유한체

체론에서 유한체(有限體, 영어: finite field) 또는 갈루아 체(영어: Galois field)는 유한개의 원소를 가지는 체이다.

정의

유한체는 유한 집합인 체이다.

유한체는 항상 양의 표수 ${\displaystyle p}$를 갖는다 (${\displaystyle p}$는 소수). 표수가 ${\displaystyle p}$인 유한체의 크기는 항상 ${\displaystyle p}$의 거듭제곱이다. 즉, ${\displaystyle p^{n}}$의 꼴이다 (${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$). 크기가 ${\displaystyle p^{n}}$인 유한체는 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$ 또는 ${\displaystyle \operatorname {GF} (p^{n})}$이라고 쓴다. 크기가 같은 유한체는 서로 동형이다.

구성

크기가 ${\displaystyle p^{n}}$인 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$은 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.

우선, ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$는 덧셈에 대한 아벨 군으로서 단순히 순환군 ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$이다. 곱셈은 일반적인 정수의 곱셈의 p-합동류이다.

${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$은 다음과 같이 정의할 수 있다. ${\displaystyle f(t)\in \mathbb {F} _{p}[t]}$가 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ 계수를 가진 n차 기약 일계수 다항식이라고 하자. 그렇다면 가환환으로서

${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}\cong \mathbb {F} _{p}[t]/(f(t))}$

이다. 여기서 ${\displaystyle (f(t))}$는 ${\displaystyle f(t)}$로부터 생성되는 아이디얼이다. 서로 다른 기약 일계수 다항식을 사용하더라도 얻는 유한체는 서로 동형이다.

${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$은 다항식 ${\displaystyle x^{p^{n}}-x\in \mathbb {F} _{p}[x]}$의 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$에 대한 분해체와 동형이다. ${\displaystyle x^{p^{n}}-x}$는 ${\displaystyle p^{n}}$개의 서로 다른 근을 가지므로, ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$은 ${\displaystyle x^{p^{n}}-x}$의 근들의 집합과 같다.

성질

유한체는 순서체가 될 수 없다. ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$에서는

${\displaystyle \overbrace {1+1+\dots 1} ^{p}=0}$

이므로, 순서체가 만족해야 하는 부등식

${\displaystyle 0<1<1+1<\cdots }$

을 만족시킬 수 없다.

프로베니우스 자기 동형 사상

 이 부분의 본문은 프로베니우스 사상입니다.

유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$은 다음과 같은 꼴의 ${\displaystyle n}$개의 자기 동형 사상 ${\displaystyle f_{k}\colon \mathbb {F} _{p^{n}}\to \mathbb {F} _{p^{n}}}$을 가진다. 이를 프로베니우스 자기 동형 사상이라고 한다. 이는 페르디난트 게오르크 프로베니우스의 이름을 딴 것이다.

${\displaystyle f_{k}\colon x\mapsto x^{p^{k}}}$

${\displaystyle k=0,1,2,\dots ,n-1}$

물론 ${\displaystyle f_{n}=f_{0}}$이 된다.

따라서, 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$의 자기동형군은 순환군 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$이다.

포함 관계

만약 ${\displaystyle m\mid n}$이라면, 자연스러운 포함 관계

${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{m}}\hookrightarrow \mathbb {F} _{p^{n}}}$

가 존재한다. 이에 따라 표수 p의 모든 유한체들에 대한 귀납적 극한을 취할 수 있다.

${\displaystyle \varinjlim _{n}\mathbb {F} _{p^{n}}={\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$

이렇게 얻은 체 ${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$는 임의의 n에 대하여 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$의 대수적 폐포이다.

${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}={\bar {\mathbb {F} }}_{p^{n}}}$

이러한 포함 관계는 프로베니우스 자기 동형 사상과 교환한다. 따라서 ${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$에도 프로베니우스 자기 동형 사상이 존재한다. 이 경우 자기동형군은 정수의 환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$의 사유한 완비

${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\bar {\mathbb {F} }}_{p})={\hat {\mathbb {Z} }}=\varinjlim _{n}\mathbb {Z} /n}$

이다. 이는 자연스럽게 사유한군의 구조를 가진다.

덧셈군과 곱셈군

유한체의 가역원군 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}^{\times }=\mathbb {F} _{p^{n}}\setminus \{0\}}$은 항상 순환군이다.

${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}^{\times }\cong \operatorname {Cyc} (p^{n}-1)}$

유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$의 덧셈군은 소수 크기의 순환군들의 직합이다.

${\displaystyle (\mathbb {F} _{p^{n}},+)\cong \operatorname {Cyc} (p)^{\oplus n}}$

예

비교적 작은 유한체의 구조는 다음과 같다.

𝔽₂

+ 0 1 0 0 1 1 1 0

× 0 1 0 0 0 1 0 1

𝔽₃

+ 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1

× 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1

𝔽₄

이 경우 기약 일계수 다항식 ${\displaystyle t^{2}+t+1\in \mathbb {F} _{2}[t]}$를 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle \mathbb {F} _{4}\cong \mathbb {F} _{2}[t]/(t^{2}+t+1)}$

아래 표에서는 ${\displaystyle A=t}$, ${\displaystyle B=t+1}$로 표기한다.

+ 0 1 A B 0 0 1 A B 1 1 0 B A A A B 0 1 B B A 1 0

× 0 1 A B 0 0 0 0 0 1 0 1 A B A 0 A B 1 B 0 B 1 A

같이 보기

• 유한환
• 유한군

참고 문헌

• 조성진 (2007). 《유한체 및 그 응용》. 교우사. ISBN 978-8981726935.
• Lidl, Rudolf; Harald Niederreiter (2008년 6월). 《Finite fields》. Encyclopedia of Mathematics and its Applications (영어) 20 2판. Cambridge University Press. ISBN 0-521-39231-4. Zbl 0866.11069. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Menezes, A.J.; I. F. Blake, XuHong Gao, R. C. Mullin, S. A. Vanstone, T. Yaghoobian (1993). 《Applications of finite fields》. The Springer International Series in Engineering and Computer Science (영어) 199. doi:10.1007/978-1-4757-2226-0. ISBN 978-0-7923-9282-8. ISSN 0893-3405. Zbl 0779.11059. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• Mazur, Barry (1993). “On the passage from local to global in number theory”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 29: 14-50. arXiv:math/9307231. doi:10.1090/S0273-0979-1993-00414-2.
• Koblitz, Neal (1982년 5월). “Why study equations over finite fields?”. 《Mathematics Magazine》 (영어) 55 (3): 144–149. doi:10.2307/2690080. ISSN 0025-570X. JSTOR 2690080. Zbl 0494.10001.

외부 링크

• Waldschmidt, Michel (2013년 9월 16일). “Finite fields” (PDF) (영어). 2013년 12월 28일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 12월 28일에 확인함.
• Skopin, A.I. (2001). “Galois field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Finite field”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.