그뢰브너 기저

가환대수학에서 그뢰브너 기저(Gröbner基底, 영어: Gröbner basis)는 다항식환의 아이디얼의 여러 성질들을 쉽게 계산할 수 있게 하는 부분집합이다.

정의

${\displaystyle n}$개의 변수 ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$에 대한 단항식(單項式, 영어: monomial)은

${\displaystyle x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}\cdots x_{n}^{m_{n}}\qquad (m_{1},\dots ,m_{n}\in \mathbb {N} =\mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\})}$

과 같은 꼴의 다항식이다. ${\displaystyle n}$개 변수에 대한 단항식 순서(單項式順序, 영어: monomial order)는 다음 성질들을 만족시키는, 단항식 집합 위의 전순서 ${\displaystyle \leq }$이다. 모든 단항식 ${\displaystyle M,N,P}$에 대하여,

• ${\displaystyle M<N\iff MP<NP}$
• ${\displaystyle M<MP}$

체 ${\displaystyle K}$에 대한 다항식환 ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$을 생각하자. 그렇다면 다항식 ${\displaystyle p\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$은 단항식의 합으로 분해할 수 있다. 단항식 순서 ${\displaystyle \leq }$에 대한 다항식 ${\displaystyle p}$의 최고차항(영어: leading term) ${\displaystyle \operatorname {lt} p}$은 ${\displaystyle p}$를 구성하는 단항식들 가운데, 단항식 순서 ${\displaystyle \leq }$에 대하여 가장 큰 단항식이다.

아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$와 단항식 순서 ${\displaystyle \leq }$가 주어졌다고 하자. 만약 다항식 집합 ${\displaystyle G\subset {\mathfrak {a}}}$의 최고차항들로 생성되는 아이디얼 ${\displaystyle (\operatorname {lt} G)}$가 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$의 최고차항으로 생성되는 아이디얼 ${\displaystyle (\operatorname {lt} {\mathfrak {a}})}$와 일치한다면, ${\displaystyle G}$를 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$의 그뢰브너 기저라고 한다.

${\displaystyle (\operatorname {lt} {\mathfrak {a}})=(\operatorname {lt} G)}$

역사

브루노 부흐베르거(독일어: Bruno Buchberger)가 박사 학위 논문에서 1965년에 정의하고, 이를 계산하는 알고리즘을 발표하였다.^[1][2] "그뢰브너 기저"라는 이름은 부흐베르거의 박사 과정 지도 교수 볼프강 그뢰브너(독일어: Wolfgang Gröbner)의 이름을 딴 것이다.

각주

1. Buchberger, Bruno (1965). 《Ein Algorithmus zum Auffinden der Basiselemente des Restklassenringes nach einem nulldimensionalen Polynomideal》 (PDF) (독일어). 인스브루크 대학교 박사 학위 논문.
2. Buchberger, Bruno (1970년 10월). “Ein algorithmisches Kriterium für die Lösbarkeit eines algebraischen Gleichungssystems”. 《Aequationes Mathematicae》 (독일어) 4 (3): 374–383. doi:10.1007/BF01844169. ISSN 0001-9054. Zbl 0212.06401.

• Buchberger, Bruno; Manuel Kauers (2010). “Groebner basis”. 《Scholarpedia》 (영어) 5 (10): 7763. doi:10.4249/scholarpedia.7763. ISSN 1941-6016. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• Buchberger, Bruno; Manuel Kauers (2011). “Buchberger's algorithm”. 《Scholarpedia》 (영어) 6 (10): 7764. doi:10.4249/scholarpedia.7764. ISSN 1941-6016. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• Sturmfels, Bernd (2005년 11월). “What is … a Gröbner basis?” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 52 (10): 1199–1200. Zbl 1093.13512.
• Roune, Bjarke Hammersholt; Michael Stillman (2012). “Practical Gröbner basis computation”. 《Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation》 (영어). arXiv:1206.6940. Bibcode:2012arXiv1206.6940H. 2014년 3월 20일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 8월 15일에 확인함. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• Becker, Thomas; Volker Weispfenning (1993). 《Gröbner bases: a computational approach to commutative algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 141. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0913-3. ISBN 978-0-387-97971-7. ISSN 0072-5285. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)

외부 링크

• Sturmfels, Bernd (2006년 6월 29일). “Gröbner bases”. 《New Horizons in Undergraduate Mathematics》 (영어). Mathematical Sciences Research Institute. 2014년 8월 25일에 원본 문서 (비디오)에서 보존된 문서. 2014년 8월 15일에 확인함.
• Sturmfels, Bernd. “Gröbner bases and convex polytopes” (영어). Mathematical Sciences Research Institute. 2014년 8월 25일에 원본 문서 (비디오)에서 보존된 문서. 2014년 8월 15일에 확인함.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Gröbner basis”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Gröbner basis”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.