인수 정리

대수학에서 인수 정리(因數 定理, 영어: Factor theorem)는 다항식이 어떤 1차 다항식을 약수로 가질 필요충분조건을 제시한다. 다항식 나머지 정리의 특별한 경우이다.^[1] 인수 정리는 다항식 ${\displaystyle f(x)}$가 ${\displaystyle f(r)=0}$ (즉 ${\displaystyle r}$는 근)인 경우에만 인수 ${\displaystyle x-r}$를 갖는다고 명시한다.^[2]

정의

 나눗셈 정리 § 인수 정리 문서를 참고하십시오.

인수 정리에 따르면, 환 ${\displaystyle R}$ 및 다항식 ${\displaystyle f\in R[x]}$ 및 중심의 원소 ${\displaystyle r\in \operatorname {Z} (R)}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle x-r\mid f(x)}$. 즉, ${\displaystyle f(x)=(x-r)g(x)}$인 다항식 ${\displaystyle g\in R[x]}$가 존재한다.
• ${\displaystyle f(r)=0}$. 즉, ${\displaystyle r}$는 ${\displaystyle f(x)}$의 근이다.

증명:

첫 번째 조건은 ${\displaystyle f(x)}$를 ${\displaystyle x-r}$로 나눈 나머지가 0인 것과 동치이다. 다항식 나머지 정리에 따라, ${\displaystyle f(x)}$를 ${\displaystyle x-r}$로 나눈 나머지는 ${\displaystyle f(r)\in R}$이다. 따라서 위 두 조건은 서로 동치이다.

응용

다항식의 인수분해

인수 정리가 일반적으로 적용되는 2가지 문제는 다항식을 인수분해하고 다항식의 근을 찾는 문제이다. 또한 인수 정리는 알려지지 않은 모든 근을 그대로 유지하면서 다항식으로부터 알려진 근을 제거하는 데 사용되므로 근을 보다 찾기 쉬울 정도로 낮은 차수의 다항식을 생성한다. 그 방법은 추상적으로 다음과 같다.^[3]

1. 다항식 ${\displaystyle f}$의 근인 ${\displaystyle a}$를 찾는다. (일반적으로 이는 매우 어렵다.)
2. 인수 정리를 사용하여 ${\displaystyle (x-a)}$가 ${\displaystyle f(x)}$의 인수라고 결론을 내린다.
3. 다항식 ${\displaystyle g(x)={\frac {f(x)}{(x-a)}}}$를 구한다. 다항식 장제법 또는 조립제법을 사용할 수 있다.
4. ${\displaystyle f(x)=0}$의 근은 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle g(x)=0}$의 근이라는 결론을 내린다. ${\displaystyle g}$의 다항식 차수가 ${\displaystyle f}$의 다항식 차수보다 하나 작기 때문에 ${\displaystyle g}$를 연구하여 나머지 근을 찾는 것이 간단한 편이다.

예제

${\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2}$의 근을 구하라. 이는 시행착오(또는 유리근 정리)를 사용하여 식이 0이 되도록 하는 1번째 x의 값을 찾는다. 유리근 정리에 따라 유리수 근의 후보는 ${\displaystyle 1,-1,2,-2}$ 뿐이다. ${\displaystyle (x-1)}$이 인수인 지의 여부를 확인하려면 ${\displaystyle x=1}$을 위의 다항식으로 대체한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}+7x^{2}+8x+2&=(1)^{3}+7(1)^{2}+8(1)+2\\&=1+7+8+2\\&=18\end{aligned}}}$

이러한 등식에서는 0이 아닌 18과 같은 값이 나오는데 ${\displaystyle (x-1)}$은 ${\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2}$의 인수가 아니기 때문이다. 따라서 우리는 다음에 ${\displaystyle (x+1)}$을 시도한다. 이에 따라 ${\displaystyle x=-1}$을 다항식으로 변환한다.

${\displaystyle (-1)^{3}+7(-1)^{2}+8(-1)+2}$

이러한 등식은 ${\displaystyle 0}$과 같은 값이 나온다. 그러므로 ${\displaystyle x-(-1)}$은 즉 ${\displaystyle x+1}$이 인수가 되고 ${\displaystyle -1}$은 ${\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2}$의 근이 된다.

다음 2개의 근은 대수적으로 ${\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2}$를 ${\displaystyle (x+1)}$로 나누어 2번째 근을 구할 수 있다.

${\displaystyle {x^{3}+7x^{2}+8x+2 \over x+1}=x^{2}+6x+2}$

따라서 ${\displaystyle (x+1)}$과 ${\displaystyle x^{2}+6x+2}$는 ${\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2}$의 인수가 된다. 이 가운데 2차 인수는 이차 방정식을 활용하여 추가로 인수분해될 수 있는데 이러한 공식은 ${\displaystyle -3\pm {\sqrt {7}}}$의 근을 제공한다. 따라서 원래 다항식에서 3개의 기약 인수는 ${\displaystyle x+1}$, ${\displaystyle x-(-3+{\sqrt {7}})}$, ${\displaystyle x-(-3-{\sqrt {7}})}$이다.

대수적으로 닫힌 체

대수적으로 닫힌 체는 모든 0이 아닌 다항식이 적어도 하나 이상의 근을 갖는 체이다. 인수 정리에 따라, 이는 모든 다항식을 1차 다항식의 곱으로 인수분해할 수 있는 것과 동치이다.

각주

1. Sullivan, Michael (1996년), 《Algebra and Trigonometry》, Prentice Hall, 381쪽, ISBN 0-13-370149-2
2. Sehgal, V K; Gupta, Sonal, 《Longman ICSE Mathematics Class 10》, Dorling Kindersley (India), 119쪽, ISBN 978-81-317-2816-1
3. Bansal, R. K., 《Comprehensive Mathematics IX》, Laxmi Publications, 142쪽, ISBN 81-7008-629-9.