무한 집합

수학에서 무한 집합(無限集合, 영어: infinite set)은 원소의 개수가 무한히 많은 집합으로, 원소의 개수가 유한한 유한 집합이 아닌 모든 집합이다. 무한 집합은 크게 가산 무한 집합과 비가산 집합으로 나눌 수 있다.

정의

엄밀한 정의로는 집합 ${\displaystyle A}$의 적당한 진부분 집합 ${\displaystyle S}$가 존재해, ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle S}$ 사이의 일대일 대응이 존재하면 ${\displaystyle A}$를 무한 집합이라 한다.

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 집합 ${\displaystyle S}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 무한 집합이라고 한다.

• ${\displaystyle S}$는 두 개 이상의 원소를 가지며, ${\displaystyle S}$와 ${\displaystyle S^{2}}$ 사이에 전단사 함수가 존재한다.
• ${\displaystyle S}$와 그 진부분 집합 ${\displaystyle T\subsetneq S}$ 사이에 전단사 함수가 존재한다.
• 단사 함수이지만 전사 함수가 아닌 함수 ${\displaystyle S\to S}$가 존재한다.
• 전사 함수이지만 단사 함수가 아닌 함수 ${\displaystyle S\to S}$가 존재한다.
• 단사 함수 ${\displaystyle \mathbb {N} \to S}$가 존재한다.
• 전사 함수 ${\displaystyle S\to \mathbb {N} }$이 존재한다.

만약 선택 공리를 가정하지 않으면, 이 조건들 가운데 일부는 동치이지 않을 수 있다.

성질

임의의 집합 ${\displaystyle S}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle S}$는 무한 집합이다.
• ${\displaystyle S^{2}}$는 무한 집합이다.
• 멱집합 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$는 무한 집합이다.

무한 공리를 제외한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 무한 집합의 존재를 증명할 수 없다. 즉, 무한 공리의 존재를 보이려면 무한 공리가 필요하다.

예

자연수의 집합 · 정수의 집합 · 유리수의 집합은 가산 무한 집합이다. 실수의 집합 · 복소수의 집합은 비가산 집합이다.

분류

• 무한 집합
  • 가산 무한 집합
    • 자연수의 집합
    • 정수의 집합
    • 유리수의 집합
  • 비가산 무한 집합
    • 실수의 집합
    • 복소수의 집합

같이 보기

• 알레프 수
• 유한 집합

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Infinite set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Infinite set”. 《nLab》 (영어).