반사슬

순서론에서 반사슬(反사슬, 영어: antichain 앤티체인^[*])은 서로 다른 두 원소가 비교될 수 없는, 원순서 집합의 부분 집합이며, 사슬(영어: chain 체인^[*])은 서로 두 원소가 항상 비교될 수 있는, 원순서 집합의 부분 집합이다.

정의

원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$의 반사슬은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 ${\displaystyle A\subseteq P}$이다.

• 임의의 ${\displaystyle a,a'\in A}$에 대하여, ${\displaystyle a\lesssim a'}$라면 ${\displaystyle a=a'}$이다.

원순서 집합 ${\displaystyle (P,\leq )}$의 사슬은 원전순서 집합인 부분 집합 ${\displaystyle C\subset P}$이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 ${\displaystyle C\subseteq P}$이다.

• 임의의 ${\displaystyle c,c'\in C}$에 대하여, ${\displaystyle c\lesssim c'}$이거나 ${\displaystyle c\gtrsim c'}$이다.

즉, 반사슬 속의 서로 다른 두 원소는 항상 비교 불가능하며, 사슬 속의 서로 다른 두 원소는 항상 비교 가능하다.

극대 사슬과 극대 반사슬

원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$의 사슬들의 집합과 반사슬들의 집합은 각각 부분 집합 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 이에 대하여 극대인 (반)사슬 (즉, 더 큰 반사슬에 포함되지 않는 (반)사슬)을 극대 (반)사슬(極大(反)사슬, 영어: maximal (anti-) chain)이라고 한다.

높이와 너비

원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$의 높이(영어: height) ${\displaystyle \operatorname {height} P}$는 ${\displaystyle P}$ 속의 사슬의 크기의 상한이다. 마찬가지로, 원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$의 너비(영어: width) ${\displaystyle \operatorname {width} P}$는 ${\displaystyle P}$ 속의 반사슬의 크기의 상한이다.

성질

딜워스 정리와 미르스키 정리

 이 부분의 본문은 딜워스의 정리입니다.

임의의 부분 순서 집합 ${\displaystyle P}$에 대하여, ${\displaystyle P}$를 사슬들로 분할할 수 있으며, 이러한 분할의 최소 크기를 ${\displaystyle c(P)}$라고 하자. 또 ${\displaystyle P}$를 반사슬들로도 분할할 수 있으며, 이러한 분할의 최소 크기를 ${\displaystyle a(P)}$라고 하자. 한원소 집합은 사슬이자 반사슬이므로, 자명하게

${\displaystyle c(P)\leq |P|}$

${\displaystyle a(P)\leq |P|}$

이다. 부분 순서 집합 ${\displaystyle (P,\leq )}$ 속의 사슬 ${\displaystyle C\subseteq P}$ 및 반사슬 ${\displaystyle A\subseteq P}$에 대하여 ${\displaystyle |A\cap C|\leq 1}$이다. 따라서, 만약 ${\displaystyle P}$를 사슬 ${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in I}}$들로 분할하였을 때, 각 반사슬 ${\displaystyle A\subseteq P}$에 대하여 ${\displaystyle |C_{i}\cap A|\leq 1}$이므로 ${\displaystyle |A|\leq |I|}$이며, 즉

${\displaystyle \operatorname {width} P\leq c(P)}$

이다.^[1]:303 반대로, 만약 ${\displaystyle P}$를 반사슬 ${\displaystyle \{A_{j}\}_{j\in J}}$들로 분할하였을 때, 각 사슬 ${\displaystyle C\subseteq P}$에 대하여 ${\displaystyle |C\cap A_{j}|\leq 1}$이므로 ${\displaystyle |C|\leq |J|}$이며, 즉

${\displaystyle \operatorname {height} P\leq a(P)}$

이다.

딜워스 정리(Dilworth定理, 영어: Dilworth’s theorem) 및 미르스키 정리(Мирский定理, 영어: Mirsky’s theorem)에 따르면, 만약 ${\displaystyle P}$의 너비 또는 높이가 유한하다면 위 부등식들이 포화된다. 즉, 딜워스 정리에 따르면, 만약 부분 순서 집합 ${\displaystyle (P,\leq )}$의 너비가 유한하다면, 이는 ${\displaystyle c(P)}$와 같다.^[1]:303 반대로, 미르스키 정리에 따르면, 만약 ${\displaystyle P}$의 높이가 유한하다면, 이는 ${\displaystyle a(P)}$와 같다.

${\displaystyle \operatorname {width} P<\aleph _{0}\implies \operatorname {width} P=c(P)}$

${\displaystyle \operatorname {height} P<\aleph _{0}\implies \operatorname {height} P=a(P)}$

이 정리들은 무한한 너비 또는 높이의 부분 순서 집합에 대하여 기수로서 성립하지 않는다.^[2]

그린-클라이트먼 정리

딜워스 정리와 미르스키 정리는 다음과 같이 그린-클라이트먼 정리(Greene-Kleitman定理, 영어: Greene–Kleitman theorem)로 일반화된다.

부분 순서 집합 ${\displaystyle P}$를 사슬로 다음과 같이 분할하였다고 하자.

${\displaystyle P=\bigsqcup _{C\in {\mathcal {C}}}C}$

또한, ${\displaystyle P}$ 위에 ${\displaystyle n}$개의 반사슬 ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}}$이 주어졌다고 하자. (이들이 서로소일 필요는 없다.) 그렇다면, 각 ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$에 대하여

${\displaystyle C\cap \left(A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}\right)\leq \min\{|C|,n\}}$

이므로, 자명하게

${\displaystyle |A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}|\leq \sum _{C\in {\mathcal {C}}}\min\{|C|,n\}}$

가 성립한다. ${\displaystyle P}$의 ${\displaystyle n}$-너비(영어: ${\displaystyle n}$-width) ${\displaystyle \operatorname {width} _{n}(P)}$를 ${\displaystyle n}$개의 반사슬의 합집합의 크기의 상한으로 정의하고, ${\displaystyle P}$의 ${\displaystyle n}$-높이(영어: ${\displaystyle n}$-height) ${\displaystyle \operatorname {height} _{n}(P)}$를 ${\displaystyle n}$개의 사슬의 합집합의 크기의 상한으로 정의하자. 마찬가지로, ${\displaystyle c_{n}(P)}$를 ${\displaystyle P}$의 사슬 분할 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에 대한 ${\displaystyle \textstyle \sum _{C\in {\mathcal {C}}}\min\{|C|,n\}}$의 하한으로, ${\displaystyle a_{n}(P)}$를 ${\displaystyle P}$의 반사슬 분할 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$에 대한 ${\displaystyle \textstyle \sum _{A\in {\mathcal {A}}}\min\{|A|,n\}}$의 하한으로 정의하자. 그렇다면 위 논리에 의하여 자명하게

${\displaystyle \operatorname {width} _{n}P\leq c_{n}(P)}$

${\displaystyle \operatorname {height} _{n}P\leq a_{n}(P)}$

가 성립한다.

그린-클라이트먼 정리에 따르면, 만약 ${\displaystyle P}$가 유한 부분 순서 집합이라면, 위 두 부등식들이 항상 포화된다.^[3][4]

딜워스 정리 · 미르스키 정리는 그린-클라이트먼 정리에서 ${\displaystyle n=1}$인 특수한 경우이다.

히라구치 정리

부분 순서 집합 ${\displaystyle (P,\leq )}$의 전순서 확대(영어: totally ordered extension)는 ${\displaystyle P}$ 위에 주어진 다음과 같은 전순서 ${\displaystyle \leq '}$이다.

${\displaystyle \forall a,b\in P\colon a\leq b\implies a\leq 'b}$

즉, ${\displaystyle P}$에 순서 관계를 추가하여 전순서로 만드는 것이다. 부분 순서 집합 ${\displaystyle (P,\leq )}$의 차원(영어: dimension) ${\displaystyle \dim P}$는 다음 조건을 만족시키는 전순서 확대의 집합 ${\displaystyle \{\leq _{1},\dots ,\leq _{k}\}}$의 최소 크기이다.

${\displaystyle \forall a,b\in P\colon a\leq b\iff (a\leq _{1}b\land a\leq _{2}b\land \cdots \land a\leq _{k}b)}$

(여기서 ${\displaystyle \land }$는 논리합이다.) 모든 부분 순서 집합은 하나 이상의 전순서 확대를 갖는다.

히라구치 정리에 의하면, ${\displaystyle \dim P\leq c(P)}$이다.^{[5]:82, (3.3)} 만약 ${\displaystyle P}$의 너비가 유한하다면, 딜워스 정리에 의하여 ${\displaystyle \dim P\leq \operatorname {width} P}$가 된다.

예

공집합은 항상 자명하게 사슬이자 반사슬이다.

전순서 집합

전순서 집합의 반사슬은 공집합이거나 아니면 하나의 원소만을 갖는 집합이다. 부분 순서 집합 ${\displaystyle (P,\leq )}$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle P}$는 전순서 집합이다.
• ${\displaystyle P}$는 스스로 속의 사슬을 이룬다.
• ${\displaystyle P}$의 너비는 ${\displaystyle \operatorname {width} P=\min\{1,|P|\}}$이다.

만약 ${\displaystyle P}$가 유한 부분 순서 집합이라면 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle P}$는 전순서 집합이다.
• ${\displaystyle P}$의 높이는 ${\displaystyle \operatorname {height} P=|P|}$이다.

멱집합

 이 부분의 본문은 슈페르너의 정리입니다.

집합 ${\displaystyle S}$의 멱집합 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$은 포함 관계에 대하여 부분 순서 집합(사실 불 대수)를 이룬다. ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ 속의 반사슬을 슈페르너 족(Sperner族, 영어: Sperner family)이라고 한다.

크기가 ${\displaystyle n}$인 유한 집합의 슈페르너 족의 수는 데데킨트 수(영어: Dedekind number)라고 하며, 다음과 같다. (${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$)

2, 3, 6, 20, 168, 7581, 7828354, 2414682040998, 56130437228687557907788, … (OEIS의 수열 A372)

${\displaystyle S}$의 멱집합 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$의 높이는 ${\displaystyle S}$의 크기와 같다.

${\displaystyle \operatorname {height} {\mathcal {P}}(S)=|S|}$

슈페르너의 정리에 따르면, 만약 ${\displaystyle S}$가 유한 집합일 때, ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$의 너비는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {width} {\mathcal {P}}(S)={\binom {|S|}{\lfloor |S|/2\rfloor }}}$

대수 구조

추상대수학에서는 각종 대수 구조로부터 정의되는 부분 순서 집합의 높이가 널리 사용된다.

환론에서, 가군 ${\displaystyle M}$의 부분 가군 격자 ${\displaystyle \operatorname {Sub} (M)}$의 높이 빼기 1은 ${\displaystyle M}$의 길이 ${\displaystyle \operatorname {length} M}$라고 한다.

${\displaystyle \operatorname {length} M=\operatorname {height} (\operatorname {Sub} (M))-1}$

가환환 ${\displaystyle R}$의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합 ${\displaystyle (\operatorname {Spec} R,\subseteq )}$의 높이 빼기 1은 ${\displaystyle R}$의 크룰 차원 ${\displaystyle \dim R}$이라고 한다.

${\displaystyle \dim R=\operatorname {height} (\operatorname {Spec} R,\subseteq )-1}$

가환환 ${\displaystyle R}$의 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ 속에 포함된 소 아이디얼들의 부분 순서 집합

${\displaystyle \operatorname {Spec} R_{\mathfrak {p}}\cong \{{\mathfrak {p}}'\in \operatorname {Spec} R\colon p'\subseteq {\mathfrak {p}}\}}$

의 높이 빼기 1은 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$의 높이 ${\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}}$라고 한다.

${\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}=\operatorname {height} (\operatorname {Spec} R_{\mathfrak {p}})-1=\operatorname {height} \{{\mathfrak {p}}'\in \operatorname {Spec} R\colon p'\subsetneq {\mathfrak {p}}\}}$

최소 원소를 갖는 사슬이 항상 유한 집합인 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건을 만족시킨다고 하고, 반대로 최대 원소를 갖는 사슬이 항상 유한 집합인 부분 순서 집합은 내림 사슬 조건을 만족시킨다고 한다. 이 조건들은 뇌터 환 · 아르틴 환과 같은 중요한 개념들을 정의하는 데 쓰인다.

역사

1897년에 리하르트 데데킨트는 데데킨트 수를 정의하였다.^[6] 이후 1928년에 에마누엘 슈페르너(영어: Emanuel Sperner)는 멱집합의 너비를 계산하였다 (슈페르너의 정리).^[7]

딜워스 정리는 미국의 수학자 로버트 파머 딜워스(영어: Robert Palmer Dilworth, 1914~1993)가 1950년 논문에서 처음 제시하였다.^[1]:303[8] 히라구치 정리는 히라구치 도시오(일본어: 平口 俊夫)가 1951년에 증명하였다.^{[5]:82, (3.3)}

미르스키 정리는 러시아 태생의 영국 수학자 레오니트 미르스키(러시아어: Леони́д Ми́рский, 영어: Leonid Mirsky, 1918~1983)가 1971년에 증명하였다.^[9]

그린-클라이트먼 정리는 커티스 그린(영어: Curtis Greene)과 대니얼 클라이트먼(영어: Daniel J. Kleitman)이 증명하였다.^[3][4]

각주

1. 윤영진 (2007). 《새로운 조합수학》. 교우사. ISBN 978-89-8172-379-8.
2. Perles, Micha Asher (1963). “On Dilworth’s theorem in the infinite case”. 《Israel Journal of Mathematics》 (영어) 1 (2): 108–109. doi:10.1007/BF02759806. MR 0168497. Zbl 0115.01703.
3. Greene, Curtis; Kleitman, Daniel J. (1976). “The structure of Sperner k-families”. 《Journal of Combininatorial Theory, Series A》 (영어) 20: 41–68. doi:10.1016/0097-3165(76)90077-7. ISSN 0097-3165.
4. Greene, Curtis (1976). “Some partitions associated with a partially ordered set”. 《Journal of Combininatorial Theory, Series A》 (영어) 20: 69–79. doi:10.1016/0097-3165(76)90078-9. ISSN 0097-3165.
5. Hiraguchi, Toshio (1951년 6월). “On the dimension of partially ordered sets”. 《金沢大学理科報告》 (영어) 1: 77–94.
6. Dedekind, Richard (1897). “Über Zerlegungen von Zahlen durch ihre größten gemeinsamen Teiler”. 《Festschrift der Technischen Hochschule Braunschweig》 (독일어).
7. Sperner, Emanuel (1928). “Ein Satz über Untermengen einer endlichen Menge”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 27 (1): 544–548. doi:10.1007/BF01171114. JFM 54.0090.06.
8. Dilworth, R. P. (1950년 1월). “A decomposition theorem for partially ordered sets”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 51: 161–166. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969503. Zbl 0038.02003.
9. Mirsky, Leon (1971). “A dual of Dilworth’s decomposition theorem”. 《American Mathematical Monthly》 (영어) 78 (8): 876–877. doi:10.2307/2316481. JSTOR 2316481.

외부 링크

• “Chain”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Anti-chain”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Length of a partially ordered set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Width of a partially ordered set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Dimension of a partially ordered set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Greene-Kleitman theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Sperner property”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Antichain”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Chain”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Partial order width”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Partial order length”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Dilworth's lemma”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.