차수
다항식 의 차수(次數, 영어: degree)는
이다. 다항식 0의 차수는 정의되지 않는다 (일부 문헌은 또는 을 사용한다).
보다 일반적으로, 다변수 다항식 의 차수는
이다.
다항식 (또는 다변수 다항식 )가 주어졌고, 편의상 라고 하자. 그렇다면 다음 성질들이 성립한다.
- 만약 라면,
- 만약 가 영역이라면,
근
다항식 의 근(根, 영어: root)은 을 만족시키는 환의 원소 를 뜻한다. 이 경우 를 만족시키는 최대의 정수 을 근 의 중복도(重復度, 영어: multiplicity)라고 한다. 중복도가 1인 근을 단순근(單純根, 영어: simple root)이라고 하고, 중복도가 2 이상인 근을 다중근(多重根, 영어: multiple root)이라고 한다.
가환환 를 계수로 하는 다항식 및 환의 원소 가 주어졌다고 하자. 인수 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 는 의 근이다.
가환환 를 계수로 하는 다항식 의 근 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 는 의 단순근이다.
표수 의 체 를 계수로 하는 다항식 의 근 의 중복도가 이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
- 만약 이라면, 에 대한 의 중복도는 이다.
- 만약 이라면, 에 대한 의 중복도는 이상이다.
특히, 만약 이거나 이라면, 에 대한 의 중복도는
이다.
대수적으로 닫힌 체 를 계수로 하는 다항식 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 는 다중근을 가진다.
체 를 계수로 하는 기약 다항식 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 는 분해 가능 다항식이다. (즉, 대수적 폐포 에서 다중근을 가진다.)
특히, 만약 의 표수가 0이거나, 가 유한체라면, 는 분해 가능 다항식이다.