대수적으로 닫힌 체

추상대수학에서 대수적으로 닫힌 체(代數的으로 닫힌 體, 영어: algebraically closed field)는 모든 다항식을 1차 다항식으로 인수 분해할 수 있는 체이다.

정의

체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 체를 대수적으로 닫힌 체라고 한다.

• 다항식환 ${\displaystyle K[t]}$의 임의의 원소 ${\displaystyle p(t)\in K[t]}$에 대하여, ${\displaystyle p(t_{0})=0}$인 ${\displaystyle t_{0}\in K}$가 항상 적어도 하나가 존재한다.
• ${\displaystyle K[x]}$의 기약 다항식이 모두 일차식이다.
• ${\displaystyle K}$의 대수적 확대가 ${\displaystyle K}$ 자신밖에 존재하지 않는다.
• 임의의 ${\displaystyle K^{n}}$에 대해, ${\displaystyle K^{n}\to K^{n}}$인 선형 변환은 항상 어떠한 고윳값을 가진다. (이것은 해당 선형 변환의 특성다항식이 어떠한 근을 가진다는 것과 동치이기 때문에 성립한다.)

체 ${\displaystyle K}$의 대수적 폐포(代數的閉包, 영어: algebraic closure) ${\displaystyle {\bar {K}}}$는 ${\displaystyle K}$를 포함하는, 대수적으로 닫힌 대수적 확대 ${\displaystyle {\bar {K}}/K}$이다. 대수적 폐포는 항상 존재한다. 주어진 체 ${\displaystyle K}$의 대수적 폐포들은 모두 서로 동형이지만, 이러한 동형은 표준적(영어: canonical)이지 않다. 엄밀하게 말하면, 대수적 폐포는 체의 범주에서 체의 범주로 가는 함자를 이루지 않는다.

분류

두 대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$와 ${\displaystyle K'}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle K}$와 ${\displaystyle K'}$은 체로서 서로 동형이다.
• ${\displaystyle K}$와 ${\displaystyle K'}$은 같은 표수를 가지며, 또한 같은 절대 초월 차수(대수 독립 집합의 최대 크기)를 갖는다.

따라서, 대수적으로 닫힌 체들은 표수 ${\displaystyle p}$와 초월 차수 ${\displaystyle \kappa }$로 완전히 분류된다. 즉, 모든 대수적으로 닫힌 체들은

${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}(\{x_{i}\}_{i\in I})}}}$

또는

${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} (\{x_{i}\}_{i\in I})}}}$

의 꼴로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 복소수체는 초월 차수가 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$인 표수 0의 대수적으로 닫힌 체이므로,

${\displaystyle \mathbb {C} \cong {\overline {\mathbb {Q} (\{x_{i}\}_{i\in 2^{\aleph _{0}}})}}}$

이다.

성질

절대 초월 차수가 기수 ${\displaystyle \kappa }$인 대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$의 집합의 크기는 다음과 같다.

${\displaystyle |K|=\max\{\kappa ,\aleph _{0}\}}$

즉, 모든 대수적으로 닫힌 체는 무한 집합이다. 이는 ${\displaystyle \kappa >\aleph _{0}}$이면 절대 초월 차수와 같으므로, 비가산 대수적으로 닫힌 체들은 집합의 크기와 체의 표수에 따라 분류된다. (물론, 이는 가산 대수적으로 닫힌 체에 대해서는 성립하지 않는다.)

예

표수 0

• 복소수체는 대수적으로 닫혀 있다. 즉, 복소수 계수로 이루어진 임의의 다항방정식에는 복소수 해가 존재한다. 이것은 대수학의 기본 정리로 알려져 있다.
• 실수체는 대수적으로 닫힌 체가 아니다. 예를 들어, 변수 ${\displaystyle x}$에 대한 다항방정식 ${\displaystyle x^{2}+1=0}$은 실수근을 갖지 않는다. 실수체의 대수적 폐포는 복소수체다. (대수학의 기본 정리)
• 유리수체는 대수적으로 닫힌 체가 아니며, 그 대수적 폐포는 대수적 수의 체이다.

양의 표수

모든 유한체는 대수적으로 닫혀 있지 않다. 체의 원소가 ${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}$인 경우, 다항식 ${\displaystyle (x-a_{1})(x-a_{2})\cdots (x-a_{n})+1}$은 해를 갖지 않는다. 소수 ${\displaystyle p}$의 크기를 가진 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$의 대수적 폐포 ${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$는 귀납적 극한

${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbb {F} _{p^{n}}}$

이다. 즉, 만약 체의 확대

${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}\hookrightarrow \mathbb {F} _{p^{kn}}}$

을 집합론적 부분집합으로 간주하여

${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}\subset \mathbb {F} _{p^{kn}}}$

로 쓴다면,

${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\mathbb {F} _{p^{n}}}$

이다.

참고 문헌

• Lang, Serge (2004). 《Algebra》 (영어). Springer. ISBN 0-387-95385-X.
• van der Waerden, B. L. (1991). 《Algebra I》 (영어). Springer. ISBN 0-387-97424-5.

외부 링크

• “Algebraically closed field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Algebraic closure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Algebraically closed”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Algebraic closure”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “To what extent can fields be classified?” (영어). Math Overflow.
• “Algebraically closed field”. 《nLab》 (영어).

같이 보기

• 분해 가능 폐포