${\displaystyle [x,y]=0}$으로 정의된다.
• ${\displaystyle k}$형의 멱영 리 대수. 이는 내림 중심렬의 길이가 ${\displaystyle k}$ 이하인 리 대수이다.
• ${\displaystyle k}$형의 가해 리 대수. 이는 유도열의 길이가 ${\displaystyle k}$ 이하인 리 대수이다.

리 대수의 대수 구조 다양체들의 모임 위에는 다음과 같이 이항 연산을 정의할 수 있다. 리 대수의 대수 구조 다양체 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$가 주어졌을 때, 그 곱 ${\displaystyle {\mathcal {U}}{\mathcal {V}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$의 원소들의, ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$에 속한 리 대수 아이디얼에 대한 리 대수 확대로 구성된다.

범주론적 성질

주어진 체 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수와 리 대수 준동형의 범주 ${\displaystyle \operatorname {LieAlg} _{K}}$는 대수 구조 다양체의 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

리 대수의 범주에서, 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치하며, 이는 둘 다 직합이다. 리 대수의 범주는 영 대상을 가지며, 이는 유일한 0차원 리 대수이다. 리 대수의 범주는 또한 핵과 여핵을 갖는다. 리 대수 준동형 ${\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$의 핵은 ${\displaystyle 0\in {\mathfrak {h}}}$의 원상 ${\displaystyle \phi ^{-1}(0)}$이며, 이는 리 대수 아이디얼을 이룬다. ${\displaystyle \phi }$의 여핵은 그 치역 ${\displaystyle \phi ({\mathfrak {g}})}$를 포함하는 가장 작은 리 대수 아이디얼에 대한 몫 리 대수이다. (이러한 리 대수 아이디얼은 유일하다.)

리 대수의 범주는 아벨 군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$ 위의 풍성한 범주(영어: enriched category)이다. 그러나 아이디얼이 아닌 부분 리 대수가 존재하므로, 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 않는다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 단위 결합 대수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {uAssoc} _{K}}$에서 체 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {LieAlg} _{K}}$로 가는 망각 함자

${\displaystyle \operatorname {Forget} \colon \operatorname {uAssoc} _{K}\to \operatorname {LieAlg} _{K}}$

가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 보편 포락 대수 함자

${\displaystyle {\mathcal {U}}\colon \operatorname {LieAlg} _{K}\to \operatorname {uAssoc} _{K}}$

이다.

오퍼라드 이론적 성질

리 대수의 구조를 묘사하는 오퍼라드인 리 오퍼라드(영어: Lie operad) ${\displaystyle \operatorname {Lie} }$가 존재한다. 즉, 체 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수는 ${\displaystyle K}$-벡터 공간의 범주 위의 ${\displaystyle \operatorname {Lie} }$-대수이다. 마찬가지로, ${\displaystyle K}$-초 벡터 공간의 범주 위의 ${\displaystyle \operatorname {Lie} }$-대수는 리 초대수라고 한다.

다른 오퍼라드와 마찬가지로, 리 오퍼라드의 호모토피화를 정의할 수 있다. 즉, 야코비 항등식이 "호모토피 동치 아래" 성립하는 대수를 정의할 수 있다. 이를 L∞-대수라고 한다.

연산

중심

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 중심(中心, 영어: center) ${\displaystyle \operatorname {Z} ({\mathfrak {g}})}$은 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다.

${\displaystyle \operatorname {Z} ({\mathfrak {g}})=\{x\in {\mathfrak {g}}\colon [x,{\mathfrak {g}}]=0\}}$

이는 아벨 리 대수를 이루며, 또한 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심의 개념에 대응한다.

몫 리 대수

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 리 대수 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$가 주어졌을 때, 몫 리 대수(영어: quotient Lie algebra) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}}$를 정의할 수 있다. ${\displaystyle K}$-가군으로서, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}}$는 몫가군 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}}$이다. 이 위의 리 괄호는 다음과 같이 자연스럽게 정의된다.

${\displaystyle [x+{\mathfrak {a}},y+{\mathfrak {a}}]=[x,y]+{\mathfrak {a}}}$

이는 아이디얼의 정의에 따라 동치류의 대표원의 선택에 의존하지 않는다.

직합

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 두 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$가 주어졌을 때, 그 직합 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}$를 정의할 수 있다. 이는 가군으로서의 직합과 일치하며, 그 위의 리 괄호는 다음과 같이 성분별로 정의된다.

${\displaystyle [g,g']_{{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}=[g,g']_{\mathfrak {g}}\qquad \forall g,g'\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [h,h']_{{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}=[h,h']_{\mathfrak {h}}\qquad \forall h,h'\in {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle [g,h]_{{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}=[h,g]_{{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}=0\qquad \forall g\in {\mathfrak {g}},\;h\in {\mathfrak {h}}}$

보다 일반적으로, ${\displaystyle K}$-리 대수의 집합 ${\displaystyle \{{\mathfrak {g}}_{i}\}_{i\in I}}$이 주어졌을 때, 그 직합

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}{\mathfrak {g}}_{i}}$

를 정의할 수 있다. 마찬가지로, ${\displaystyle K}$-리 대수의 집합 ${\displaystyle \{{\mathfrak {g}}_{i}\}_{i\in I}}$이 주어졌을 때, 그 직접곱

${\displaystyle \prod _{i\in I}{\mathfrak {g}}_{i}}$

를 정의할 수 있다. 유한 직접곱은 유한 직합과 일치하지만, 무한 직접곱은 일반적으로 무한 직합보다 더 크다.

실수체 위의 리 대수의 직합·직접곱은 리 군의 직접곱에 대응한다. 반면, 리 대수의 텐서곱은 일반적으로 정의될 수 없다.

리 대수의 확대

군에 대하여 군의 확대를 정의할 수 있는 것처럼, 리 대수의 확대(擴大, 영어: extension)를 다음과 같이 정의할 수 있다. 리 대수의 범주에서는 영 대상과 핵 · 여핵이 존재하므로, 완전열의 개념을 정의할 수 있다. 리 대수의 짧은 완전열

${\displaystyle 0\to {\mathfrak {h}}{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}{\mathfrak {e}}{\stackrel {q}{\twoheadrightarrow }}{\mathfrak {g}}\to 0}$

이 주어졌다면, ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$를 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$로의 확대라고 한다. 만약 ${\displaystyle \ker q}$가 ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$의 중심에 속한다면, 이를 (군의 경우와 마찬가지로) 중심 확대(中心擴大, 영어: central extension)라고 한다.

반직접합

 이 부분의 본문은 리 대수 반직접합입니다.

군에 대하여 반직접곱을 정의할 수 있는 것처럼, 두 개의 리 대수의 반직접합(영어: semidirect sum)을 정의할 수 있다. 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 못하므로, 직합이 아닌 반직접합이 존재한다.

미분

체 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 위의 미분(微分, 영어: derivation)은 다음과 같은 ${\displaystyle K}$-선형 변환이다.

${\displaystyle \delta \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

이는 다음과 같은 곱 규칙을 만족시켜야 한다.

${\displaystyle \delta [x,y]=[\delta x,y]+[x,\delta y]\qquad \forall x,y\in {\mathfrak {g}}}$

리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 위의 미분들의 벡터 공간을 ${\displaystyle {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})}$라고 쓰자. 이 위에 다음과 같은 리 괄호를 부여한다면 이 역시 리 대수를 이루며, 이를 미분 리 대수(영어: Lie algebra of derivations) ${\displaystyle {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})}$라고 한다.

${\displaystyle [\delta ,\delta ']=\delta \circ \delta '-\delta '\circ \delta \qquad \forall \delta ,\delta '\in {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})}$

이는 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}};K)}$의 부분 리 대수를 이룬다. 만약 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 아벨 리 대수라면 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}};K)={\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})}$이다.

${\displaystyle K=\mathbb {R} }$일 경우, ${\displaystyle {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})}$는 리 대수의 (리 군인) 자기 동형군 ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})}$의 리 대수와 같다. 즉, 리 대수의 미분은 무한소 자기 동형으로 생각할 수 있다.

임의의 원소 ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$에 대하여, 딸림표현 ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\colon y\mapsto [x,y]}$는 미분을 이룬다. 이러한 미분을 내부 미분(內部微分, 영어: inner derivation)이라고 한다.

구조론과 분류

우선 다음 성질을 정의하자.

• 아벨 리 대수(Abel Lie代數, 영어: Abelian Lie algebra)는 임의의 ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$에 대하여 ${\displaystyle [x,y]=0}$인 대수다.
• 멱영 리 대수는 다음을 만족한다. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {g}}}$이고, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{k+1}=[{\mathfrak {g}}_{k},{\mathfrak {g}}]}$로 정의하자. 그렇다면 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{k}=0}$인 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$이 존재한다.
• 가해 리 대수는 다음을 만족한다. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {g}}}$이고, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{k+1}=[{\mathfrak {g}}_{k},{\mathfrak {g}}_{k}]}$로 정의하자. 그렇다면 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{k}=0}$인 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$이 존재한다.
• 단순 리 대수는 자신이나 0이 아닌 리 대수 아이디얼을 가지지 않고, 가환하지 않는 리 대수다.
• 반단순 리 대수는 0이 아닌 가환 리 대수 아이디얼을 지니지 않는 리 대수다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아벨 리 대수 ⊊ 멱영 리 대수 ⊊ 가해 리 대수 ⊊ 리 대수

단순 리 대수 ⊊ 반단순 리 대수 ⊊ 리 대수

다음을 보일 수 있다.

• 임의의 유한 차원 실수 또는 복소 리 대수는 행렬로 충실히 표현할 수 있다. (아도 정리 영어: Ado’s theorem)^[1][2]
• 임의의 유한 차원 실수 리 대수는 가해 아이디얼과 반단순 부분 리 대수의 반직접합으로 나타낼 수 있다. (레비 분해 영어: Levi decomposition)^[3]
• (실수 또는 복소수) 콤팩트 리 군의 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이다. (이를 간혹 콤팩트 리 대수라 부르기도 한다. 물론, 리 대수는 벡터 공간이므로 위상수학적으로 절대 콤팩트 공간이 아니다.)
• 모든 반단순 리 대수는 단순 리 대수의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

아벨 리 대수는 자명하게 차원으로 분류된다. 실수와 복소수 단순 리 대수는 완전히 분류되었다. 복소수 단순 리 대수는 4개의 무한한 족과 5개의 예외적 대수로 분류되며, 주어진 복소수 단순 리 대수에 대응되는 (유한한 수의) 실수 단순 리 대수 역시 완전히 알려져 있다. 그러나 가해 리 대수의 분류는 매우 어렵다.

낮은 차원의 리 대수

3차원 이하의 실수 리 대수에 대하여, 비앙키 분류(영어: Bianchi classification)라는 분류가 존재한다.^[4][5] 이는 루이지 비앙키가 도입하였다.

2차원 이하 리 대수

임의의 체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 2차원 이하의 리 대수는 다음 네 가지밖에 없다.

• 0차원 아벨 리 대수 ${\displaystyle \{0\}}$
• 1차원 아벨 리 대수 ${\displaystyle K}$
• 2차원 아벨 리 대수 ${\displaystyle K^{\oplus 2}}$
• 2차원 비아벨 가해 리 대수 ${\displaystyle K\oplus _{\psi }K}$. 여기서 ${\displaystyle \psi \colon K\times K\to K}$는 곱셈 ${\displaystyle \psi (a,b)=ab}$으로 잡을 수 있다.

2차원에서의 유일한 비아벨 실수 리 대수는 다음과 같이 생각할 수 있다.

• 특수 상삼각 행렬 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {st}}(2;\mathbb {R} )\subset {\mathfrak {gl}}(2;\mathbb {R} )}$. 이는 2×2 상삼각 행렬 가운데, 대각합이 0인 것들로 구성된다.
• 1차원 아핀 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {aff}}(1;\mathbb {R} )}$

3차원 실수 리 대수

모든 3차원 실수 리 대수는 단순 리 대수이거나 가해 리 대수이다. 3차원 단순 리 대수는 실수 반단순 리 대수는 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )}$와 ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2)}$ 두 개가 있다. 전통적으로 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )}$는 VIII형, ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )}$는 IX형으로 불린다.

3차원 실수 가해 리 대수는 아벨 리 대수의 반직접합 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\oplus _{\psi }\mathbb {R} }$으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 작용

${\displaystyle \psi \colon \mathbb {R} \to {\mathfrak {der}}(\mathbb {R} ^{2})={\mathfrak {gl}}(2;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \psi \colon t\mapsto t\psi (1)}$

는 2×2 실수 정사각 행렬 ${\displaystyle \psi (1)\in {\mathfrak {gl}}(2;\mathbb {R} )}$에 의하여 완전히 결정된다. ${\displaystyle \psi (1)}$과 ${\displaystyle \alpha M^{-1}\psi (1)M}$ (${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{\times }}$, ${\displaystyle M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {R} )}$)는 동형인 반직접합을 결정하므로, 이러한 리 대수의 분류는 2×2 실수 정사각 행렬의 닮음 분류로 귀결된다. 이는 다음과 같이 ${\displaystyle \psi (1)}$의 조르당 표준형으로 결정되며, 이들에는 전통적으로 I형~VII형으로의 이름이 붙어 있다.

${\displaystyle \psi (1)={\begin{cases}{\begin{pmatrix}\lambda &1\\&\lambda \end{pmatrix}},\;\lambda \in \mathbb {R} &{\begin{cases}\lambda =0&{\text{II}}\\\lambda \neq 0&{\text{IV}}\end{cases}}\\{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{pmatrix}},\;\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R} ,\;\lambda _{1}\leq \lambda _{2}&{\begin{cases}\lambda _{1}=\lambda _{2}=0&{\text{I}}\\\lambda _{1}=\lambda _{2}\neq 0&{\text{V}}\\\lambda _{1}=-\lambda _{2}\neq 0&{\text{VI}}_{0}\\\lambda _{1}=0<\lambda _{2}\lor \lambda _{1}<\lambda _{2}=0&{\text{III}}\\\lambda _{1}\neq \pm \lambda _{2},\;\lambda _{1}\neq 0\neq \lambda _{2}&{\text{VI}}\end{cases}}\\{\begin{pmatrix}a-ib&0\\0&a+ib\end{pmatrix}},\;a\in \mathbb {R} ,\;b\in \mathbb {R} ^{+}&{\begin{cases}a=0&{\text{VII}}_{0}\\a\neq 0&{\text{VII}}\end{cases}}\end{cases}}}$

이 가운데 I형은 아벨 리 대수이며, II형은 하이젠베르크 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}(3;\mathbb {R} )}$이자 2차원 갈릴레이 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {gal}}(2;\mathbb {R} )}$이다. 이 둘은 위 분류 가운데 유일한 멱영 리 대수들이다. III형은 직합 ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus {\mathfrak {st}}(2;\mathbb {R} )}$와 같다. V형은 평면의 닮음 변환군(영어: homothety, 평행 이동과 확대 변환으로 생성되는 군)의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {id}}(2;{\mathfrak {R}})}$이며, VI₀형은 (1,1)차원 푸앵카레 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {iso}}(1,1;\mathbb {R} )}$와 같으며, VII₀형은 2차원 유클리드 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {iso}}(2;\mathbb {R} )}$와 같다. II형과 VI₀형은 3차원 다양체의 기하화 추측의 8가지 기하 가운데 각각 영기하와 해기하에 대응한다. VI형과 VII형은 무한한 족을 이루며, 나머지는 모두 (동형 아래) 하나의 리 대수에 대응한다.

즉,

${\displaystyle \psi (1)={\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}}$

일 경우, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Span} \{x,y,t\}}$로 잡으면 그 리 괄호는 구체적으로 다음과 같다.

${\displaystyle [t,x]=ax}$

${\displaystyle [t,y]=t(bx+cy)}$

형	다른 이름	단일 연결 리 군의 중심	외부자기동형군	성질
I형	아벨 리 대수 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	${\displaystyle \operatorname {GL} (3;\mathbb {R} )}$	아벨 리 대수
II형	하이젠베르크 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}(3;\mathbb {R} )}$, 갈릴레이 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {gal}}(2;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \operatorname {GL} (2;\mathbb {R} )}$	멱영 리 대수
III형	${\displaystyle \mathbb {R} \oplus {\mathfrak {st}}(2;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$	가해 리 대수
IV형		0	${\displaystyle \mathbb {R} \times (\mathbb {Z} /2)}$
V형	닮음 변환 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {id}}(2;\mathbb {R} )}$		${\displaystyle \{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {R} )\colon \det M=\pm 1\}}$
VI형			${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\times (\mathbb {Z} /2)}$
VI0형	푸앵카레 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {iso}}(1,1;\mathbb {R} )}$		${\displaystyle \mathbb {R} \times \operatorname {Dih} (\mathbb {Z} /4)}$
VII형			${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$
VII0형	유클리드 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {iso}}(2;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\times (\mathbb {Z} /2)}$
VIII형	특수 선형 대수${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$	단순 리 대수
IX형	직교 대수/유니터리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {u}}(2)}$	${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$	1

3차원 복소수 리 대수

3차원의 복소수 리 대수의 비앙키 분류는 실수의 경우와 유사하지만, 대수적으로 닫힌 체이므로 더 간단하다.

3차원 복소수 단순 리 대수의 경우, ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )}$ 하나밖에 없다. 이는 전통적으로 VIII/IX형으로 불린다.

3차원 복소수 가해 리 대수의 경우, 마찬가지로 2×2 복소수 행렬의 조르당 표준형의 분류로 귀결되는데, 이 경우 VI형과 VII형이 같아지며, VI₀형과 VII₀ 형이 같아진다.

${\displaystyle \psi (1)={\begin{cases}{\begin{pmatrix}\lambda &1\\&\lambda \end{pmatrix}},\;\lambda \in \mathbb {C} &{\begin{cases}\lambda =0&{\text{II}}\\\lambda \neq 0&{\text{IV}}\end{cases}}\\{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{pmatrix}},\;\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {C} &{\begin{cases}\lambda _{1}=\lambda _{2}=0&{\text{I}}\\\lambda _{1}=\lambda _{2}\neq 0&{\text{V}}\\\lambda _{1}=-\lambda _{2}\neq 0&{\text{VI}}_{0}/{\text{VII}}_{0}\\\lambda _{1}=0\neq \lambda _{2}\lor \lambda _{1}\neq \lambda _{2}=0&{\text{III}}\\\lambda _{1}\neq \pm \lambda _{2},\;\lambda _{1}\neq 0\neq \lambda _{2}&{\text{VI}}/{\text{VII}}\end{cases}}\end{cases}}}$

4차원 이상

레비 분해에 따라, 리 대수의 분해는 가해 리 대수의 분류로 귀결된다. 임의의 표수의 체 위의, 4차원 이하의 리 대수는 그뢰브너 기저를 사용하여 최근에 완전히 분류되었다.^[6][7][8]

예

아벨 리 대수

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 자명한 가군 ${\displaystyle \{0\}}$ 위에, 자명한 리 괄호 ${\displaystyle [0,0]=0}$를 준다면 이는 리 대수를 이룬다. 이는 리 대수의 범주의 영 대상이다.

보다 일반적으로, 가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 가군 ${\displaystyle V}$ 위에 자명한 리 괄호 ${\displaystyle [a,b]=0}$을 준다면 이 역시 리 대수를 이룬다. 이를 아벨 리 대수(영어: Abelian Lie algebra)라고 한다. 만약 ${\displaystyle K}$가 실수체이거나 복소수체라면, 이는 실수 또는 복소수 아벨 리 군의 리 대수이다.

단위 결합 대수의 리 대수 구조

 이 부분의 본문은 단위 결합 대수입니다.

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 단위 결합 대수 ${\displaystyle (A,\cdot )}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle A}$ 위에 다음과 같이 리 괄호를 환 교환자로 정의하면, ${\displaystyle A}$는 리 대수를 이룬다.

${\displaystyle [a,b]=a\cdot b-b\cdot a}$

특히, ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬들은 행렬 곱셈에 대하여 단위 결합 대수를 이루며, 이에 대한 리 대수는 일반 선형 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n;K)}$이다.

미분

 이 부분의 본문은 미분 (대수학)입니다.

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 (결합 대수가 아닐 수 있는) 대수 ${\displaystyle A}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle A}$ 위의 미분들의 집합을 ${\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)}$라고 쓰자. ${\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)}$ 위에 다음과 같은 리 괄호를 교환자로서 정의하자.

${\displaystyle [\delta ,\delta ']=\delta \circ \delta '-\delta '\circ \delta }$

그렇다면 ${\displaystyle [\delta ,\delta ']}$ 역시 미분을 이룸을 알 수 있다. 이 리 괄호에 대하여 ${\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)}$는 ${\displaystyle K}$-리 대수를 이룬다.

자유 리 대수

 이 부분의 본문은 자유 리 대수입니다.

리 대수의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 자유 리 대수(영어: free Lie algebra)를 정의할 수 있다. 집합 ${\displaystyle S}$ 위의 자유 리 대수를 ${\displaystyle L(S)}$라고 하고, ${\displaystyle S}$ 위의 자유 단위 결합 대수(=텐서 대수, 비가환 다항식 대수)를 ${\displaystyle K\langle S\rangle }$라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle L(S)}$는 자연스럽게 ${\displaystyle K\langle S\rangle }$의 부분 집합을 이루며, ${\displaystyle K\langle S\rangle }$는 ${\displaystyle L(S)}$의 보편 포락 대수이다. ${\displaystyle L(S)}$는 ${\displaystyle K\langle S\rangle }$ 속의, ${\displaystyle S}$로 생성되는 부분 리 대수이다.

벡터장

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 매끄러운 벡터장들의 벡터 공간 ${\displaystyle \operatorname {Vect} M}$은 리 미분에 대하여 리 대수를 이룬다.

리 군 ${\displaystyle G}$ 위의, 왼쪽 불변 벡터장들은 리 대수 ${\displaystyle \operatorname {Lie} G}$를 이룬다. 즉, ${\displaystyle \operatorname {Lie} G}$는 ${\displaystyle \operatorname {Vect} G}$의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.

심플렉틱 다양체 ${\displaystyle (M,\omega )}$ 위의 매끄러운 함수 ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$에 대하여, 다음과 같이 푸아송 괄호를 정의하자.

${\displaystyle \{f,g\}=\omega ^{-1}(df,dg)}$

그렇다면 이는 야코비 항등식을 만족시키며, 따라서 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$는 ${\displaystyle \mathbb {R} }$-리 대수를 이룬다. ${\displaystyle \{f,-\}}$의 꼴로 나타내어지는 벡터장을 해밀턴 벡터장이라고 하며, 해밀턴 벡터장의 리 미분은 푸아송 괄호와 일치한다. 즉, ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$는 해밀턴 벡터장들로 구성된 ${\displaystyle \operatorname {Vect} M}$의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.

보다 일반적으로, 푸아송 다양체 ${\displaystyle (M,\{,\})}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$는 ${\displaystyle \mathbb {R} }$-리 대수를 이룬다.

형식적 벡터장

표수가 0인 체 ${\displaystyle K}$ 위의 형식적 멱급수환 ${\displaystyle K[[x_{1},\dots ,x_{n}]]}$을 생각하자. 이 가환환 위의 미분은 ${\displaystyle n}$차원 공간 위의 형식적 벡터장으로 생각할 수 있다. 이러한 모든 미분들의 집합 ${\displaystyle \operatorname {Der} K[[x_{1},\dots ,x_{n}]]}$은 리 대수를 이룬다. ${\displaystyle \operatorname {Der} K[[x_{1},\dots ,x_{n}]]}$의 부분 리 대수를 형식적 벡터장 리 대수(영어: Lie algebra of formal vector fields)라고 한다.^[9]

두 형식적 벡터장 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subseteq \operatorname {Der} K[[x_{1},\dots ,x_{n}]]}$가 ${\displaystyle K[[x_{1},\dots ,x_{n}]]}$의 자기 동형을 통해 관련된다면, 서로 좌표 변환 아래 동치(영어: equivalent under coordinate transformation)라고 한다.

${\displaystyle X\in \operatorname {Der} K[[x_{1},\dots ,x_{n}]]}$의 차수는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {ord} X=-1+\min _{i=1}^{n}\operatorname {ord} X(x_{i})\in \{-1,0,1,2,\dots \}}$

여기서 우변에서 ${\displaystyle \operatorname {ord} \left(x^{n}(c+O(x))\right)=n}$이다. 이렇게 형식적 벡터장의 차수를 정의한다면, ${\displaystyle \operatorname {ord} [X,Y]\geq \operatorname {ord} X+\operatorname {ord} Y}$가 된다. 따라서, 형식적 벡터장 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 속에서, 차수가 0 이상인 원소들의 부분 벡터 공간 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}\subseteq {\mathfrak {g}}}$는 부분 리 대수를 이룬다. ${\displaystyle L_{0}}$의 ${\displaystyle L}$ 속의 여차원은 ${\displaystyle n}$ 이하이다. 만약 ${\displaystyle L_{0}}$의 여차원이 ${\displaystyle n}$이라면, ${\displaystyle L}$을 추이적 형식적 벡터장 리 대수(영어: transitive Lie algebra of formal vector fields)라고 한다.

1차원 공간 위의 유한 차원 형식적 벡터장 리 대수는 모두 분류되었으며, 다음과 같이 두 개의 무한 족과 하나의 예외가 있다.

• ${\displaystyle \langle x^{i}\partial _{x}\rangle }$, ${\displaystyle i=0,1,2,3,\dots }$. 이는 1차원 아벨 리 대수이다.
• ${\displaystyle \langle x\partial _{x},x^{i}\partial _{x}\rangle }$, ${\displaystyle i=0,2,3,4,\dots }$. 이는 2차원 비아벨 가해 리 대수이다.
• ${\displaystyle \langle \partial _{x},x\partial _{x},x^{2}\partial _{x}\rangle }$. 이는 3차원 단순 리 대수이며, 2차원 특수 선형 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;K)}$와 동형이다.

이 가운데 추이적 형식적 벡터장 리 대수는 ${\displaystyle \langle \partial _{x}\rangle }$, ${\displaystyle \langle \partial _{x},x\partial _{x}\rangle }$, ${\displaystyle \langle \partial _{x},x\partial x,x^{2}\partial _{x}\rangle }$ 세 개이다.

대수적으로 닫힌 체 계수의 2차원 공간 위의 유한 차원 추이적 형식적 벡터장 리 대수들은 소푸스 리가 분류하였다.^[9] 실수체의 경우에도 마찬가지로 유사한 분류가 존재한다.^[10]

반단순 리 대수

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표수 0인 대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 반단순 리 대수는 모두 분류되었다. 반단순 리 대수는 단순 리 대수들의 직합이며, 단순 리 대수는 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{n}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{n}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {c}}_{n}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {d}}_{n}}$ 4개의 무한 족과 ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{5}}$ 5개의 예외 단순 리 대수로 분류된다.

표수 0인 대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 반단순 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 속에 카르탕 부분 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$를 잡자. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ 속의 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 근계 ${\displaystyle \Phi \subset {\mathfrak {h}}^{*}}$를 생각하자. 그렇다면, 단순 리 대수의 구조론에 따라 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$는 ${\displaystyle \operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }\Phi }$-등급 리 대수를 이룬다. 구체적으로, ${\displaystyle g\in {\mathfrak {g}}}$의 등급은

${\displaystyle (\deg g)h=[h,g]}$

이다.

중심렬

군 ${\displaystyle G}$ 속의 한 중심렬

${\displaystyle G=G_{0}\geq G_{1}\geq \cdots }$

이 주어졌다고 하자. 즉, 모든 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$에 대하여

${\displaystyle [G_{i},G_{j}]\leq G_{i+j}}$

라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$은 모두 아벨 군을 이룬다. 이 몫군들의 직합을 생각하자.

${\displaystyle L=\bigoplus _{i=0}^{\infty }G_{i}/G_{i+1}}$

이는 자연스럽게 아벨 군을 이룬다. 이 위에 다음과 같이 리 괄호를 군 교환자로 정의하자.

${\displaystyle [xG_{i},yG_{j}]=x^{-1}y^{-1}xyG_{i+j}}$

그렇다면, 이는 자연수 등급이 붙은 등급 리 환을 이룬다.

호모토피 군

점을 가진 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 호모토피 군 ${\displaystyle \pi _{k}(X)}$ 위에는 화이트헤드 괄호라는 다음과 같은 쌍선형 이항 연산이 존재한다.

${\displaystyle [,]\colon \pi _{k}(X)\times \pi _{l}(X)\to \pi _{k+l-1}(X)}$

이는 야코비 항등식을 만족시키며, 반대칭이지만, 일반적으로 교대 형식을 이루지 않는다.^[11] 만약 여기서 꼬임 부분군에 대한 몫을 취하면 리 대수를 얻는다. 구체적으로, 유리수 호모토피 이론에서 유리수 계수의 호모토피 군

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{k}=\pi _{k-1}(X;\mathbb {Q} )}$

을 생각하면, 이는 화이트헤드 괄호 아래 유리수 계수 등급 리 대수를 이룬다.

기타 예

• 비라소로 대수는 물리학, 특히 2차원 등각 장론에 등장하는 무한 차원 리 대수이다.
• 아핀 리 대수와 그 일반화 카츠-무디 대수 역시 무한 차원 리 대수의 예이다.
• 하이젠베르크 대수는 멱영 리 대수의 대표적인 예이다.

역사

소푸스 리가 리 군을 다루기 위하여 도입하였으며, "무한소군"(영어: infinitesimal group)으로 일컬었다. 빌헬름 킬링은 1888년~1890년 동안 반단순 리 대수의 분류를 제창하였고, 1894년에 엘리 카르탕이 킬링의 분류를 엄밀하게 증명하였다.^[12] 1898년에 루이지 비앙키는 3차원 이하의 리 대수의 비앙키 분류를 제시하였다.^[4]

1930년대에 헤르만 바일이 "리 대수"라는 용어를 도입하였다. 아도 정리는 이고리 드미트리예비치 아도(러시아어: И́горь Дми́триевич Адо́)가 1935년에 증명하였다.^[1] 레비 분해 정리는 1950년에 에우제니오 엘리아 레비(이탈리아어: Eugenio Elia Levi)가 증명하였다.^[3]

같이 보기

• 리 군
• 리 대수의 표현
• 근계
• 리 대수 코호몰로지
• 리 초대수
• 거스틴해버 대수

각주

1. Адо, Игорь Дмитриевич (1935). “О представлении конечных непрерывных групп помощью линейных подстановок”. 《Известия Физико-математического общества при Казанском университете》 (러시아어) 7: 1–43.
2. Адо, Игорь Дмитриевич (1947). “Представление алгебр Ли матрицами”. 《Успехи математических наук》 (러시아어) 2 (6): 159–173. ISSN 0042-1316. MR 0027753.
3. Levi, Eugenio Elia (1950). “Sulla struttura dei gruppi finiti e continui”. 《Atti della Reale Accademia delle Scienze di Torino》 (이탈리아어) 40: 551–565. JFM 36.0217.02.
4. Bianchi, L. (1898). “Sugli spazii a tre dimensioni che ammettono un gruppo continuo di movimenti”. 《Memorie di Matematica e di Fisica della Società Italiana delle Scienze》 (이탈리아어) 11: 267.
5. Glas, Manuel; Konstantis, Panagiotis; Krause, Achim; Loose, Frank (2014). “Bianchi’s classification of 3-dimensional Lie algebras revisited” (영어). arXiv:1403.2278. Bibcode:2014arXiv1403.2278G.
6. Patera, J.; Zassenhaus, H. (1990년 5월). “The construction of solvable Lie algebras from equidimensional nilpotent algebras”. 《Linear Algebra and its Applications》 (영어) 133: 89–120. doi:10.1016/0024-3795(90)90243-6. ISSN 0024-3795.
7. Patera, J.; Zassenhaus, H. (1990년 12월). “Solvable Lie algebras of dimension ≤4 over perfect fields”. 《Linear Algebra and its Applications》 (영어) (142): 1. doi:10.1016/0024-3795(90)90251-7. ISSN 0024-3795.
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9. Draisma, Jan (2012년 4월). “Transitive Lie algebras of vector fields: an overview”. 《Qualitative Theory of Dynamical Systems》 (영어) 11 (1): 39–60. arXiv:1107.2836. Bibcode:2011arXiv1107.2836D. doi:10.1007/s12346-011-0062-9. ISSN 1575-5460.
10. González-López, Artemio; Kamran, Niky; Olver, Peter J. (1992). “Lie algebras of vector fields in the real plane” (PDF). 《Proceedings of the London Mathematical Society》 (영어) 64 (2): 339–368. doi:10.1112/plms/s3-64.2.339. ISSN 0024-6115.
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외부 링크

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• “How about the Lie algebra over commutative ring?” (영어). Math Overflow.